Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений



  • Понятие асимптоты
  • Вертикальные асимптоты
  • Горизонтальные асимптоты
  • Наклонные асимптоты

Понятие асимптоты

Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции.

Определение 2. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Прямая x = aявляется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

или .

(при этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при и ).

Замечание. Символом

обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a, символом

стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1.График функции y = lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как

(рис. слева).

Найти асимптоты самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2.Найти асимптоты графика функции .

Пример 3.Найти асимптоты графика функции

Пример 4.Найти асимптоты график функции .

Посмотреть решения и ответы примеров 2, 3, 4.

Горизонтальные асимптоты

Если

то y = b– горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).

Пример 5.График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототуy = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку

Наклонные асимптоты

Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.

Теорема.Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx+ b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

(1)

или

(2)

В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При совпадении пределов (1) и (2) прямая y = kx+ b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx+ b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx+ b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6.Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно,

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота; при

слева

при

справа

Горизонтальной асимптоты кривая не имеет, так как

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой заданной кривой (рис. внутри примера).

 

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 851; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!