Достаточные признаки экстремума



Теорема Ферма является лишь необходимым признаком экстремума, так как не в каждой критической точке экстремум существует. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.

Первый достаточный признак экстремума (исследование с применением первой производной).

Если - стационарная точка функции f(x) и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё производная имеет противоположные знаки, то является экстремумом функции, причём:

1) максимумом, если при и при ;

1) минимумом, если при и при .

Если же вблизи точки , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки . В этом случае в точке экстремума нет.

Таким образом, если - критическая точка f(x) и при переходе через первая производная меняет знак, то есть точка экстремума, причём точка максимума, если первая производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если с минуса на плюс. В противном случае в точке экстремума нет.

Пример 4.Исследовать на экстремум функцию и построить её график.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Второй достаточный признак экстремума (исследование с применением второй производной).

Если функция f(x) дважды дифференцируема и в точке первая производная равна нулю, а вторая производная не равна нулю ( и ), то в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, если вторая производная меньше нуля ( ), и минимум, если вторая производная меньше нуля ( ).

Замечание 1. Если в точке обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума.

Пример 5.Исследовать на экстремум функцию и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера

 

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 708; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!