Возрастание, убывание и монотонность функции
- Понятие возрастания, убывания и монотонности функции
- Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
Понятие возрастания, убывания и монотонности функции
Исследование функции на возрастание и убывание может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.
Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.
Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если
для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.
Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если
для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
Теорема 1.Если во всех точках некоторого промежутка 
, то функция 
сохраняет в этом промежутке постоянное значение.
Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.
Теорема 2 (достаточный признак возрастания).Если во всех точках некоторого промежутка 
, то функция возрастает в этом промежутке.
Теорема 3 (достаточный признак убывания).Если во всех точках некоторого промежутка 
, то убывает на этом промежутке.
|
|
|
Замечание.Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно считать, что 
или 
, так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.
Пример 1.Найти промежутки возрастания и убывания функции 
Решение. Находим производную функции:
(Для разложения квадратного двухчлена на множители решали квадратное уравнение).
Для отыкания промежутков возрастания и убывания функции найдём точки, в которых . Такими точками являются 
и 
.
Исследуем знаки производной в промежутках, ограниченных этими точками. От 
до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до 
знак положителен. Таким образом, промежутки возрастания данной функции - 
и 
, а промежуток убывания функции - 
.
Пример 2.Найти промежутки возрастания и убывания функции 
.
Решение. Находим производную функции:
Решая уравнение 
, получаем точки, в которых производная функции равна нулю:
.
Исследуем знаки производной. От до точки 
знак положителен, от точки до точки 
знак отрицателен, от точки до знак положителен. Таким образом, промежутки возрастания данной функции 
и 
, а промежуток убывания - 
|
|
|
Пример 3.Найти промежутки возрастания и убывания функции 
.
Решение. Область определения функции - промежуток 
, так как логарифмическая функция определена при 
.
Далее находим производную функции:
.
Решая уравнение 
, получаем точку, в которой производная равна нулю:
Исследуем знаки производной. От 0 до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Таким образом, промежуток убывания функции - 
, а промежуток возрастания - 
.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 401; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!