Геометрический смысл неопределённого интеграла



Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию F(x), для которой F'(x)=f(x). Искомая функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x), то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

(4)

Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

(5)

Таблица основных неопределённых интегралов

Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов, свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл любой функции.

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

 

Понятие функции. Способы задания функции

  • Каждому элементу - один и только один элемент
  • Способы задания функций
  • Сложная функция
  • Обратная функция

Каждому элементу - один и только один элемент

Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Пусть X и Y - какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу xX ставится в соответствие один и только один элемент yY.

Это записывается в виде

y = f(x).

Другими словами, с помощью функции y = f(x) множество X отображается в множество Y. Поэтому функцию называют также отображением.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f : каждому пассажиру xX сопоставляется то кресло y = f(x), в котором он сидит.

Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.

Если в кресле находятся два пассажира и (например, мать и ребёнок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и , и однозначно ставит в соответствие кресло . При этом такая функция принимает одно и то же значение при разных значениях и аргумента, подобно тому как числовая функция y = f(x) = x² принимает одно и то же значение 9 при x = - 3 и при x = 3.

Если, однако, какому-то пассажиру удастся сесть сразу в два кресла и , то нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало бы одно определённое значение y = f(x) функции.

В математическом анализе часто X обозначают как D (область определения функции), а Y как E (область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел). На сайте есть урок Как найти область определения функции.

Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления в функции.

Пример 1.Даны множества A = {a, b, c, d, e} и L = {l, m, n}. Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому соответствует.

Решение. Итак, множество A содержит 5 элементов, а множество L - 3 элемента. Если мы поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к элементам множества A, то некоторым элементам L будут соответствовать более одного элемента A. Такое соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов A к элементам L, то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те же элементы L, но при этом каждому элементу A будет соответствовать не более одного элемента L. Такое соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания - положительный.

Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией:

Пример 2.Даны множества A = {70, 140, 30, 48} и В = {35, 15, 12}. Установить между элементами множеств соответствие, заданное правилом "элемент A можно нацело поделить на элемент В". Будет ли такое соответствие функцией?

Решение. Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие:

Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества A соответствует не более одного элемента из множества В.

Способы задания функций


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1292; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!