Вычисление площадей плоских фигур



В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области D: a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ yφ2(x), равна

Вычисление объемов

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y), где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:

.

Практическая часть-

Пример 1. Вычислите повторный интеграл .

Решение. Решим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:

..

Теперь вычислим внешний интеграл по переменой х:

.

Ответ: 8.

Пример 2. Вычислите повторный интеграл

Решение. Найдем внутренний интеграл:

Найдем внешний интеграл:

.

Ответ: .

Пример 3. Вычислите двойной интеграл  по области, ограниченной линиями: х=1, х=4, у=1, у=е.

Областью D является прямоугольник изображенный на рис.5.

 

 

Воспользуемся формулой (3):

Ответ: 7,5     

                                                                                   рис. 5

Пример 4. Вычислите двойной интеграл  по области, ограниченной линиями: х=0, у=х, у=6-х2.

Решение. Изобразим область D на плоскости Оху.

 

 

                  Рис.6

Как видно из рисунка область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. Мы можем воспользоваться формулой (1) или (2).

,

 Ответ: .

Практические задания

 

1 вариант Вычислить интегралы 1-4   1. ; 2. 3. , D: ,   4. , D:. 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=х2 и у=4х-3. 2 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. ; 2. ; 3. ,  D: 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=х2 и у=2х+3.  
3 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. ; 2. 3. D: , 4. , D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=х2-4х+5 и х-у+5=0. 4 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. ; 2. ; 3. D: 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=х2-8х+16 и х+у-6=0.
5 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3.   D:, 4. ; D:, 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=х2-6х+9 и у=3х-9. 6 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3. D:, 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=-х2+6х-5 и у=0.
7 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3. D:, 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=sinx, y=0, 8 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3.   D: , 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:    
9 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3. D: , 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=1+cosx, y=1, . 10 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3. D:, 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=x3, y=-x2+2,x=0.  
11 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3. D: ; 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=3x3, y=2x+1|, x=0. 12 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. 2. 3.   D: ; 4. ; D:; 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=x2, x=0,y=2-x.
13 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. ; 2. ; 3. ; D: . 4. ; D: 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  x-3y+2=0, . 14 вариант Вычислить интегралы 1-4 1. ; 2. ; 3. ; D: . 4. ; D: ; 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  у=-x, x2+2x=0.

Контрольные вопросы

Что называется двойным интегралом?


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 288;