Что называется областью интегрирования?

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 12Следующая ⇒

В чем состоит геометрический смысл двойного интеграла?

Перечислите свойства двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла, если областью интегрирования прямоугольник.

Вычисление двойного интеграла в области 1 и 2.

Практическая работа №20

«Исследование сходимости знакоположительных рядов»

Цель работы: сформировать навыки исследования числовых рядов на сходимость.

Теоретическая часть

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности

a_1,a_2,a₃,…, a_n, …

называется числовым рядом и обозначается

(1)

При этом числа a_1,a_2,a₃,…, a_n, называются членами ряда, а – общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру n его члена записать этот член ряда.

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной суммойряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакое числовое значение.

Необходимый признак сходимости числового ряда (1):

Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Отсюда вытекает, что если , то ряд расходится. Но выполнение необходимого признака сходимости не гарантирует сходимость данного ряда и следует исследовать ряд с помощью достаточных признаков сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Определение. Ряд , у которого все a₁>0, a₂>0,..., a_n>0,... называется знакоположительным числовым рядом.

Рассмотрим два знакоположительных числовых ряда:

(2)

(3)

Признак сравнения I. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если начиная с некоторого номера n:

1) a_n ≤ b_n - члены ряда (2) не больше соответствующих членов ряда (3), и ряд (3) сходится, то и ряд (2) также сходится.

2) a_n ≥ b_n - члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ряда (3), и ряд (3) расходится, то и ряд (2) также расходится.

Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими известными рядами:

1) , a ≠ 0 (геометрическая прогрессия, сходящаяся при |q| < 1 и расходящаяся при |q| ≥ 1);

2) расходящийся гармонический ряд;

3) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при p > 1 и p ≤ 1).

Признак сравнения II. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если существует конечный предел , то оба ряда (2) и (3) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2).

2 Признак Даламбера

Пусть дан ряд (2) с положительными членами. Допустим, что существует и

Тогда: 1) если ρ<1, то ряд (1) сходится;

2) если ρ>1,то ряд (1) расходится.

При ρ=1 требуется дополнительное исследование.

3 Признак Коши

Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять тогда, когда общий член ряда содержит факториал или содержит одновременно степенную и показательную функции относительно n.

Признак Коши (радикальный). Пусть дан числовой ряд (2). Если существует предел , то

при k < 1 ряд (2) сходится,

при k > 1 ряд (2) расходится,

при k = 1 вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым.

Замечание. Признак Коши (радикальный) целесообразно применять в том случае, если общий член ряда представляет собой n-ю степень некоторого выражения.

Интегральный признак Коши (основан на сравнении рядов с несобственными интегралами). Пусть общий член ряда (2) a_n = f(n) > 0. Если функция f(x), принимающая в точках x = n, n = 1, 2, 3, ... значения f(n), монотонно убывает в некотором интервале A<x<∞, где A>1, то числовой ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Практическая часть

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Т.е. необходимый признак сходимости не выполнен.

Ответ: ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.Так как n>lnn для n≥2, тогда для , а - общий член расходящегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения I данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера.

Решение. .

. Следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.Применяем признак Даламбера. По известному члену ряда a_n, заменяя в нем n на n + 1, находим следующий за ним член a_n+1. Здесь

_{, ,}

следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Общий член ряда представляет собой n-ю степень некоторого выражения, поэтому удобнее всего применение радикального признака Коши:

следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Практические задания

1 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.	2 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.
3 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.	4 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. . 4.
5вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.	6 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.
7 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.	8 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.
9 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.	10 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.
11 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость 1. 2. 3. 4. 5.	12 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.
13 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.	14 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: 1. 2. 3. 4.