Что называется дифференциалом функции? Чему он равен?
Практическая работа № 11
«Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя»
Цель работы: Научится раскрывать неопределенности с помощью правила Лопиталя.
Теоретическая часть
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Аналогично можно применить правило Лопиталя при раскрытии неопределенности .
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Практическая часть
Пример 1: Найти предел
Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
g¢(x) = ex;
Пример 2: Найти предел
Решение. Числитель и знаменатель при х=0 равны нулю, т.е. имеем неопределенность
|
|
;
Пример 3: Найти предел
Решение. , .
- получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
, , тогда имеем:
Пример 3: Найти предел
Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Для решения и таких пределов можно применить правило Лопиталя, предварительно сведя ее к неопределенности .
Пример 3: Найти предел
Решение. В данном примере имеется неопределенность вида . И здесь можно применит правило Лопиталя, сведя ее к виду .
Практические задания
Вариант 1 | Вариант 2 |
Вариант 3 | Вариант 4 |
Вариант 5 | Вариант 6 |
Вариант 7 ; ; ; ; ; ; ; ; | Вариант 8 . ; ; ; ; ; ; |
Вариант 9 . ; ; ; ; ; ; | Вариант 10 . ; ; |
Вариант 11 . ; ; | Вариант 12 . ; ; |
Вариант 13 . ; ; ; ; ; | Вариант 14 . ; ; ; ; ; |
Контрольные вопросы:
- Перечислите неопределенности в математике.
- Сформулируйте правило Лопиталя.
- В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?
Практическая работа №12
«Дифференциал функции. Приближенные вычисления»
|
|
Цель работы: Научится находить дифференциал функции. Находить приближенные значения функции с помощью дифференциала».
Теоретическая часть
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.
Следовательно: .
Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx. Для функции х производная равна 1, и потому ее дифференциал равен ∆х, . Поэтому принято вместо писать dx.. При этом формула дифференциала функции принимает вид:
dy = f¢(x)dx. (1)
Можно также записать:
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv
2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
4)
5) где .
С помощью дифференциала можно найти приближенные значения функции.
Учитывая, что , приращение функции приближённо равно ее дифференциалу, т.е. ∆y»dy, откуда
|
|
(2)
Это означает, что приближенное значение функции вблизи точки х0 равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке.
Практическая часть.
Пример1. Найдите дифференциал функции: а) ; б) ;
в)
Решение. а) Воспользуемся формулой (1) dy = f¢(x)dx.
б)
в)
Пример2. Вычислить приближённо: а) 2,0025; б) ; в) .
Решение. а) Воспользуемся формулой (2): .
Положим , где х=2,002.
2,002=2+0,002, т.е.
.
Т.о. .
б) В данном случае , ;
;
.
в) Рассмотрим функцию . Полагая х0=450, , имеем:
, , .
Т.о. .
Практические задания
Вариант 1 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=2х2+3х ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin440. | Вариант 2 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2-4х ее дифференциалом в точке х=1 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) 2,0035 ; б) cos310. |
Вариант 3 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x3+3х ее дифференциалом в точке х=1 при ∆х=0,01. 3. Вычислить приближенно: а)3,9923; б) tg440. | Вариант 4 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=2 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-х2-4х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,02. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg1,005. |
Вариант 5 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=6 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=2х-х2 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,02. 3. Вычислить приближенно: а)4,953; б) sin310. | Вариант 6 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=2 б) в) Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=4х+х2 ее дифференциалом в точке х=4 при ∆х=0,01. 2. Вычислить приближенно: а) ; б) arcctg1,030. |
Вариант 7 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2+х-1 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,01. 3. Вычислить приближенно: 4. а) 4,0033; б) ln1,03. | Вариант 8 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=-10 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х3-x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) cos610. |
Вариант 9 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4. б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2+х-1 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,04. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin620. | Вариант 10 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=3 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=5x-x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg0,9930. |
Вариант 11 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4 б) 2. в) Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х3+х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,2. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin470. | Вариант 12 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2+3х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) ln1,060. |
Вариант 13 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x+x3 ее дифференциалом в точке х=4 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin870. | Вариант 14 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=3 б) н в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x3+2x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg0,9920. |
Контрольные вопросы
|
|
Что называется дифференциалом функции? Чему он равен?
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 920; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!