Что называется дифференциалом функции? Чему он равен?

Практическая работа № 11

«Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя»

Цель работы: Научится раскрывать неопределенности с помощью правила Лопиталя.

Теоретическая часть

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

 

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Аналогично можно применить правило Лопиталя при раскрытии неопределенности .

 

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Практическая часть

Пример 1: Найти предел

Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

g¢(x) = e^x;

 

Пример 2: Найти предел

Решение. Числитель и знаменатель при х=0 равны нулю, т.е. имеем неопределенность

;

Пример 3: Найти предел

Решение. , .

 - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

, , тогда имеем:

Пример 3: Найти предел

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Для решения и таких пределов можно применить правило Лопиталя, предварительно сведя ее к неопределенности .

Пример 3: Найти предел

Решение. В данном примере имеется неопределенность вида . И здесь можно применит правило Лопиталя, сведя ее к виду .

 

 

Практические задания

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7 ; ; ; ; ; ; ; ;	Вариант 8 . ; ; ; ; ; ;
Вариант 9 . ; ; ; ; ; ;	Вариант 10 . ; ;
Вариант 11 . ; ;	Вариант 12 . ; ;
Вариант 13 . ; ; ; ; ;	Вариант 14 . ; ; ; ; ;

Контрольные вопросы:

1. Перечислите неопределенности в математике.
2. Сформулируйте правило Лопиталя.
3. В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?

 

 

 

Практическая работа №12

«Дифференциал функции. Приближенные вычисления»

Цель работы: Научится находить дифференциал функции. Находить приближенные значения функции с помощью дифференциала».

Теоретическая часть

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx. Для функции х производная равна 1, и потому ее дифференциал равен ∆х_, . Поэтому принято вместо писать dx.. При этом формула дифференциала функции принимает вид:

                                                dy = f¢(x)dx.                    (1)

 

Можно также записать:

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

5)  где .

С помощью дифференциала можно найти приближенные значения функции.

Учитывая, что , приращение функции  приближённо равно ее дифференциалу, т.е. ∆y»dy, откуда

                                                    (2)     

Это означает, что приближенное значение функции вблизи точки х₀ равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке.                   

 

Практическая часть.

Пример1. Найдите дифференциал функции: а) ; б) ; 

                                                                       в)

Решение. а) Воспользуемся формулой (1) dy = f¢(x)dx.

б)

в)

Пример2. Вычислить приближённо: а) 2,002⁵; б) ; в) .

Решение. а) Воспользуемся формулой (2): .

Положим , где х=2,002.

2,002=2+0,002, т.е.

.

Т.о. .

б) В данном случае , ;

;

.

в) Рассмотрим функцию . Полагая х₀=45⁰, , имеем:

, , .

Т.о. .

 

Практические задания

Вариант 1 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=2х2+3х ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin440.	Вариант 2 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2-4х ее дифференциалом в точке х=1 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) 2,0035 ; б) cos310.
Вариант 3 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x3+3х ее дифференциалом в точке х=1 при ∆х=0,01. 3. Вычислить приближенно: а)3,9923; б) tg440.	Вариант 4 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=2 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции  у=-х2-4х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,02. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg1,005.
Вариант 5 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=6 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=2х-х2 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,02. 3. Вычислить приближенно: а)4,953; б) sin310.	Вариант 6 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=2 б) в) Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=4х+х2 ее дифференциалом в точке х=4 при ∆х=0,01. 2. Вычислить приближенно: а) ; б) arcctg1,030.
Вариант 7 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2+х-1 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,01. 3. Вычислить приближенно: 4. а) 4,0033; б) ln1,03.	Вариант 8 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=-10 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х3-x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) cos610.
Вариант 9 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=4. б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2+х-1 ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,04. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin620.	Вариант 10 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=3 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=5x-x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg0,9930.
Вариант 11 1. Найдите дифференциал функции: а) в точке x=4 б) 2. в) Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х3+х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,2. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin470.	Вариант 12 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=4 б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=х2+3х ее дифференциалом в точке х=3 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) ln1,060.
Вариант 13 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке б) в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x+x3 ее дифференциалом в точке х=4 при ∆х=0,03. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) sin870.	Вариант 14 1. Найдите дифференциал функции: а)  в точке x=3 б) н в) 2. Найдите абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции у=-x3+2x ее дифференциалом в точке х=2 при ∆х=0,1. 3. Вычислить приближенно: а) ; б) arctg0,9920.

Контрольные вопросы

Что называется дифференциалом функции? Чему он равен?