Что называется дифференциалом функции? Чему он равен?
|
Практическая работа № 11
«Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя»
Цель работы: Научится раскрывать неопределенности с помощью правила Лопиталя.
Теоретическая часть
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Аналогично можно применить правило Лопиталя при раскрытии неопределенности .
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Практическая часть
Пример 1: Найти предел
Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
g¢(x) = ex;
Пример 2: Найти предел
Решение. Числитель и знаменатель при х=0 равны нулю, т.е. имеем неопределенность
;
Пример 3: Найти предел
Решение. ,
.
- получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
,
, тогда имеем:
Пример 3: Найти предел
Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Для решения и таких пределов можно применить правило Лопиталя, предварительно сведя ее к неопределенности
.
Пример 3: Найти предел
Решение. В данном примере имеется неопределенность вида . И здесь можно применит правило Лопиталя, сведя ее к виду
.
Практические задания
Вариант 1
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 2
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 3
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 4
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 5
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 6
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 7
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 8
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 9
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 10
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 11
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 12
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 13
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 14
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Контрольные вопросы:
- Перечислите неопределенности в математике.
- Сформулируйте правило Лопиталя.
- В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?
Практическая работа №12
«Дифференциал функции. Приближенные вычисления»
Цель работы: Научится находить дифференциал функции. Находить приближенные значения функции с помощью дифференциала».
Теоретическая часть
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.
Следовательно: .
Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx. Для функции х производная равна 1, и потому ее дифференциал равен ∆х, . Поэтому принято вместо
писать dx.. При этом формула дифференциала функции принимает вид:
dy = f¢(x)dx. (1)
Можно также записать:
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv
2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
4)
5) где
.
С помощью дифференциала можно найти приближенные значения функции.
Учитывая, что , приращение функции
приближённо равно ее дифференциалу, т.е. ∆y»dy, откуда
(2)
Это означает, что приближенное значение функции вблизи точки х0 равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке.
Практическая часть.
Пример1. Найдите дифференциал функции: а) ; б)
;
в)
Решение. а) Воспользуемся формулой (1) dy = f¢(x)dx.
б)
в)
Пример2. Вычислить приближённо: а) 2,0025; б) ; в)
.
Решение. а) Воспользуемся формулой (2): .
Положим , где х=2,002.
2,002=2+0,002, т.е.
.
Т.о. .
б) В данном случае ,
;
;
.
в) Рассмотрим функцию . Полагая х0=450,
, имеем:
,
,
.
Т.о. .
Практические задания
Вариант 1
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 2
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 3
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 4
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 5
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() | Вариант 6
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 7
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 8
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 9
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 10
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 11
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 12
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() |
Вариант 13
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Вариант 14
1. Найдите дифференциал функции:
а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Контрольные вопросы
Что называется дифференциалом функции? Чему он равен?
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 173;