II. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами



Дифференциальное уравнение y" + p · y' + q · y = 0 ,             (2)

 где p и q - постоянные, называется однородным линейным уравнением второго порядка.

Вид общего решения y0 однородного линейного уравнения второго порядка зависит от корней k1, k2 характеристического уравнения:

           (3)

1. Если k1, k2 - действительные числа, причем k1k2 , то общее решение имеет вид:

2. Если k1, k2 - действительные числа, причем k1 = k2 , то общее решение примет вид:

3. Если k1, k2 - комплексные числа, , то общее решение имеет вид:

III. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y" + py' + qy = f(x)                      (4)

Общим решением уравнения (4) является сумма общего решения yо однородного уравнения и частного решения y* данного уравнения, т.е. y = yо+ y* .

    Частное решение у* неоднородного уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим два случая.

I случай. Если правая часть f(x) уравнения представляет собой произведение eα · x Pn(x) , где α - число, Pn(x) - многочлен степени n .

1. Если число α не является корнем характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда

2. Если число α - однократный корень характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда

3. Если число α - двукратный корень характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда

 II случай. Пусть f(x) имеет вид:

где P(x), R(x) - многочлены.

Пусть n - наибольшая степень этих многочленов. Частное решение y* находится подбором неопределенных коэффициентов многочленов Un(x), Vn (x) степени n :
1) если числа a ± ib не являются корнями характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда

2) если числа a ± ib - корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда

Выбрав вид частного решения y* , соответствующий правой части f(x) дифференциального уравнения, находим y*', y*"

Подставив найденные для y* , y*' , y*" выражения в исходное линейное уравнение второго порядка, определяем неизвестные коэффициенты многочлена , или многочленов U(x) и V(x) .

Практическая часть

Пример 1.  Решить уравнение .

Решение. Интегрируя, находим

 

Итак, общее решение

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;

Решение. Сначала находим общее решение, методом понижения порядка ДУ

Подставим начальные условия:

 

Получаем частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

Пример 3. Решить уравнения

a) y′′-5y′+6y=0;   б) y′′+4y′+4y=0;  в) y′′-6y′+13y=0.

Решение. Уравнения являются однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

а) y′′-5y′+6y=0,       

характеристическое уравнение имеет вид:

k2-5k+6=0,   k1=2, k2=3.

Находим общее решение

y=C1e2x+C2e3x.

 

б) y′′+4y′+4y=0,                        в) y′′-6y′+13y=0,

k2+4k+4=0,                                          k2-6k+13=0,

k1,2=-2                                         k1=3+2i, k2=3-2i,

y=e-2x(C1+C2x)                            y=e3x(C1cos2x+C2sin2x).

Пример 4. Решить уравнение:


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 296;