Разложение функции в степенной ряд



Важное практическое значение имеет разложение функции в степенной рад, т.е.представить ее в виде суммы степенных функции.

Если функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные до n-го порядка включительно, то в каждой точке этой окрестности она представима формулой Тейлора

         (4)

Если полагать х0=0, то получим ряд Маклорена

                                    (5)                               

При разложении функций в степенные ряды применяют следующие основные табличные разложения Маклорена:

(6)

 

(7)

 

(8)

 

-1<x<1 (9)

 

 (m - любое действительное число; ряд называется биномиальным);

(11)

 

(12)

Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других функций. С помощью данных разложений можно произвести приближенные вычисления функции, определенных интегралов, дифференциальных уравнений и т. д.

Практическая часть
Пример 1. Найти область сходимости ряда

Решение. Найдем радиус сходимости по формуле (3)

Следовательно, ряд сходится только при х=0.

Ответ: ряд сходится при х=0.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости:

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Ответ: Ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд  

Решение. Найдем радиус сходимости по формуле (3)

Получаем, что этот ряд сходится на интервале .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = -1 получаем знакочередующий ряд  

По признаку Лейбница ряд сходится, т.к.   и

При х=1 получаем гармонический ряд , который, как известно, расходится. расходится (гармонический ряд).

Ответ: область сходимости .

 

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости. Здесь  следовательно,

Интервал сходимости характеризуется неравенством -2 < x < 2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала.

При x=2 степенной ряд принимает вид . Данный ряд расходится, т.к. не удовлетворяет необходимый признак сходимости  

При x = -2 степенной ряд принимает вид . И этот ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: .

Ответ: область сходимости .

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функции: а) f(x)=sin x; б) f(x)=sin2 x

Решение

а) Имеем: f(x)=sin x, f′(x)=cos x, f′′(x)=-sin x, f′′′(x)=-cos x, f(4)=sin x,…

Полагая х=0, получим f(0)=0, f′(0)=1, f′′(0)=0, f′′′(0)=-1, f(4)(0)=0,…

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получим:

б) Воспользуемся формулой (7). заменим х на 2х, получим:

Пример 6.Вычислить приближенно sin 10° с точностью до 0,0001.

Решение. Используем приближенную формулу (7). Поскольку радиан, то      

Получили знакочередующийся числовой ряд. По следствию из признака Лейбница, остаток ряда меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов. Здесь взятые два члена ряда обеспечивают нужную точность, так как 0,000001 < 0,0001.

Итак, sin 10° »0,17453 - 0,00089 » 0,1736.

Ответ: sin 10° » 0,1736±0,0001.

Пример 7.  Вычислить приближенно с точностью до 0,00001.

Решение. Используем приближенную формулу (6) для функции ex. Полагаем x = 1/4:

.

Если взять пять членов этого ряда (n = 4), то ошибка вычислений не будет превышать 0,00001.

Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов ряда, получим

Ответ: .

Практические задания

1. Найдите область сходимости ряда.

2. Разложите функцию в ряд Маклорена.

3. Вычислите приближенно.

Вариант 1 1. а) б) в) 2. 3. с точностью 0,001 Вариант 2 1. а) б) в)   2. 3. e2 с точностью 0,01  
Вариант 3 1. а) б) в) 2. 3. cos300 с точностью 0,001      Вариант 4 1. а) б) в) 2. 3. arctg0,2 с точностью 0,001
Вариант 5 1. а) б) в) 2. 3. arcsin0,3 с точностью 0,001 Вариант 6 1. а) б) в) 2. 3. e3 с точностью 0,01
Вариант 7 1. а) б) в) 2. 3. cos500 с точностью 0,001       Вариант 8 1. а) б) в) 2. 3. 1,25 с точностью 0,001
Вариант 9 1. а) б) в)   2. 3. arcsin0,6 с точностью 0,001 Вариант 10 1. а) б) в)   2. 3. 0,87 с точностью 0,001
Вариант 11 1. а) б) в) 2. 3. cos700 с точностью 0,001 Вариант 12 1. а) б) в) 2. 3. ln1,2 с точностью 0,001
Вариант 13 1. а) б) в) 2. 3. arctg1,3 с точностью 0,001 Вариант 14      1. а) б) в) 2. 3. sin800 с точностью 0,001

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется функциональным рядом?

2. Что называется степенным рядом?

3. Сформулируйте теореме Абеля.

4. Что называется областью сходимости, радиусом сходимости.

5. Запишите ряд Тейлора.

6. Запишите ряд Маклорена.

7. Применение разложения функции в ряд при решении практических задач.


Практическая работа №23

« Ряды Фурье»

Цель: сформировать навыки разложения функции в ряд Фурье.

 

Теоретическая часть

Для изучения некоторых функций иногда удобно представить ее при помощи более простых функций, свойства которых являются известными. Во многих технических задачах возникает необходимость разложения функции через периодические функции, например, тригонометрические.

Рассмотрим гармонические колебания, описываемые синусоидальной функцией .  Здесь А—амплитуда колебания, ω—частота колебания, φ—начальная фаза колебания.

Положим , , тогда

.

Т. е. сложную гармонику можно представить в виде суммы более простых гармоник. Периодическая функция f(x) с периодом Т=2π можно разложить следующим образом:

Определение. Тригонометрическим рядомназывается ряд вида:

или, короче,                                                                (20.1)

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда. 

Если ряд сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.

Следует отметить, что периодическую функцию с периодом 2p достаточно рассмотреть только на отрезке [-p; p] или [0; 2p].

Пусть функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

                                (20.2)

(20.3)

      (20.4)

существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x).

Определение. Рядом Фурьедля функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Если функция f(x) задана на промежутке [-l,l], где l – произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

,

где

В случае, когда f(x) – четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член (a0) и косинусы, т. е.

где

В частности, если функция f(x) четная на промежутке [-π;π], то

        (20.5)

                                                                        (20.6)

                                                                      (20.7)

В случае, когда f(x) – нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т. е.           .

В частности, если функция f(x) нечетная на промежутке [-π;π], то

                     (20.8)                                                                  (20.9)                        

Практическая часть

Пример1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. график функции изображен на рис.

       По формулам 20.2-20.4 найдем коэффициенты Фурье.

Интеграл вычислим интегрированием по частям.

Подставляя значения n=1,2,3…, получим:

.

Интегрируем по частям:

.

Откуда , , …

    Разложим функцию в ряд Фурье (20.1)

 

Или

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. Данная функция нечетная на промежутке [-π;π] (рис. ) и потому

раскладывается только по синусам. Коэффициенты находим по формуле (20.9).

Откуда , , , , ,…

Т.о.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0;π] функцию

f(x)=-x

Решение. Продолжим данную функцию на отрезке [-π;0] четным образом (рис. ). В результате получится четная функция, которая раскладывается по косинусам. По формулам 20.6 и 20.7 имеем:

,

Итак, по формуле 20.5 имеем:

Практическая часть

1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию на интервале [-π;π].

2. Для вариантов 1,3,5,7,9,11,13: Разложить в ряд Фурье по косинусам. Для вариантов 2,4,6,8,10,12,14:  Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0;π] функцию

Вариант 1 1. 2. Вариант 2
Вариант 3
  1.  на промежутке
Вариант 4
Вариант 5
  1.  на промежутке
Вариант 6 1. 2.  на промежутке [0;π]
Вариант 7 1. 2.   на промежутке [0;π] Вариант 8 1. 2. на промежутке [-π;π]
Вариант 9 1. 2. на промежутке [0;π]. Вариант 10 1. 2. на промежутке [-π;π].
Вариант 11 1. 2. на промежутке [0;π]. Вариант 12 1. 2. на промежутке [-π;π].
Вариант 13 1. 2.   на промежутке [0;π]. Вариант 14      1. 2.  на промежутке [0;π].

Контрольные вопросы:

1. Какой ряд называется тригонометрическим?

2. Какой ряд называется рядом Фурье?

3. Формулы вычисления коэффициентов Фурье.

4. Какой вид имеет ряд Фурье для нечетной функции?

5. Какой вид имеет ряд Фурье для четной функции?

6. Ряд Фурье на промежутке [-l,l].

 

Практическая работа №24

« Решение дифференциальных уравнений первого порядка»

Цель: сформировать навыки решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных уравнений первого порядка.

 

Теоретическая часть

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y=f(x,C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

С геометрической точки зрения решением дифференциальных уравнений является семейство интегральных кривых.

При решении конкретных задач часто необходимо выделить из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Задача Коши

Найти решение у=у(х) уравнения у′=f(x, y), удовлетворяющее при заданных начальных данных 0, у0) начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

y′=f1(x)∙f2(y)                       (1)

Предположим, что . Тогда уравнение можно записать так:

                     (2)

Уравнение (2) называется уравнением с разделенными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (2), получим общее решение уравнения (1)

.

Алгоритм решения

1) Разделить переменные (с учетом условий, когда это можно сделать).

2) Интегрировать почленно полученное уравнение.

3) Выяснить, имеет ли уравнение решение, не получившего из общего интеграла.

4) Найти частное решение (если нужно). 

 

2. Однородные ДУ первого порядка

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Например, функция является однородной третьего порядка, т.к.

Определение. Уравнение вида P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,                   (3)

где P(x, y), Q(x, y) – однородные функции x и y одинаковой степени, называется однородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (3) можно привести к виду                                   (4)

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

, т.е. y=ux и  y/=u/x+u

После решения полученного ДУ относительно u, нужно выразить u через x и у и решить новое ДУ с разделяющимися переменными.

 

3. Линейные ДУ первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

              (4)

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

               (5)

Такого типа дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

     ,

        

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяется основном метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y=uv, где u=u(x), v=v(x)—некоторые функции от x, тогда y/=u/v+uv/. Этот метод более подробно рассмотрен в практической части.

Практическая часть

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:  y′tgx=1+y, если   при ;

Решение. Уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, где f1(x)=tgx, f2(y)=1+y.

ln|1+y|=ln|sinx|+C1,

1+y=sin x ,

y=Csin x-1.

Находим С, подставляя в данное равенство начальные данные условия.

  С=1.

Таким образом,

y=sin x-1.

Ответ: y=sin x-1.

Пример 2.Решить уравнение .

Решение.Заданное уравнение имеет вид (3), т.е. является однородным диф. уравнением первого порядка. Приведем его к виду (4):

          

Пусть  тогда  и уравнение привет вид:

 

  т.к.  то

-- общее решение заданного уравнения.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение (x2-2y2)+2xy =0

Решение. (x2-2y2)+2xy =0.

(x2-2y2)dx+2xydy=0.

В данном уравнении функции P(x, y)=x2-2y2, Q(x, y)=2xy – однородные второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Положим, у=ux, откуда:

dy= udx+x du.

Уравнение примет вид:

x2dx-2(zx)2dx+2x ux(u dx+x du)=0,

x2dx-2u2x2dx+2u2x2dx+2ux3du=0,

dx+2uxdu=0,

     

,    ,   

Учитывая, что u=y/x, находим общий интеграл

Ответ:

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение имеет вид (4), т.е. является линейным уравнением. Пусть

y=uv, y/=u/v+uv/.Тогда уравнение примет вид:

  

                                        (6)                                  

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е.

,

,

Интегрируя равенство, получим

,

.

Подставим полученное решение в (6).

.

Итак, общее решение .

Ответ:

Практические задания

1-2-- Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными.

3-- Найти частное решение ДУ с разделяющимися переменными.

4--Найти общее решение однородного ДУ первого порядка.

5-- Найти общее решение линейного ДУ первого порядка.                    

1 вариант 1. ydy=x3dx. 2. xydy=(y2-1)dx 3. ydx+ctg xdy=0, если у=1 при . 4. 5. y/+2xy=2xy3 2 вариант 1. 4y2dx=x2dy. 2. x2dx=ydy.   3. (1+x)ydx=(y-1)xdy, если у=1 прих=1. 4. ydx+(x+y)dy=0. 5. y/+ycosx=sin2x
3 вариант
  1. x3dx=(y-1)dy.
  2. (x+3)dy=(y-1)dx
  3. x2dy-y2dx=0, если у=1 при х=0,2.
 
4 вариант
  1. .
  2. dy+y tg xdx=0.
  3. x2dy- y3dx=0, если у=1 при х=-1.
  4. .
  5. .
Вариант 5
  1. xdy=ydx
  2. y/=sin5x, y(π/2)=1
  3. y/+y=e-x
Вариант 6
  1. xdy=y4dx
  2. xyy/=1-x
  3. y/=6 dx
  4. yy/-2y+x=0
  5. xy/+y=sinx
Вариант 7
  1. x2dy-dx, y(1)=2
  2. y/+2xy=2x3
Вариант 8
  1.  (2-y)dy=xdx
 
  1. , если у=4 при х=0
  2. (3x2-y2)y/=2xy
 
  1. xy/+y=x+1
Вариант 9
  1. y/-3xy=0
  2. xdy+y3dx=0
  3. , если у=1 при х=1.
  4. 2xyy/=x2+y2
  5. y/-ysinx=sinxcosx
Вариант 10
  1. , если у=0 при х=1
  2. x2y/=y2-xy+x2
Вариант 11
  1. ydy=exdx
  2. ,  если у=1 при х=0.
  3. (x-y)ydy-x2dy=0
  4. xy/+y=3
Вариант 12
  1. x3dx=(3-y)dy
  2. y2dx=exdy, если у=1 при х=0.
  3. xy2y/=x3+y3
 
  1. xy/-3y=x4ex
Вариант 13
  1. xydх-(2+x2)dy=0.
  2. 1+y2=xyy/, y(2)=1
  3. x3dy-y(x2+y2)dx=0.
  4. xy/-y-x3=0
Вариант 14
  1. y/+y=5
 
  1. x2dy+(y-3)dx=0
 
  1. cosxsinydy=cosysinxdx, y(π)=π.
  2. x2y/=xy+y2
  3. y/-3xy=2xy2

       Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Как определить порядок диф. уравнения?

3. Что называется общим решением диф. уравнения? Частным?

4. Диф. Уравнения с разделяющимися переменными. Алгоритм их решения.

5. Однородные диф. уравнения первого порядка. Алгоритм их решения.

6. Линейные диф. уравнения первого порядка. Алгоритм их решения (Метод Бернулли).

 

 

Практическая работа №25

 «Решение  ДУ высших порядков»

Цель работы: развить навыки решения ДУ высших порядков двух видов:уравнений, допускающих понижение порядка, и линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретическая часть

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

I. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения вида y(n) = f(x).           (1)

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

И т.д. до получения у.


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 635; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ