Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа 5 страница
– падение напряжения на резисторе R.
Подставив значение 
из (а) в (b) и (с), получим систему из двух уравнений:
Подставим известные величины
Откуда 
Ток 
определим из уравнения (4):
Ток 
определим из уравнения (1):
П р и м е р 2.16. В цепи (рис. 2.24) имеются три индуктивно и электрически связанные катушки.
Составить уравнения в общем виде:
а) по законам Кирхгофа; б) методом контурных токов.
Р е ш е н и е. В соответствии с выбранными направлениями токов катушки L1 и L2 включены согласно, L1 и L3 – встречно, L2 и L3 – также встречно. Для определения токов можно составить три уравнения, используя законы Кирхгофа, либо два уравнения, используя метод контурных токов (метод узловых потенциалов применять нельзя, так как ток в любой ветви зависит не только от ЭДС и потенциалов, но и от токов в других ветвях).
А. Уравнения по законам Кирхгофа.
По первому закону 
По второму закону для левого контура (обход по часовой стрелке)
Для правого контура (обход против часовой стрелки)
Б. Уравнения для контурных токов.
где Z11=jXL1+jXL3–j2XM13; Z22=jXL2+jXL3+j2XM23;
Z12= Z21=– jXL3+jXM13–jXM23+jXM12; 
Знаки перед сопротивлениями взаимной индукции выбираются в соответствии с направлениями токов в катушках индуктивности. Так, ток втекает в начало L1, а ток 
в конец L3, то есть по отношению к току катушки L1 и L3 включены встречно, поэтому перед сопротивлением взаимной индукции выбран отрицательный знак. Ток втекает в начало катушки L2, то есть по отношению к току катушки L2 и L1 включены согласно, поэтому перед сопротивлением взаимной индукции выбран положительный знак. Аналогично устанавливаем, что катушки L2 и L3 включены встречно.
|
|
|
Для взаимного сопротивления контуров знаки выбираются по следующему правилу (с учетом данного направления контурных токов):
Z12=Z21=–(Z3+jXM12), где Z3=jXL3–jXM13+jXM23.
Знак перед jXM13 выбран отрицательный, а перед jXM23 положительный, так как L1 и L3 включены встречно, а L2 и L3 – согласно (по отношению к контурным токам). Знак перед jXM12 выбран отрицательный, так как L1 и L2 по отношению к контурным токам 
и 
включены встречно.
Тогда система уравнений для контурных токов будет
П р и м е р 2.17. В цепи (рис. 2.25) напряжения 
; L1=L2=4мГн; L3=2 мГн; С=40 мкФ; f=400 Гц; R1=10 Ом; R2=8 Ом; коэффициент связи k=0,5.
Определить комплексы токов в первой и во второй ветвях, а также комплекс напряжения 
.
Р е ш е н и е. В цепи (рис. 2.25) имеются три связанные катушки, причем катушка L3 связана с остальными только индуктивной (трансформаторной) связью, а катушки L1 и L2 связаны между собой электрической и индуктивной связями. Тогда токи в первой и второй ветвях можно определить, например из системы контурных уравнений, в которых 
;
|
|
|
где Z11=R1+jXL1–jXC; Z12=Z21=–(–jXC+jXM12); Z22=R2+jXL2–jXC;
Напряжение определяется как сумма ЭДС, наводимых в катушке L3 током , протекающим в катушке L1, и током , протекающим в катушке L2. С учетом одноименных зажимов катушек направления токов 
, а также выбранного направления напряжения будут 
Тогда
Значения М определяются из выражения для коэффициентов связи 
и т. п.
Числовые значения параметров цепи и режима
Составляющая напряжения 
:
Составляющая напряжения 
:
Напряжение 
Решение проверяют, используя уравнение второго закона Кирхгофа для внешнего контура; выберем направление обхода контура по часовой стрелке:
100+50+j86,5=(10+j10–j5)(11,7–j2,4)+(8+j10–j5)(4,8+j3,5).
150+j86,5=150+j86,5.
З а д а ч и
11. Рассчитать токи в ветвях и напряжения 
цепи, приведенной на рисунке, если 
=20 A; R1=4,9 Ом; ХС=15,1 Ом; R2=5,1 Ом; ХL1=6 Ом; ХL2=10 Ом; ХМ=3 Ом.
12. Определить показания вольтметра и ваттметра в цепи: а) при разомкнутом выключателе; б) при замкнутом выключателе.
Параметры схемы: R1=R2=10 Ом; Х1=Х2=10 Ом; 
=141 В; коэффициент связи К=0,80.
13. Определить значение емкости, при которой в цепи возникнет резонанс.
14. Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно. Приложенное напряжение и ток в цепи выражаются комплексами 
. Определить R и L одной катушки, если М=0,1 Гн, а катушки одинаковы.
|
|
|
15. Для схемы автотрансформатора указать неверное уравнение:
П р и м е р 2.18. При постоянных значениях частоты и приложенного напряжения сопротивление нагрузки (рис. 2.26) меняется от 0 до ¥. При этом 
=100 В; Х1=10 В; R1=10 Ом. 1. Показать, что для тока в нагрузке 
, тока на входе цепи и напряжения на индуктивности 
могут быть построены круговые диаграммы. 2. Рассчитать данные для построения круговых диаграмм и . 3. По круговой диаграмме тока определить , cosj, P, Q, при RH=10 Ом.
Р е ш е н и е. 1. Если выражение для тока (напряжения) в комплексной форме записи (обозначим его 
) имеет вид
где векторы 
– постоянны, коэффициент k меняется от 0 до ¥, угол y постоянен и не равен 0 или +180°; то геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) является дуга окружности (круговая диаграмма).
При y=0 или +180° геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) будет прямая линия (линейная диаграмма).
Используя метод эквивалентного генератора, заменим всю схему, за исключением ветви переменного сопротивления RH, эквивалентным генератором с ЭДС 
, равной напряжению холостого хода 
на разомкнутых зажимах переменного сопротивления:
|
|
|
,
и эквивалентным сопротивлением Zэ = 
.
Входное сопротивление схемы относительно зажимов переменного сопротивления определим из исходной схемы при замене имеющихся в них источников энергии их внутренними сопротивлениями (для источников ЭДС Zв=0, для источников тока Zв=¥).
Тогда ток в нагрузке 
то есть конец вектора 
скользит по дуге окружности, хордой которой является вектор 
, а направление касательной определяется углом y=jН–j2вх.
В линейных цепях ток (напряжение) в любой ветви связан с током в другой ветви линейным соотношением, например, ток на входе цепи и напряжение на индуктивном сопротивлении связаны с током в нагрузке соотношениями 
Коэффициенты a, b, c, d найдем при режимах холостого хода (RH=¥) и короткого замыкания (RH=0).
В общем виде
Приведенные выражения свидетельствуют о том, что геометрическим местом концов векторов 
также являются дуги окружностей.
2. Для построения круговых диаграмм рассчитаем следующие режимы цепи:
а) холостого хода
б) короткого замыкания
в) для определения входного сопротивления Z2вх относительно зажимов тп
Строим круговую диаграмму для (рис. 2.27). На комплексной плоскости по вещественной оси откладываем напряжение , а затем токи 
в масштабе тI=2 А/см под углами –45° и –90° соответственно.Затем проводим хорду ab, являющуюся разностью векторов 
и под углом y к положению хорды в точке b проводим линию, которая будет в дальнейшем касательной к предполагаемой дуге окружности. Центр окружности с лежит на пересечении перпендикуляра, проведенного из середины хорды (точка с’), и перпендикуляра к касательной (совпал с линией ob).
Для построения линии переменного сопротивления (ЛПС) на хорде от конца вектора тока х. х. (точка а) откладываем в масштабе сопротивлений mZ=4 Ом/сммодуль сопротивления Z2k (отрезок аd). Затем от конца этого отрезка под углом –y проводим ЛПС (отрезок dg).
3. При RH=10 Ом на линии ЛПС откладываем в масштабе сопротивлений отрезок dg и соединяем точки а и g. На этой линии отрезок af (до пересечения с окружностью) изображает второе слагаемое в уравнении (1). Сумма тока холостого хода 
и этого тока дают искомый ток . Измерив отрезок of, изображающий ток I1, найдем величину этого тока I1=of×mI=8,9 A, a измерив угол j=63°, определим комплекс тока 
Более точно можно определить угол j через отношение отрезков oh и of, так как 
. Отрезок oh определяет активную мощность Р в масштабе мощностей тР=UmI=100 Вт/см, то есть Р=oh×mP=4,1×100=410 Вт. Другой отрезок hf определяет реактивную мощность в том же масштабе, то есть Q=hf×mP=7,8×100=780 вар.
П р и м е р 2.19. Фазовращающая цепь, схема которой представлена на рис. 2.28, позволяет при постоянстве выходного напряжения 
менять его фазу от 0 до 1800. Показать это, если модуль ХС меняется от 0 до ¥.
Р е ш е н и е. Для ветви асb(правая ветвь) запишем уравнение напряжения на конденсаторе
где 
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 703; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!