Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа 3 страница

    П р и м е р 2.2. Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны В, А. Построить векторную диаграмму на комплексной плоскости. Найти мгновенные напряжение и ток.

    Р е ш е н и е. На комплексной плоскости с ортами +1 и +j строим векторы комплексных тока  и напряжения  (рис. 2.3). Длины векторов пропорциональны в выбранном масштабе модулям комплексных действующих значений напряжения и тока:

В,

А.

Их начальные фазы:

, ;

, .

    Комплексные действующие значения напряжения и тока в показательной форме

В, А.

    Комплексные амплитуды напряжения и тока

 

В, А.

 

    Мгновенное напряжение и ток

В, А.

 

    П р и м е р 2.3. Написать комплексы действующих значений и комплексные амплитуды синусоидальных функций времени

a=A_msin(wt+y) и i=–3sin(wt+30°).

    Р е ш е н и е. a=A_msin(wt+y)=Мч[ ],

где Мч – означает мнимая часть комплексного числа;

= =A_m cos(wt+y)+j A_msin(wt+y);

 – комплексная амплитуда;

 – комплекс действующего значения синусоидальной функции времени.

    Таким образом, синусоидальной функции времени A_msin(wt+y) соответствует комплексная амплитуда  и комплекс действующего значения синусоидальной функции времени . Это записывают следующим образом:

 A_msin(wt+y) , где « »– знак соответствия. Тогда

i= –3sin(wt+30°) 3е^{j(180°+30°)};

    

 

П р и м е р 2.4. Найти синусоидальную функцию времени, изображенную комплексами действующих значений:

    а)

   

    Р е ш е н и е. В общем виде

где . Тогда :

а)

 г) u=100sin(wt–135°); д) u=100sin(wt–90°).

    П р и м е р 2.5. По заданным комплексам напряжения на зажимах участка цепи и тока в нем определить: 1) действующие и максимальные значения тока I и I_т и напряжения U и U_т; 2) сдвиг фаз j между ними; 3) активную и реактивную составляющие тока I_a и I_p и напряжения U_a и U_p; 4) комплексное ( Z ), активное ( R ) и реактивное ( Х ) эквивалентные сопротивления участка; 5) комплексную Y, активную G и реактивную B проводимости; 6) комплексную S, активную P и реактивную Q мощности, если

    Р е ш е н и е

1.

 

2.  j = y_и–y_I = –45° (знак «–» говорит о преобладании емкостного сопротивления).

 

3. I_a=Icosj=0,707 A; I_р=Isinj=0,707 A; (ток опережает напряжение рис. 2.4, а)  U_a=U cosj=8,5 B; U_р=U sinj=–8,5 B (рис. 2.4,б).

     

 

 

        

4.   Z=12 Ом; R=Zcosj=8,5 Ом; Х=Zsinj = 8,5 Ом или Х_С=8,5 Ом; Z=R+j(X_L–X_C)=(8,5–j8,5) Ом.

 

5.   (знак «+» подтверждает преобладание емкостного сопротивления).

Сравните знаки в показателе степени Y, Z, S).

 

6.  

P=Scosj=I²R=U²G=UI_a=U_aI=8,5 Вт;

Q=Ssinj=I²X=U²B=UI_p=U_pI=–8,5 ВАр или Q_C=8,5 ВАр;

S=P+jQ=P+j(Q_L–Q_C)=(8,5–j8,5) B×A.

 

П р и м е р 2.5. На рис. 2.5 показана расчетная схема линии электропередачи с присоединенным к ней приемником. Линия представлена последовательным соединением активного и реактивного сопротивлений, а приемник – пассивным двухполюсником. Индексами «1» и «2» обозначены величины, относящиеся соответственно к началу и к концу линии. Дано: R_Л=X_Л=6 Ом; U₂=5500 В; P₂=500 кВт;cosj₂=0,91; j>0. Определить напряжение в начале линии U₁.

    Р е ш е н и е. Представим пассивный двухполюсник эквивалентной схемой (рис. 2.6), состоящей из последовательного соединения сопротивлений R₂ и X₂.

    Ток в двухполюснике (и в линии)

I=P₂/U₂cosj₂=100 A.

    Сопротивления Z₂=U₂/I=55 Ом; R₂=P₂/I²=50 Ом; Ом; R₁=R₂+R_Л=56 Ом; X₁=X₂+X_Л=28,9 Ом;  Ом.

Искомое напряжение U₁=Z₁I=6300 B.

    На рис. 2.7 показана векторная диаграмма напряжений и тока (заметим, что потеря напряжения DU=U₁–U₂=800 B, а падение напряжения в линии равно

 

.

З а д а ч и

1. Дан график изменения мгновенной мощности нагрузки. Определить активную мощность и коэффициент мощности нагрузки (cosj).

 

2. Последовательно включены два источника ЭДС: 

e₁=141sin(wt+30°) B;         e₂=–141coswt B

Определить мгновенное значение суммарного напряжения u_ab(t) и показание вольтметра электромагнитной системы, включенного между зажимами a и b.

Примечание. Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем измеряют действующие значения переменных токов и напряжений.

 

3. В цепь синусоидального тока включены три амперметра. Определить показание амперметра А, если амперметры А₁ и А₂ показывают соответственно 2  и 2,5 А.

Указание: Предварительно построить векторную диаграмму токов.

 

4. По заданным комплексам напряжения  и мощности S определить: 1) ток; 2) сдвиг фаз между напряжением и током; 3) проводимости и сопротивления, если         

 

5. Заменить участок ab схемы эквивалентным с одним источником ЭДС , если

    Примечание. Сопротивление Z₁ при замене не учитывается, так как сопротивление самого источника тока  бесконечно велико.

 

    П р и м е р 2.6. Резистор с сопротивлением R₁=20 Ом и катушка с сопротивлением R₂ и индуктивностью L₂ соединены параллельно (рис. 2.8). В цепь включены амперметры. Показания амперметров I₁=2 A; I₂=3 A; I=4 A. Определить параметры катушки R₂ и X_L=wL₂.

    Р е ш е н и е. Сначала рассмотрим графический способ. Найдем напряжение, приложенное к цепи U₁=R₁I₁=40 В. Выберем масштабы для напряжения m_U, В/мм, и для тока m_I, А/мм. Отложим векторы . Они одинаковые по направлению, так как ток  совпадает по фазе с напряжением .

Построение векторов  основывается на том, что  и ток  отстает по фазе от напряжения . Проводим из начала и конца вектора  дуги, радиусы которых в выбранном масштабе m_I равны токам I и I₂. Точка В пересечения этих дуг указывает положение концов векторов .

    Отметим, что существует еще одна точка пересечения этих дуг – выше вектора . Она  не  может  служить  для  определения  концов векторов ,  так  как вектор ,  проведенный  в  эту  точку,  опережал бы вектор напряжения , в  действительности  же  он отстает  от  вектора .

Разложим вектор напряжения  на два составляющих вектора, один из которых, , совпадает по направлению с вектором , а другой, , ему перпендикулярен. Это векторы активной и реактивной составляющих напряжения на катушке.

    Находим действующие значения U_а=m_UOD и U_р=m_UDG и, наконец, вычисляем  R₂=U_а/I₂; X₂=U_P/I₂. Теперь рассмотрим аналогичный способ решения на основе векторной диаграммы. Векторную диаграмму строим качественно – не в масштабе (рис. 2.9). Она нужна только для того, чтобы наглядно представлять тригонометрические соотношения между ее отрезками.

Из треугольника ОАВ имеем I²= I₁²+ I₂²–2I₁I₂cos(180°–j₂),

или 4²=2²+3²–2×2×3cosj₂, откуда cosj₂=0,25; j₂=75°32’; sinj₂=0,969;

X₂=U_P/I₂=Usinj₂/I₂=12,9 Ом.

 

    П р и м е р 2.7. Определить реактивные сопротивления Х₃ и Х₄, при которых приемник (рис. 2.10, а) с сопротивлением Z₂=R₂+jX₂ получает максимальную мощность от источника с внутренним сопротивлением Z₁=R₁+jX₁.

    Р е ш е н и е. Вся активная мощность, отдаваемая источником, потребляется в приемнике (в сопротивлении R₂), так как остальные сопротивления – реактивные. Поэтому необходимо, чтобы входное сопротивление каждого пассивного двухполюсника было равно сопряженному комплексному внутреннему сопротивлению источника , то есть для схемы а нужно, чтобы  

и для схемы б   

    Каждое из полученных уравнений для комплексных величин можно записать в виде двух уравнений: для вещественных и для мнимых величин, из которых и определяются Х₃ и Х₄.

    Если Z₁=R₁+X₁ , то сопротивления X_{2 ,} X₃ , X₄ необходимо брать со знаком минус. Реальные элементы цепи обладают не только реактивными, но и активными сопротивлениями, поэтому приведенный расчет согласования сопротивлений приемника и источника питания является приближенным.

 

    П р и м е р 2.8 Для определения параметров катушки (рис. 2.11) (R, L) измерены подведенное к катушке напряжение и ток в ней при: а) f₁=0, U₁=100 B, I₁=1 A; б) f₂=500 Гц, U₂=100 B, I₂=0,5 A.

Определить R, L и показание амперметра при частоте  f₃=1000 Гц и напряжении U₃=100 B.

    Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи Z=Ze^jj является коэффициентом пропорциональности между комплексами действующих значений приложенного к цепи напряжения  и тока

 

 

    Комплексное сопротивление катушки запишем как

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1698; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!