Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа 10 страница

6. Согласно  законов коммутации имеем и_С(0)=и_С(0_–)=0,

i_L(0)= i_L(0_–)=20 A.

Находим значение тока переходного процесса i в момент времени t=0 из уравнения            i(0)R+u_C(0)=E                                                 (1)

i(0) =( E- u_C(0))/ R =20 A.

7. Определяем значение первой производной тока i в момент времени t=0, продифференцировав уравнение (1):

Учтем при этом

    Согласно первому закону коммутации запишем

i_L(0)= i_L(0_–)=0, тогда i_C(0)=i(0)=20 A,

 

8. Находим постоянные интегрирования из уравнения (1) при t=0:

 

9. Записываем выражение для искомого тока переходного процесса:                      

i(t) = 20 – 8×10⁴ te ^–2000t.

10. Проверка правильности решения:

в момент t = 0  i(0)=20 A, в момент  t = ¥  i(¥)=20 A.

 

    П р и м е р 4.6. Определить ток переходного процесса в электрической цепи (рис. 4.6, а) после размыкания ключа К, если и(t)=100sin(1000t+p/4), R=10 Ом, С= С₂=100 мкФ, L=10 мГн.

     Р е ш е н и е. 1. Выбираем положительные направления для тока и напряжения на конденсаторе. Находим их  значения   до   коммутации:

 

Мгновенное значение  

 При t = 0_- i₁(0_-) = 0  u_C (0_-) = 50sin(-π/4)= –35 В.       

2. Записываем дифференциальное уравнение на основании закона Кирхгофа для моментов времени после коммутации:

3. Представляем искомый ток в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

i=i_пр+i_св.

4. Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

5. Таким образом, решение для свободного тока ищем в виде

6. Находим принужденную составляющую тока переходного процесса, воспользовавшись комплексным методом

 

7. После коммутации ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе  по законам  коммутации в  момент времени

 t = 0₊ равны           i₁(0₊)=i₁(0_-)=0,    

 u_C (0₊)= u_C (0_-)=50sin(-π/4)= –35 В.

8. Находим значение первой производной тока переходного процесса в момент времени t = 0₊

9. Определяем постоянные интегрирования из уравнений

которые в момент t = 0 имеют вид

    Решение этих уравнений дает 

10. Записываем окончательное выражение для тока переходного процесса 

так как при

а при 

 

    П р и м е р 4.7. В схеме, показанной на рисунке 4.7,а, замыкается рубильник К, который включает конденсатор С, предварительно заряженный до напряжения и_С(0_–). Найти выражение для токов при переходном процессе, если Е=60 В, R₁=400 Ом, i_L(0 )=0,05 A, R₂=800 Ом, L=0,2 Гн, С=2,5 мкФ, и_С(0_–)=20 В.

    Р е ш е н и е. 1. Выбираем положительные направления токов и определяем ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе до коммутации

i(0_-)=E/(R₁+R₂)=0,05 А, u_C (0_-)=20 В.

2. Составляем операторную схему замещения (см. рис. 4.7,б), найдя для напряжения на каждом элементе электрической цепи, соответствующее изображение по Лапласу.

3. Рассчитываем электрическую цепь любым способом, например методом контурных токов:

Решая систему уравнений, определяем

 

4. Используя теорему разложения, находим искомые токи

 

 

    Находим нули функции F(p):

 

F(p)=2×10^–4p²+p+1200=0,   p₁=–2000 c^–1, p₂=–3000 c^–1.

 

    Далее вычисляем F_a(0) = 60,   F(0) = 1200, F_a(p₁) = –40, 

F_a(p₂) = –30, F_b(p₁) = 0,04, F_b(p₂) = 0,03.

 

З а д а ч и

1.Определить значение тока i₃(0) в цепи сразу после коммутации, если        u=141sin(314t+45⁰) B, R₁ = 20 Ом,

R₂ = 4 Ом, L = 19,1 мГн, C=300 мкФ

1) i₃(0) = 7,5 A;          2) i₃(0) = 10 A; 

3) i₃(0) = 0;                 4) i₃(0) = 2,5A;           5) i₃(0) = 5 A.

 

2. Определить сопротивление R₃, если в момент коммутации напряжение

u₃(0) = 100 B, u = 282 sin(ωt+45⁰) B,

R₁=5 Ом, L= 50 мГн, C = 100мкФ, 

f = 50Гц,  R₂=4 Ом.

6) R₃ = 10 Ом; 7) R₃ = 20 Ом; 

8) R₃= 4 Ом;     9) R₃ = 5 Ом;     10) R₃= 8 Ом.

 

3.В цепи, представленной на рис., определить  переходное напряжение на индуктивности u_L :

11) ;  12) ;

13) ; 14) ;

15) ;

 

4.В цепи, представленной на рис, определить переходное напряжение u₁, если U = 100 B;  R₁ = 40 Ом,

 R₂ = 10 Ом, L₁= 0,2 Гн, L₂= 0,1 Гн, M = 0,1 Гн.

16) u₁=(80 – 20 e ^{– 100t}) B;  17) u₁=(80 – 20e ^{– 500t}) B; 18) u₁=(80 + 20e ^{– 500t}) B; 19) u₁=(80 – 5 e ^{– 125t}) B;

20) u₁=(20 – 30e ^{– 250t}) B.

 

5.Определить переходной ток i в цепи, еслиE =200 B,  R= 400 Ом, C₁ = C₂ = 5мкФ   

21) i = 0,5e ^{– 1000t} A;     22) i = 0,25e ^{– 1000t} A;

23) i= 0,25e ^{– 250t} A;     24) i= 0,5e ^{– 250t} A;

25) i= 0,25e ^{– 2000t} A.

 

 

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

 

П р и м е р 5.1. Линейный элемент с сопротивлением R =     = 200 Ом и нелинейный элемент (НЭ), вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого задана данными табл.1, соединены последовательно и подключены к источнику питания с ЭДС Е = 200 В (рис.5.1). Определить ток в цепи и напряжение на нелинейном элементе.

 

Таблица 1

U, В	0	20	40	60	80	100	120	160	200	240
I, А	0	0,22	0,36	0,45	0,53	0,60	0,65	0,76	0,80	0,85

        

Р е ш е н и е.Воспользуемся методом пересечения характеристик – графическим методом решения задачи.    

По второму закону Кирхгофа уравнение напряжения для рассматриваемой цепи имеет вид U_ab  = Е – RI. Нелинейный элемент имеет ВАХ    U_ab = U₂( I ). Точка пересечения характеристик определяет решение этой системы уравнений.

Строим зависимость U₂( I ), заданную табл.1 (рис.5.1). На том же графике строим линейную зависимость U_ab = Е – –RI по двум точкам с координатами U_к=0, I_к = Е/R = 1 А и I_х = 0, U_x = E = =200 В. В точке пересечения  с определяем ток в цепи I = 0,55 А и напряжение на нелинейном элементе U = 85 В.

 

    П р и м е р 5.2. Найти в аналитической форме зависимость отношения ∆U_вх / ∆U_вых  от параметров балластного резистора R_б и стабилитрона VD в схеме стабилизации напряжения рис. 5.3,а.

    Р е ш е н и е. В режиме стабилизации напряжения стабилитрон работает на линейном участке его ВАХ: I_{ст min} < I_ст < I_{ст max} (рис.5.3,б), при этом схема рис.5.3,а может быть заменена эквивалентной линеаризованной схемой рис.5.3,в (параметры Е_эк и R_эк = =R_диф схемы определяются графически для линейного участка ВАХ стабилитрона).

 

Для схемы рис.5.3,в  справедливо уравнение U_вх = U_вых + R_бI.

Так как I = (U_вых – Е_эк) / R_эк, то можно записать

                               U_вх = U_вых + (R_б / R_эк)(U_вых – Е_эк).

Продифференцировав полученное выражение для U_вх по выходному напряжению, находим

                       ∂U_вх/∂U_вых=1+R_б/R_эк=1+R_б/R_диф.

Так как в схеме стабилизации напряжения выполняется неравенство R_б>>R_диф, окончательно имеем

                 ∆U_вх / ∆U_вых = ∂U_вых/∂U_вых = R_б/R_диф.

    Коэффициент стабилизации напряжения в схеме рис. 5.3 возрастает с увеличением сопротивления балластного резистора и уменьшением дифференциального сопротивления стабилитрона.

     

П р и м е р 5.3 На рис. 5.4,а, представлена цепь содержащая позистор СТ5-1, ВАХ которого показана на рис. 5.4,б (кривая 1), и линейное сопротивление R.

 Подобрать величину R так, чтобы цепь могла быть использована как стабилизатор тока. Построить входную ВАХ I(U) и определить ток стабилизации.

Р е ш е н и е. Чтобы цепь рис. 5.4,а работала как стабилизатор тока, нужно подобрать такое сопротивление R, при котором суммарная ВАХ параллельной цепи имеет горизонтальный участок (I=сonst). Это достигается при равенстве сопротивления R модулю дифференциального сопротивления позистора на падающем участке. Следовательно, на участке 8 £ U £ 32 В (см. рис. 5.4,б) дифференциальное сопротивление позистора R_д = ΔU/ΔI = –600 Ом, тогда  

R = |R_д| = 600 Ом.

Ток стабилизации можно определить аналитически для любого значения напряжения на данном участке, например для U = 8 В:

I_ст = I_нс+I_R = 80 + (8/600)·10³ = 93,3мА.

Ток стабилизации можно получить графически, сложив ординаты ВАХ позистора и сопротивления R. При этом получим кривую 2, которая представляет входную ВАХ I(U).

 

П р и м е р 5.4. Катушка с кольцевым сердечником, содержащим воздушный зазор, подключена к сети постоянного тока напряжением U=12 В. Обмотка катушки имеет сопротивление R = 12 Ом и число витков w = 1000. Сердечник выполнен из стали 1512 и имеет внешний диаметр D = 22 см, внутренний диаметр d = 18 см, толщину пакета b = 1 см, коэффициент заполнения стали k_з.с.≈ 1. Определить магнитный поток и индуктивность катушки, если воздушный зазор сердечника δ₁ = 0,01 см, и начертить схему замещения магнитной цепи.

    Р е ш е н и е. Схема замещения магнитной цепи аналогична схеме последовательной электрической цепи. Аналогом тока является магнитный поток, аналогом ЭДС является МДС Iw, аналогом линейного сопротивления – магнитное сопротивление воздушного зазора, аналогом нелинейного сопротивления – магнитное сопротивление магнитопровода (рис.5.5,а).

Магнитодвижущая сила для заданного сердечника определяется уравнением wI = l_cH_c + δH_н, которое можно решить графическими методами: 1) построением суммарной вебер-амперной характеристики; 2) пересечением вебер-амперных характеристик (аналогично методам решения уравнений нелинейных электрических цепей постоянного тока). Рассмотрим оба метода решения.

    1. Вычисляем индукцию В, задаваясь произвольно несколькими значениями потока Ф в сердечнике и зная поперечное сечение сердечника  см². Затем по кривой намагничивания (табл. 2) находим соответствующие значения Н_с и вычисляем l_cH_c, где длина магнитной линии по стали  см.

Кривая намагничивания стали 1512

Таблица 2

В.Тл	0,2	0,4	0,5	0,75	1,0	1,2	1,34
Н, А/м	40	100	125	240	440	800	1650

 

    Полученные результаты расчетов сведены в табл. 3.

Таблица 3

Ф∙10-4, Вб	0,84	1,0	1,5	2	2,2	2,4	2,48	2,68
В, Тл	0,42	0,5	0,75	1	1,1	1,2	1,24	1,34
Нс, А/м	100	125	240	440	575	850	1000	1650
LcHc, А	62,8	78,4	151	276	361	534	628	1035

 

    На основании данных таблицы и схемы замещения (рис.5.5,а) строим вебер-амперную характеристику Ф (l_cH_c) (рис.5.5,б ). Далее строим линейную зависимость – вебер-амперную характеристику воздушного зазора Ф (δН_в). Для этого определяем координаты одной точки, например, для В = 0,5 Тл и δ₁= 0,01 см находим Ф₁ = BS =  = 1∙10^-4 Вб, Н_в = В/μ₀= 4∙10⁵ А/м и Н_вδ = 40 А. Откладываем на графике точку а с координатами Ф₁ = 1∙10^-4 Вб и lH = 40 А. Проводим через начало координат и точку а искомую прямую Ф (δН_в). Затем в соответствии со схемой замещения (рис. 5.5,а) производим сложение абсцисс кривых Ф(l_cH_c) и Ф(δН_в) и получаем суммарную кривую Ф(F) (обозначена пунктиром), где F = lH – МДС.

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 3827; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!