Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа 7 страница

В. При коротком замыкании фазы А

Для построения векторной диаграммы напряжений в нормальном режиме определим падения напряжения на сопротивлениях нагрузки:

На рис. 3.9 представлены векторные диаграммы.

П р о в е р к а р е ш е н и я. А. При нормальном режиме решение проверим, применив уравнение по первому закону Кирхгофа. Должно быть

0=0.

Б. При разомкнутом выключателе и наличии в цепи резонанса

I = ¥, так как Z = 0.

В. При коротком замыкании фазы А решение проверим, составив уравнение по второму закону Кирхгофа.

Для верхнего контура (обход по часовой стрелке)

Для нижнего контура (также обход по часовой стрелке)

П р и м е р 3.5. В цепи (рис. 3.10) фазные напряжения источника равны линейным напряжениям U_Ф=U_Л=208 В, сопротивления нагрузки Z_A=6 Ом, Z_B=3 Ом, Ом. Определить по показаниям ваттметров активную мощность, потребляемую нагрузкой.

Р е ш е н и е. Так как U_Ф=U_Л, то источники соединены в треугольник. Кроме того, так как напряжения по модулю одинаковы, то они образуют симметричную систему напряжений, то есть

С учетом наличия симметричной системы напряжений в цепи будет два независимых контура. В качестве первого независимого контура выберем верхний ( ), в качестве второго – нижний ( ).

Если выбрать в качестве третьего контура контур , то система уравнений будет иметь вид

Нетрудно видеть, что система уравнений не является независимой. Так, уравнение (1) является суммой уравнений (2) и (3) (с учетом того, что и ); уравнение (2) является разностью уравнений (1) и (3); а уравнение (3) является разностью уравнений (1) и (2). Поэтому достаточно иметь любые два уравнения, то есть рассматривать любые два контура. Рассмотрим верхний и нижний контуры. Система контурных уравнений будет

Токи в ветвях .

Показания ваттметров

Активная мощность, потребляемая нагрузкой: Р=Р₁+Р₂.

Система уравнений

Определитель системы

Токи в ветвях

Показания ваттметров

P₁=Re 208(17,32+j10)=3600 Вт,

P₂=Re (0,5+j0,866) 208 (17,32–j30)=7200 Вт.

Активная мощность, потребляемая нагрузкой:

Р = 3600 + 7200 = 10800 Вт = 10,8 кВт.

П р о в е р к а р е ш е н и я. Решение проверим с помощью уравнения второго закона Кирхгофа. Для внешнего контура

П р и м е р 3.6. В цепи (рис. 3.11) линейные напряжения U_Л=220 В, сопротивления нагрузки R=10 Ом, Х_L=20 Ом, Х_С=10 Ом.

Определить токи в линейных и фазных проводах.

Р е ш е н и е. В соответствии с выбранными направлениями токов фазные токи

Линейные токи (по первому закону Кирхгофа)

Примем

Тогда

П р о в е р к а р е ш е н и я. Решение проверим с помощью уравнения второго закона Кирхгофа.

Для контура с сопротивлениями

0 = 0.

П р и м е р 3.7. В цепи (рис. 3.12) линейные напряжения U_Л=220 В, сопротивления R=Х_L=Х_С=10 Ом. Определить токи в линейных и фазных проводах а) при нормальном режиме работы, б) при обрыве фазы ab, в) при обрыве линейного провода А. Построить векторные диаграммы для каждого из случаев. Определить показания ваттметров и сравнить сумму их показаний с активной мощность, потребляемой нагрузкой.

Р е ш е н и е. Задаем положительные направления фазных и линейных токов.

Б. При обрыве фазы ab схема цепи примет вид, показанный на рис. 3.13. Тогда

остаются неизменными.

Линейные токи стали равны фазным, – остался неизменным.

Выражения для определения показаний ваттметров и определения активной мощности, потребляемой нагрузкой, остаются без изменения.

В. При обрыве линейного провода А схема цепи примет вид, показанный на

рис. 3.14. Тогда получается однофазный режим.

Фазный ток остается неизменным.

Примем следующее пространственное расположение векторов линейных напряжений:

А. В нормальном режиме

Линейные токи

Показания ваттметров

P₁=Re 220(11–j41,05)=2420 Вт,

P₂=Re (110-j190,5)(–30,05+j30,05)=2420 Вт.

Активная мощность, потребляемая нагрузкой:

Р_потр=(11²+19,02²)×10= 4840 Вт =4,85 кВт

Б. При обрыве фазы ab

Фазные токи

не изменились,

линейные токи

стали равными фазным,

линейный ток

не изменился.

Р₁= Re 220(11–j19,05)=2420 Вт,

P₂= Re (110-j190,5)(–30,05+j30,05)=2420 Вт,

Р_ист= Р₁+Р₂=4840 Вт,

Р_потр= (11²+19,05²)×10=4840 Вт.

В. При обрыве линейного провода А получился однофазный режим, фазный ток остался неизменным,

фазные токи

линейные токи

Р_ист=Р₂=Re (–110+j190,5)(4,05–j15)=2410 Вт,

Р_потр=(15²+4²)×10=2410 Вт=2,41 кВт.

Векторные диаграммы для каждого режима представлены на рисунке 3.15.

П р о в е р к а р е ш е н и я. Частичным подтверждением правильности решения является совпадение активных мощностей источника и потребителя. Более полную проверку проведем, используя уравнения второго закона Кирхгофа.

А. При нормальном режиме для контура, содержащего сопротивление нагрузки:

Б. При обрыве фазы ab для верхнего контура

В. При обрыве линейного провода А для контура, содержащего сопротивления нагрузки,

З а д а ч и

1. Как изменится линейный ток, если симметричную нагрузку, соединенную треугольником, пересоединить в звезду при неизменном линейном напряжении? 1) уменьшится в 3 раза; 3) не изменится

2) уменьшится в раз; 4) увеличится в раз.

2. Определить показание амперметра, если трехфазная сеть характеризуется симметричной системой напряжений

U_АВ = U_ВС = U_СА = 220 В, R = X_L = X_C = 10 Ом.

5) 34,7 А; 7) 0;

6) 9,3 А; 8) 12,7 А.

3. Потребитель подключен к трехфазной сети с симметричной системой линейных напряжений. Как изменится показание вольтметра при размыкании рубильника S

9) не изменится; 11) увеличится в ;

10) уменьшится в раз; 12) уменьшится в

4. Линейные токи симметричного трехфазного потребителя равны 7 А. Определить коэффициент мощности потребителя, если линейные напряжения равны 100 В, а показание ваттметра составляет 605 Вт.

13) 0,865 А; 14) 0,5 А; 15) 2 А; 16) 0,958 А

5. Потребитель (см. рис.) подключен к сети с симметричной системой линейных напряжений. Токи в фазах потребителя равны 5 А. Определить токи в линейных проводах.

5) I_А = 8,65 А; I_B = 8,65 А; I_C = 8,65 А

6) I_A = 9,66 A; I_B = 8,65 A; I_C= 8,65 A

7) I_A = 9,66 A; I_B= 5 A; I_C = 9,66 A;

8) I_A = 8,65 A; I_B= 0; I_C= 9,66 A

П р и м е р 3.8. В цепи (рис.3.16), являющейся схемой генератора трехфазного тока, сопротивление прямой последовательности Z₁=8 Ом, сопротивление обратной последовательности Z₂=2 Ом, значение фазной ЭДС Е=100 В. Две фазы генератора замкнуты накоротко. Определить показания приборов. Построить векторные диаграммы симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей токов и напряжений.

Р е ш е н и е. Генератор является симметричной трехфазной цепью. Так как при этом в цепи имеется несимметричное короткое замыкание, то есть несимметричная нагрузка, то в цепи существует поперечная несимметрия.

Параметры режима

Если для расчета цепи применить метод симметричных составляющих, то выражения для фазных токов будут иметь вид

а выражения для составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей

С учетом известных параметров режима цепи составляющие тока будут

Аналогично составляются уравнения для напряжений. Составляющие напряжения прямой и обратной последовательностей (с учетом того, что ) будут

В результате решения уравнений для токов, напряжений и составляющих получим

Для нахождения симметричных составляющих напряжения фазы А и определения показаний приборов составим дополнительные уравнения

Сложим эти уравнения:

Откуда

Напряжения на вольтметрах

Векторные диаграммы симметричных составляющих всех последовательностей показаны на рис. 3.17.

В месте двухфазного короткого замыкания сумма токов равна нулю, поэтому . Токи дают в сумме фазный ток в месте короткого замыкания, а токи дают в сумме фазный ток , причем . Напряжение , так как сопротивление току короткого замыкания, то есть в данном случае сопротивление амперметра, принято равным нулю.

П р и м е р 3.9. В цепи (рис. 3.18), являющейся схемой генератора трехфазного тока, сопротивления прямой последовательности Z₁=j12 Ом, обратной последовательности Z₂=j3 Ом, нулевой последовательности Z₀=j1 Ом, значение фазной ЭДС Е=160 В.

Определить показания приборов. Построить векторные диаграммы симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей токов и напряжений.

Р е ш е н и е. Генератор является симметричной трехфазной цепью. Так как при этом в цепи имеется несимметричное (однофазное) короткое замыкание, то есть несимметричная нагрузка, то в цепи существует поперечная несимметрия.

Параметры режима