Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа 1 страница

ПРЕДИСЛОВИЕ   Предлагаемый сборник задач содержит минимальный набор задач, необходимый для успешного освоения дисциплины "Теоретические основы электротехники" (ТОЭ). Расположение материала в сборнике соответствует порядку его изложения в лекционном курсе и на практических занятиях. Для формирования навыков решения задач часть из них дана с подробными решениями, а другую часть задач студент должен решить самостоятельно. Для выполнения расчетно-графических работ в сборнике даны индивидуальные задания для каждого студента (в соответствии с номером по списку). К первой расчетно-графической работе приведен пример выполнения расчета. Для более активного использования ЭВМ при выполнении расчетов рекомендовано использовать программный комплекс MathCAD. В приложении приведены примеры использования MathCAD для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, а также построения графиков. Данный сборник является вторым изданием. Он дополнен задачами по теории четырехполюсников и теории электромагнитного поля. Примеры по теории четырехполюсников, фильтрам и линиям с распределенными параметрами выделены в отдельную главу. В приложении добавлен пример решения системы нелинейных дифференциальных уравнений с использования MathCAD. Исправлены опечатки, обнаруженные в первом издании. В конце каждой главы приведены задачи для самопроверки усвоения материала. Сборник задач предназначен для студентов электротехнических специальностей, осваивающих дисциплины "Теоретические основы электротехники" и "Основы теории цепей", а также может быть использован студентами неэлектротехнических специальностей, изучающих дисциплины "Теоретические основы электротехники" и "Основы электротехники и электроники" в сокращенном объеме. Компьютерный вариант настоящего пособия планируется использовать для организации дистанционного образования.    

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

    П р и м е р 1.1. Определить токи ветвей (рис.1.1), если напряжение U=120 В, R₁=18 Ом, R₂=30 Ом, R₃=20 Ом.

    Р е ш е н и е. Решение проводим методом "свертывания". Эквивалентное сопротивление разветвленного участка цепи

.

Общее сопротивление цепи    R=R₁+R₂₃=18+12=30 Ом.

В соответствии с законом Ома ток I₁=U/R=120/30=4 A.

Напряжение на зажимах параллельных ветвей   

U_ab=R₂₃I₁=12×4=48 В,

или на основании второго закона Кирхгофа   

U_ab=U–R₁I₁=120–18×4=48 В.

Токи ветвей

I₂=U_ab/R₂=48/30=1,6 A, I₃=U_ab/R₃=48/20=2,4 A.

    Эти токи можно определить иначе с помощью формул разброса, учитывая то, что ток I₁ распределяется в ветвях обратно пропорционально их сопротивлениям. При этом ток в одной из параллельных ветвей равен произведению тока в неразветвленной части цепи и отношения сопротивления другой ветви к сумме сопротивлений параллельных ветвей:

 

    П р и м е р  1.2. Определить сопротивление цепи между зажимами a и b (рис. 1.2), если сопротивления R₁=R₂=R₃=6 Ом.

    Р е ш е н и е. Перерисуем схему соединения резисторов так, чтобы соединяющие перемычки были покороче (рис. 1.3). Тогда станет виднее, что сопротивления соединены параллельно.

    Их эквивалентное сопротивление равно

Ом.

П р и м е р 1.3. Определить входное сопротивление R_ab цепи (рис. 1.4), если R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R.

    Р е ш е н и е. Поскольку точки с и с¢ цепи заземлены, их можно объединить в одну общую точку (рис. 1.5), и тогда резистивные элементы с сопротивлениями R₁, R₂ и R₃, R₄ будут соединены параллельно, а их эквивалентные сопротивления R₁₂=R₃₄=R/2 – последовательно.

При этом    R_ab=R₁₂+R₃₄+R₅=2R.

 

    П р и м е р 1.4. Внешняя характеристика источника энергии задана на рис. 1.6. Составить схему замещения цепи и определить Е, R_i и R_H, если ток I=2 A.

    Р е ш е н и е. Схема замещения цепи (рис. 1.7) имеет вид:

    при I=0 A, E=U_X=120 B,

     I=2 A,   U=115 B.

    В соответствии с уравнением электрического состояния 

U=E–R_iI

 определяем 

R_i=(U–E)/I=(120–115)/2=2,5 Ом, U=R_HI,

откуда

R_H=U/I=115/2=57,5 Ом.

 

    П р и м е р 1.5. На автомобильной лампочке написаны ее номинальные данные 5 Вт и 12 В. Определить ее сопротивление.

    Р е ш е н и е. Мощность лампочки связана с током и напряжением соотношением     .

Отсюда сопротивление    Ом.

 

З а д а ч и

 

1. Найти распределение токов в схеме, если R₁=R₂=0.5 Ом, R₃=R₄=6 Ом; R₅=R₆=1 Ом,

 R₇=2 Ом; а напряжение на входе U=120 B.

 

2. Чему равно показание амперметра, если параметры цепи заданы в Омах.

 

3. Определить внутреннее сопротивление генератора, если при подключении нагрузки с сопротивлением 5 Ом ток нагрузки составил 10 А, а при сопротивлении 2 Ом соответственно – 20 А.

 

4. Определить входное сопротивление R_ab цепи.

 

5. Определить значение U_ab, если Е₁=Е₂=100 В, Е₃=50 В, R=10 Ом.

 

П р и м е р 1.6. Составить уравнения по законам Кирхгофа, необходимые для расчета токов во всех ветвях цепи (рис. 1.8), считая известными сопротивления, ЭДС источников напряжения и ток источника тока.

Р е ш е н и е. Число ветвей или число неизвестных токов (источник тока не учитываем, так как его ток известен) b=9.

Число узлов у=6.

Для расчета токов необходимо составить пять уравнений по первому закону Кирхгофа (на одно меньше числа узлов). По второму закону Кирхгофа нужно составить четыре уравнения (определяя их число по уравнению b–(y–1)):

–I₁+I₂+I₉=J  – узел А;

I₁+I₃–I₄=0    – узел В;

I₄+I₅–I₆=0      – узел С;

I₆–I₇=–J        – узел D;

I₇+I₈–I₉=0      – узел Е;

R₁I₁+R₃I₃+R₂I₂=E₁+E₂  – контур I;

R₃I₃+R₄I₄–R₅I₅=0     – контур II;

  R₅I₅+R₆I₆+R₇I₇=E₆–E₈ – контур III;

–R₂I₂+R₉I₉=–E₂+E₈–E₉ –контур IV.

 

П р и м е р 1.7. Найти распределение токов в схеме (рис. 1.9), если E₁=20 B, E₂=24 B, E₃=12 B, R₁=R₃=R₄=2 Ом, R₂=8 Ом, R₅=R₆=4 Ом.

Р е ш е н и е. В схеме три узла: 1, 2, 3; по методу узловых потенциалов, если принять потенциал одного из узлов за ноль (например j₁=0), необходимо составить два уравнения:

(g₆+g₂+g₅+g₄₃)j₂–(g₅+g₄₃)j₃=g₂E₂+g₄₃E₂;

–(g₅+g₄₃)j₂+(g₁+g₅+g₄₃)j₃=–g₁E₁–g₄₃E₂.

или 

 

После подстановки числовых значений и алгебраических преобразований получим расчетные уравнения  

                 0,875j₂–0,5j₃=6;

–0,5j₂+j₃= –13.

Отсюда j₂= –0,8 В; j₃= –13,4 В;

U₂₁= –0,8 В;  U₃₁=–13,4 В;  U₂₃=j₂–j₃=12,6 B.

Расчет токов: I₁R₁ – U₃₁=E₁

 А.

Аналогично I₂R₂ + U₂₁=E₂;

 А;  =–0,15А;  А;  А.

Проверка расчета токов по балансу мощностей:

E₁I₁+E₂I₂+E₃I₄=I₁²R₁+I₂²R₂+I₄²(R₃+R₄)+I₅²R₅+I₆²R₆;

20×3,3+24×3,1-12×0,15=

=3,3²×2+3,1²×8+0,15²×(2+2)+3,15²×4+0,2²×4;

P_uст=138,6=Р_Н=138,6.

 

П р и м е р 1.8. Определить токи в ветвях схемы (рис. 1.10) и составить баланс мощности, если известны E₁=E₂=E₃=E₄=100 B; R₁=R₅=R₆= 10 Ом; R₂=R₃=R₄=1 Ом; I_A=40 A, I_B=10 A.

Р е ш е н и е. Определяем ток I_C, применяя первый закон Кирхгофа для замкнутой поверхности, охватывающей данную электрическую цепь:

–I_A+I_B+I_C=0,

откуда   I_C=I_A–I_B=10 A.

Примем  потенциал  узла   b  равным нулю, j_В=0.

Для определения потенциалов узлов а и с применяем метод узловых потенциалов:

(g₁+g₂+g₆)j_А–g₆j_С=–g₁E₁+g₂E₂+I_A;

–g₆j_A+(g₃+g₄+g₅+g₆)j_C=–g₃E₃–g₄E₄–I_C.

В числовом выражении

1,2j_A–0,1j_С=130;

–0,1j_A+2,2j_С=–230;

Отсюда j_A=100 В, j_С=–100 В.

Используя выражение закона Ома для активного участка цепи, рассчитываем токи в ветвях:  

, I₂=I₃=I₄=0,

Для составления баланса мощностей представим ветви с известными токами I_B, I_C в виде ветвей с источниками тока (рис. 1.11).

Так как j_B<j_A>j_C, то источники тока J_I=I_B  и J_II=I_С работают в режиме генератора. Источник ЭДС Е₁ также работает в режиме генератора. У источников Е₂, Е₃ , Е₄ – холостой ход.

Баланс мощности

J_IU_AB+J_IIU_BC+E₁I₁+E₂I₂+E₃I₃+E₄I₄=

=I₁R₁+I₂R₂+I₃R₃+I₄R₄+I₅R₅+I₆R₆;

10×100+30×200+100×20+0+0+0=20²×10+0+0+0+10²×10+20²×10;

P_ист=P_пр=9 кВт.

П р и м е р 1.9. На рис. 1.12  представлена схема электрической цепи, Е₁=150 В, Е₂=100 В, R₃=40 Ом, R₄=200 Ом, R₅=50 Ом, R₆=100 Ом. Найти токи в ветвях цепи.

Р е ш е н и е. В схеме 4 узла. В ветви ad и bc включены источники ЭДС.

Если принять j_а=0, то j_d=Е₁.

Для расчета потенциалов оставшихся узлов нельзя воспользоваться обычным методом узловых потенциалов, так как в уравнения войдет проводимость ветви bc, равная бесконечности.

Воспользуемся искусственным приемом, позволяющим исключить ветвь с идеальным источником и уменьшить число узлов на единицу. В ветвь bc включим компенсационную ЭДС Е₂¢, равную по величине Е₂, но направленную навстречу ей. Одновременно в остальные ветви, сходящиеся в узле с, включим ЭДС, направленные по отношению к узлу с так же, как и Е₂¢ (в данном случае от узла) и равные по величине Е₂      Е₂¢=Е₅¢=Е₆¢=Е₂.

Для данной схемы   j_с=j_b+E₂+E₂¢=j_b;

т. е. путем включения ЭДС Е₂ потенциал узла с уменьшается (понижается) на величину ЭДС Е₂.

Так как j_с=j_b, то узлы b и с можно объединить в один, и расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 1.13.

    Уравнения для расчета потенциалов узлов

j_а=0; j_d=E₁=150 B;

(g₃+g₄+g₅+g₆)j_b–(g₄+g₅)j_d=–E₅¢g₅–E₆¢g₆.

Тогда j_b=12,5 В; j_с=j_b+Е₂=112,5 В.

    Для определения токов в пассивных ветвях воспользуемся исходной схемой:   

 

 

 

    Токи источников определим из первого уравнения Кирхгофа:

для узла а   I₁=I₃+I₆=1,4 A,

узла b   I₂=I₄–I₃=0,375 A.

 

    П р и м е р 1.10. Для схемы (рис. 1.14), записать уравнения по методу контурных токов и найти токи во всех элементах, если J=5 A; E₀=20 B; R₁=4 Ом; R₂=2,4 Ом; R₃=1,6 Ом; R₄=6 Ом.

–  Р е ш е н и е. В схеме три независимых контура, но для определения токов надо составить только два уравнения по методу контурных токов, так как I_III=J=5 A.

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 3693; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!