Плоска задача теорії пружності декартових координатах. Плоска деформація та узагальнений напружений плоский напружений стан.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 12Следующая ⇒

Рішення плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їх елементів працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскої задачі теорії пружності.

Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно розподіленими по товщині

У цьому випадку напруги на основах пластинки дорівнюють нулю. Так як пластинка тонка, то ці напруження дорівнюють нулю і по всьому обсягу пластинки, а інші компоненти тензора напружень ( ) не залежать від z і є функціями тільки двох змінних — х и у.

Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки паралельно площини ХОУ:

Такі переміщення відбуваються в довгому циліндричному або призматичному тілі при дії навантаження, яке перпендикулярно поздовжньої осі і постійної уздовж її. Цій розрахунковій схемі відповідають задачі про циліндричні котки, тунелі, підпірні стінки, греблях

Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація виникає тільки в площині ХОУ:

Незважаючи на відсутність деформації , нормальні напруги будуть ненульовими, що треба з формули узагальненого закону Гука

Плоский напружений стан і плоска деформація описуються практично однаковими рівняннями, відмінність складається тільки в значеннях пружних постійних. Ця обставина дозволяє об'єднати обидві задачі в одну - плоска задача теорії пружності.

Запишемо основні рівняння теорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.

Диференціальні рівняння рівноваги:

(3.4)

де X, Y — постійні по довжині об'ємні сили.

Умови на поверхні:

(3.5)

де l, m — напрямні косинуси.

Геометричні співвідношення Коші:

(3.6)

Рівняння нерозривності деформацій:

(3.7)

Формули закону Гука:

(3.8)

де

(3.9)

Для плоского напруженого стану рівняння (3.4) – (3.7) зберігають той же вид, а в рівняннях (3.8) переходять в.

Таким чином, у плоскої задачі теорії пружності невідомими будуть вісім функцій (напружень , деформації , переміщення U, V), що відповідає числу рівнянь (два рівняння рівноваги, три геометричних співвідношення Коші й три формули закону Гука).

Залежно від того, які величини відомі, а які підлягають визначенню, розрізняють пряму задачу, зворотну і змішану. Основне значення для розрахунку конструкцій має пряме задачі; вона ж є й найбільш складною. Зворотне завдання вирішується значно простіше й має допоміжне значення.

Розрізняють наступні методи рішення прямої задачі: рішення в напруженнях, рішення в переміщеннях, змішаний метод.

Найбільше часто в практичних розрахунках необхідно визначати напруження . У цих випадках виконується рішення плоскої задачі в напруженнях.

Для реалізації такого підходу вводиться так звана функція напружень Эрі — , що пов'язана з напруженнями співвідношеннями

(3.10)

У результаті виходить рівняння

(3.11)

Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.

Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію напруг Эрі,

(3.12)

дозволяє визначити функцію напружень , а потім по формулах (3.10) — напруження.

5.Плоска задача теорії пружності в декартових координатах. Спрощення рівнянь теорії пружності.

Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно розподіленими по товщині (рис.3.1).

Рис.3.1. Пластинка в умовах плоского напруженого стану

Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки паралельно площини ХОУ:

(3.1)

Рис.3.2. Плоска деформація

Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація виникає тільки в площині ХОУ:

(3.2)

(3.3)

Запишемо основні рівняння теорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.

Диференціальні рівняння рівноваги:

(3.4)

де X, Y — постійні по довжині об'ємні сили.

Умови на поверхні:

(3.5)

де l, m — напрямні косинуси.

Геометричні співвідношення Коші:

(3.6)

Рівняння нерозривності деформацій:

(3.7)

Формули закону Гука:

(3.8)

де

(3.9)

Для плоского напруженого стану рівняння (3.4) – (3.7) зберігають той же вид, а в рівняннях (3.8) переходять в.

(3.10)

У результаті виходить рівняння

(3.11)

Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.

Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію напруг Эрі,

(3.12)

дозволяє визначити функцію напружень , а потім по формулах (3.10) — напруження.

6. Плоска задача теорії пружності, розв’язок плоскої задачі в напруженнях, ф-ція напруження Ері.

Розв’язання плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їхніх елементи працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскій задачі теорії пружності.

Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, що по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основам, і рівномірно розподіленими по товщині (рис)

Розвяхок плоскої задачі в напруженнях