Модификации динамической модели Леонтьева
Модификация модели обычно проводится в направлении снятия исходных допущений и приближения модели к реальному поведению системы.
Модификация I. Эта модификация связана с отменой ограничения необратимости капиталовложений. Ограничение было задано в допущениях модели в виде (dX/dt) ≥ 0. Для снятия наложенного ограничения необходимо связать инвестиции только с положительными приростами. Введем следующее обозначение:
[dX/dt]+ = система из двух уравнений
1-е : dX/dt, dX/dt ≥ 0
2-e : 0, dX/dt < 0
C его учетом модель преобразуется следующим образом
X(t) = AX(t) + B[dX/dt]+ +C(t). (8)
В таком виде модель может не иметь допустимых траекторий в ряде случаев, в частности если начальное состояние недопустимо (находится за пределами допустимого конуса при С(0)=0. Тогда имеем: Х(0)=АХ(0)+0+0=0.
Чтобы избежать этого, модель должна быть модифицирована
X(t) ≥ AX(t) + B[dX/dt]+ + C(t) (9)
Исследуем полученную модель. Для выяснения максимальных возможностей системы положим С(t)=0. Результаты анализа качественно отличаются от результатов для исходной модели, полученных при том же предположении относительно потребления. Эго отличие заключается в том, что в модифицированной модели возможен рост всех отраслей с одинаковым темпом Х(t) = Х(0)eρt. где ρ находится из условия:
ρ = mini – (xi(0) – Σjaijxj (0) / Σjbijxj (0))
Модификация 2. Учет производственных мощностей. Производственные мощности (ПМ) вводятся в модель с тем, чтобы сделать возможным рост производства без инвестиций. Поскольку в экономике всегда существует резерв производственных мощностей, то инвестиции следует связать с приростом ПМ.
|
|
|
Обозначим Мj ПМ j-й отрасли, под которыми будем понимать максимально возможный объем выпуска j-го продукта на имеющихся фондах в момент времени t. Пусть матрица D характеризует объем инвестиций на единицу прироста мощности в каждой отрасли. Тогда модель с учетом прироста производственных мощностей будет иметь вид
X(t) ≥ AX(t) + D(dM/dt) + C(t), (10)
X(t) ≤ M(t)
Модификация 3. Введение лагов между приростом мощностей Ti приростом валового продукта диктует необходимость перехода к дискретной постановке задачи.
В достаточно общем виде уравнения згой модели выглядят так:
AXt + Dηt+ LtC ≤ Xt ,
Xt ≤ ξt-1 , (11)
ξ t ≤ ξt-1 + ηt ,
(l, Xt) ≤ Lt
где D имеет тот же смысл, что и в предыдущей модели (10);
ηt -вектор, характеризующий прирост мощностей;
ξt -вектор, характеризующий ПМ;
|
|
|
l -вектор, характеризующий трудозатраты на выпуск единицы продукции соответствующей отрасли;
С -вектор потребления в расчете на единицу труда;
Lt - суммарное количество труда.
Левую часть первою уравнения можно рассматривать как 3 блока: блок производства, блок производственных мощностей, блок труда, оно определяет условие развития системы.
Второе уравнение говорит о том, что выпуск в следующий момент времени не может превышать максимальные возможности системы, достигнутые в предыдущий момент.
Третье уравнение модели (11) называют уравнением перехода или уравнением связи, оно отражает прирост ПМ. Связь между двумя последовательными моментами времени может быть выражена через мощности, капвложения, фонды.
Наконец четвертое уравнение отражает взаимосвязь необходимого уровня валового продукта и трудозатрат.
Модификация 4
Предположим, что матрица производственных затрат А продуктивна и неразложима. Чтобы произвести в периоде t валовый объем продукции X(t), необходимо АХ(t) производственных затрат. Таким образом, вектор АХ(t) характеризует производственное потребление.
Пусть S(l) - вектор запасов, и предположим, что запасы связаны с производственным потреблением через коэф-ты диагональной матрицы K.
|
|
|
Чтобы иметь возможность потребить в производстве АХ(t), необходимо иметь KAX(t) запасов, то есть
KAX(t)<S(t)…….. (12)
Допустим, что хотя бы по одной компоненте достигается строгое равенство.
Из модели межотраслевого баланса получаем
X(t)=(E-A)-1Y(t)
Подставляя это выражение в (12), получаем новую модель:
KA(E-A)-1Y(t)<=S(t)…….. (13)
Следовательно, для роста НД необходимо возрастание запасов.
Представим Y(t) в виде суммы двух компонент - потребления и изменения запасов:
Y(t)=C(t)+∆S(t)…………… (14)
Предположим также, что C(t) задано через коэффициенты склонности к потреблению:
C(t)=HY(t), H- диагональная матрица.
Тогда, ур-е (14) примет вид:
Y(t)=(E-H)-1∆S(t)…………(15)
Подставим полученное выражение (15) в (13) и получим
KA(E-A)-1 (E-H)-1 ∆S(t)<=S(t)………. (16)
Введем обозначение
К* = КА(E-A)-1 (E-H)-1
и зададим уравнение перехода
S(t + l) = S(t) + ∆S(t)…… (17)
Тогда сама модель запишется в следующем виде:
S(t + l) = S(t) + ∆S(t)
К*∆S(t)≤S(t)……………….(18)
Темп прироста запасов ρi=∆Si(t)/ Si(t)
Исследуем, существует ли единый для всех отраслей и постоянный во времени темп прироста запасов ρ*. Из второго уравнения модели (18) получаем
К*∆S(t)≤ ∆S(t)*1/ ρ*……………(19)
|
|
|
где К* положительна и неразложима, поскольку этими свойствами обладают ее составляющие.
Матрица К* имеет корень Фробениуса-Перрона. Поэтому если s=1/ ρ* является этим корнем, а вектор прироста запасов - собственный вектор, соответствующий корню Фробениуса-Перрона, то (19) обращается в строгое равенство.
У матрицы К* есть и другие собственные числа, обращающие (19) в равенство, но соответствующие им собственные вектора имеют компоненты разных знаков. Таким образом, только корень Фробениуса-Перрона обеспечивает развитие с постоянным, равным для всех отраслей темпом прироста запасов.
Из соотношений (18)-(19) можно получить следующее:
S(t)=(1+p*)t S(0). (20)
Это означает, что для роста с постоянным темпом всех запасов необходимо, чтобы вектор начальных запасов в системе был собственным вектором, соответствующим корню Фробениуса-Перрона s.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 64; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!