Использование балансовых моделей для решения экономических задач.



Значимость модели Леонтьева заключается еще в том, что она применяется для описания ряда экономических задач. А так же служит отправной точкой для различных обобщений. В качестве подтверждения приведем интерпретацию уравнения баланса Х=АХ+У(8). Как модели международной торговли и модель одной из задач маркетинга и модификацию модели Леонтьева как оптимизационной задачи. При трактовке управления (8) как модели торговли Хі- национальный доход і-й страны і=1,n, где n- число торгующих между собой стран. Уі - нац. расходы і-й страны. Аіj- объем импорта из страны і в страну j на одну единицу нац. дохода страны j.

Аіі – придается смысл коэф. внутреннего потребления своей продукции і-й страной.

И в такой интерпретации очевидно все элементы модели Леонтьева должны быть неотрицательными и более того нац. доход и нац. затраты – положительными.

В моделях МОБ в объемы конечной продукции Уі как правило входит объем продукции, которые направлен на прирост запасов и резервов. Объемы этого прироста по каждому виду продукции часто задаются экзогенно, что определяет общий объем продукции каждого наименования, который идет на прирост запасов но не дает возможности узнать в каком собственно объеме необходимы эти запасы для обеспечения непрерывности пр-ва, какими должны быть оптимальные объемы совокупных запасов.

Для ответа на этот вопрос нужно вместе с прямыми затратами отображать объемы запасов и резервов в том разделе баланса где в рядах размещены производственные связи и затраты, а в столбцах затраты различных продуктов на производство продукта данного вида. Эти проблемы можно решить введением коэф. запасоемкости.

Sij – показывает, какой объем запаса продукции і-го вида, нужно иметь в производстве единицы продукции j-го вида.

S={Sij}

{Sij}=Sij/Xj(26)

На практике вычисляется на основе статистических данных за предыдущие года.

Если в схему МПБ ввести показатель запасоемкости, то то ур. (8) примет вид (27)

X=AX+AX+Y

Xi=∑aij*xj+=∑Sij*xi+Yi i=1, n. j=1, n. (28)

X= (E-A-S) -1*Y= BS*Y (29)

BS- содержит прямые и косвенные затраты, а так же объем запасов на ед. конечной продукции.

Балансовые модели могут быть полезны в сбытовой функции маркетинга, а именно в вопросах ценообразования. Например, позволяют выявить дисбаланс межотраслевых и внутриотраслевых цен в условиях свободного рыночного ценообразования.

Ранее было замечено, что одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней невозобновляемых факторов производства.

Устранение данного факта превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу.

Пусть каждый товар производится с использованием продукции всех отраслей и еще m первичных ресурсов.

Обозначим через X0kj количество к-го первичного фактора, затрачиваемого на производство Xj количества j-го товара.

Тогда a0kj= X0kj/Xj

Количество к-го первичного фактора, необходимого для производства единицы товара вида j.

Тогда для каждого товара j имеем

Xj=xij/aij i=1,n

Xj= X0kj/ a0kj k=1,m

(m+n) – представлений выпускаемого объема товара j.

Поэтому производство во всех n отраслях может быть описано n производственными функциями.

Xj=min {Xnj/Anj; X0mj/ a0kj} j=1, n (30)

Выражения определяющие по всем отраслям объемы затрат первичных и вторичных факторов производства имеют вид

∑xij=∑aij*xj; j=1, n i=1, n (31)

∑x0kj=∑a0kj*xj; j=1, n i=1, n k=1, m (31)

Введем в рассмотрение матрицу

A0= {a0kj} k=1, m j=1, n (32)

Трактуемую как технологическая для первичных ресурсов.

И предположим что известен вектор V=(v1,..,vm) – запасов первичных ресурсов, т.е.

∑x0kj≤Vk; k=1, m

Обозначим P=(p1,…,pn) и W=(w1,…,wn) – вектор цен вторичных и первичных ресурсов. Тогда в качестве ответа на вопрос при каком векторе выпуска x=(x1,..xn) реализация конечного продукта Y=(y1,…,yn) приведет к максимизации дохода с учетом запаса V=(v1,..,vm) первичных ресурсов следует взять решение задачи ЛП

<P,Y>=<P,(E-A)X>→max

X=AX+Y

Если X0kj количество к-го невозобновляемого ресурса, затрачиваемого на производство j-го вида товара, то A0kj = x0kj/Xj

Мы для каждого товара имеем Xj=Xij/Aj

Отсюда xj=x0kj/A0kj т.е. мы имеем (n+m) предст. для одного объекта

Xj=min Xij/Aij i=1,n

X0kj≠A0kj k=1,n j=1,m

A0X≥0

Двойственная задача с переменной w имеет вид:

<w,v> → min

A0TW≥P(E-A)

W≥0

Набор (p*,w*,x*,y*,v*) будет равновесным для модели Леонтьева. А так как задача линейная, то решение существует.


10. Випадок C(t)=0

Динамическая модель Леонтьева является детализированной моделью роста валового общественного продукта и национального дохода.

В основе модели лежит предположение "о взаимосвязи между накопле­нием и приростом ВОП. Эта взаимосвязь реализуется с помощью матрицы ка­питалоемкости приростов производства. Кроме того, предполагается мгновен­ность превращения капиталовложений в прирост основных фондов и мгновен­ность отдачи этих фондов в объемы производства (что, вообще говоря, невер­но). Время предполагается непрерывным, что и определяет применение диффе­ренциальных уравнений.

X(t)=AX(t)+B(dX/dt)+C(t)             (1)

где X(t) - вектор объемов валового выпуска продукции по отраслям в момент времени t;

(dX/dt) - вектор абсолютных приростов за малую единицу времени;

A - матрица коэффициентов прямых затрат, включая затраты на возмеще­ние выбытия основных фондов;

АХ(1) - производственное потребление, обеспечивающее простое воспро­изводство;

В - матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (bij есть затраты производственного накопления i-го вида продукции на единицу прироста j-го вида продукции);

С(t) - вектор-столбец, характеризующий потребление по отраслям.

Относительно уравнения (1) предполагается выполнение следующих условий.

Матрица А продуктивна и неразложима. Следовательно матрица коэффициентов полных затрат строго положительна: (E-A)-1>0, det(B)≠0. Матрицы А и В постоянны во времени.

Капиталовложения (инвестиции) выступают единственным источни­ком роста производства, т.е. в отраслях нет резервов мощностей (dX/dt)>0.

Такие состояния системы будем называть допустимыми. А траектории, не выводящие систему из области допустимых состояний, будем также называть допустимыми.

Используя взаимосвязь между ВОП и НД

X(t)=(E-A)-1Y(t),

где вектор Y(t) характеризует отраслевую структуру НД, получим уравнение модели Леонтьева относительно НД:

Y(t) = B(E-A)-1(dY/dt)+C(t) ур-е (2)

Из(1):

AX(t)+ B(dX/dt)+C(t)+AX(t)+Y

Y(t)= B(dX/dt)+CX(t)

Y(t)= B(E-A)-1(dY/dt)+C(t)

X(t)=AX(t)+ B(dX/dt)+C(t)

(E-A)X(t)=-B(dX/dt)+C

(E-A) (E-A)-1Y(t)

(dX/dt)= (E-A)-1(dY/dt)

Y(t)=B(E-A)-1(dY/dt)+C(t)

Обозначим B(E-A)-1=~B. Коэффициент этой матрицы - ~bij - характе­ризует величину производственного накопления продукции i-го вида на едини­цу прироста j-го элемента НД, а сама она называется матрицей коэффициентов полной приростной капиталоемкости

Для выяснения возможностей системы исследуем модель (2) при раз­личных траекториях потребления.

Определим технологические возможности системы, которые определяются параметрами А и В. Для этого положим C(t)=0. В этом случае (2):

Y(t)= B(E-A)-1(dY/dt)………………..ур-е(3)

(3)- система линейных однородных дифференциаль­ных уравнений с постоянными коэффициентам первого порядка. Общее реше­ние этой системы согласно теории дифференциальных уравнений имеет вид:

Y(t)=ΣldlKle1/s*t…………………………ур-е(4)

где Sl - собственные числа матрицы полной приростной капиталоемкости;

Kl - соответствующие им собственные вектора;

dl - коэффициенты, которые определяются из начального условия

Y(0)=ΣldlKl

Траектория, выходящая из Y(0), представляет собой комбинацию экспонент с различными темпами прироста. Следовательно, в общем случае развитие по траектории с одним единым темпом роста, т.е. вида

Y(t)=Y(0)= ΣldlKl

невозможно, а происходит с постоянными структурными изменениями.

Но у матрицы, в частности у матрицы коэф. Приростной капиталоемкости существует собственное число Фробениуса-Перрона вследствие допущений модели, матрица ~B положительно определена (>0), корень s существует и его величина заключена в пределах

minj Σi ~bij ≤ s ≤ maxj Σi ~bij

Величина ~bij= Σi~bij (j=1,..n) называется полной приростной капита­лоемкостью j-й отрасли.

Возможны два случая поведения траектории (4).

В первом случае в траектории (4) доминирует (преобладает) экспонен­та с показателем степени, который связан с корнем Фробениуса-Перрона. В этом случае со временем темп прироста каждого элемента НД начинает приближаться к темпу, определяемому данной экспонентой, то есть 1/s. Таким об­разом, на бесконечном периоде времени каждый из элементов НД начинает развиваться с темпом 1/s. Таким образом, технологический темп прироста имеет вид: ρ =1/s. Структура НД стремится в том случае к собственному вектору K (см. рис)

 

 

Во втором случае в (4) доминирует экспонента с показателем степени, отличным от 1/s. Это происходит, когда существует положительное собствен­ное число, отличное от s, пусть это будет 1/s0. В этом случае собственный вектор, соответствующий s0, обязательно имеет отрица­тельные компоненты и, так как

s0Ks0=~B Ks0=B(E-A)-1 Ks0,

тогда (E-A)-1 Ks0 содержит отрицательные компоненты.

Учитывая (4), запишем :

X(t)= Σldl(E-A)-1Kle(1/s)t

В последнем равенстве в правой части присутствуют отрицательные компоненты, причем с увеличением t они увеличиваются по абсолютной величине. Следовательно, с течением времени они появятся и в левой части равенства и траектория выйдет в недопустимую зону.

Замечание. Траектория системы в первом случае является допустимой, хотя начальное состояние системы может быть и недопустимым. И, наоборот, во втором случае, хотя начальное состояние системы является допустимым, траектория развития может выходить за границы допустимой области.

Замечание. Изменение структурных параметров может привести к каче­ственно другому развитию системы, хотя параметры макромодели сохранятся.

Исследование модели Леонтьева позволяет сделать следующий вывод: в отличие от макроэкономической модели, которая при нулевом потреблении всегда имеет допустимую траекторию, траектория структурной модели даже при нулевом потреблении может быть недопустимой вследствие определенных структурных параметров.


12.Випадок C(t)=C0exp(Rt)

Динамическая модель Леонтьева является детализированной моделью роста валового общественного продукта и национального дохода.

В основе модели лежит предположение "о взаимосвязи между накопле­нием и приростом ВОП. Эта взаимосвязь реализуется с помощью матрицы ка­питалоемкости приростов производства. Кроме того, предполагается мгновен­ность превращения капиталовложений в прирост основных фондов и мгновен­ность отдачи этих фондов в объемы производства (что, вообще говоря, невер­но). Время предполагается непрерывным, что и определяет применение диффе­ренциальных уравнений.

X(t)=AX(t)+B(dX/dt)+C(t)             (1)

где X(t) - вектор объемов валового выпуска продукции по отраслям в момент времени t;

(dX/dt) - вектор абсолютных приростов за малую единицу времени;

A - матрица коэффициентов прямых затрат, включая затраты на возмеще­ние выбытия основных фондов;

АХ(t) - производственное потребление, обеспечивающее простое воспро­изводство;

В - матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (bij есть затраты производственного накопления i-го вида продукции на единицу прироста j-го вида продукции);

С(t) - вектор-столбец, характеризующий потребление по отраслям.

Относительно уравнения (1) предполагается выполнение следующих условий.

Матрица А продуктивна и неразложима. Следовательно матрица коэффициентов полных затрат строго положительна: (E-A)-1>0, det(B)≠0. Матрицы А и В постоянны во времени.

Капиталовложения (инвестиции) выступают единственным источни­ком роста производства, т.е. в отраслях нет резервов мощностей (dX/dt)>0.

Такие состояния системы будем называть допустимыми. А траектории, не выводящие систему из области допустимых состояний, будем также называть допустимыми.

Используя взаимосвязь между ВОП и НД

X(t)=(E-A)-1Y(t),

где вектор Y(t) характеризует отраслевую структуру НД, получим уравнение модели Леонтьева относительно НД:

Y(t) = B(E-A)-1(dY/dt)+C(t) ур-е (2)

Из(1):

AX(t)+ B(dX/dt)+C(t)+AX(t)+Y

Y(t)= B(dX/dt)+CX(t)

Y(t)= B(E-A)-1(dY/dt)+C(t)

X(t)=AX(t)+ B(dX/dt)+C(t)

(E-A)X(t)=-B(dX/dt)+C

(E-A) (E-A)-1Y(t)

(dX/dt)= (E-A)-1(dY/dt)

Y(t)=B(E-A)-1(dY/dt)+C(t)

Обозначим B(E-A)-1=~B. Коэффициент этой матрицы - ~bij - характе­ризует величину производственного накопления продукции i-го вида на едини­цу прироста j-го элемента НД, а сама она называется матрицей коэффициентов полной приростной капиталоемкости.

Пусть C(t)=0. В этом случае (2):

Y(t)= B(E-A)-1(dY/dt)………………..ур-е(3)

(3)- система линейных однородных дифференциаль­ных уравнений с постоянными коэффициентам первого порядка. Общее реше­ние этой системы согласно теории дифференциальных уравнений имеет вид:

Y(t)=ΣldlKle1/s*t…………………………ур-е(4)

где Sl - собственные числа матрицы полной приростной капиталоемкости;

Kl - соответствующие им собственные вектора;

dl - коэффициенты, которые определяются из начального условия Y(0)=ΣldlKl

Пусть экзогенно задана траектория потребления C(t) = C0ert. В этом случае решение системы (2) представляет собой сумму общего решения однородной системы (4) и частного решения неоднородной и имеет вид:

Y(t)= Σl dl Kl e(1/s)t+(Е-rB(E-A)-1)-1 C0ert………………….(5)

где коэффициенты d, определяются исходя из начального условия:

Y(0) = Σl dl Kl Y4d,Kl+(Е-rB(E-A)-1)-1 C0

Матрица (Е-rB(E-A)-1)-1 представляет собой структурный аналог коэффициента скалярной модели       1/(1-Br)=1/(1- br

                                           1-a).

Исследуем, возможен ли в модели при заданной траектории потребления рост без ограничения, т.е. существуют ли ограничения на темп r.

Пусть в первом слагаемом доминирует темп, соответствующий корню Фробениуса-Перрона: р=1/s. Пусть r>1/s. Тогда с течением времени второе слагаемое (5) начинает доминировать, так как первое тяготеет к темпу 1/s. Следовательно, Y(t) все в большей степени начинает определяться вектором (Е-rB(E-A)-1)-1 C0ert

Обозначим B*= rB(E-A)-1

Обобщая условие продуктивности, обеспечиваемое теоремой Фробениуса - Перрона, для матрицы В* получаем

            r<(1/s)……………(6)

В рассматриваемом случае В* непродуктивна. Так как C0>0, то получаем, что вектор      (E- В*)-1С0 содержит отрицательные компоненты. Это значит, что рано или поздно в Y(t) появятся отрицательные компоненты и траектория вый­дет в недопустимую с содержательной точки зрения область.

Таким образом, при наличии экзогенно заданной траектории потребле­ния вида C0ert в структурной модели существование допустимой траектории определяется соотношением (6).

Если доминирует экспонента с темпом, не соответствующим темпу Фробениуса-Перрона, то по результатам анализа при С(t)=0 траектория все равно выйдет в недопустимую с содержательной точки зрения область.

Выясним, возможен ли в структурной модели такой рост, при котором все составляющие элементы НД растут с одинаковым темпом.

В модели (3) первое сла­гаемое представляет собой сумму экспонент, растущих с разными темпами, по­этому единый темп роста возможен только в случае, если первое слагаемое то­ждественно равно нулю. Это возможно только, если все dt=0.

Σl dl Kl=Y(0)-(E-r~B)-1C0=0

Отсюда получаем систему уравнений относительно r:

(E-r~B)Y(0)=C0………………..(7)

В общем случае эта система переопределенная. Таким образом, если из­вестно начальное заданное состояние экономики Y0, С0 и заданные технологи­ческие параметры, то не всегда возможен рост с постоянным темпом всех от­раслей. Однако можно задать r0 и из системы (7) определить С0 так, чтобы развитие шло с заданным темпом.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 29;