Використання виробничих функцій для моделювання одно секторної економіки. Модель Солоу. Режим збалансованого росту. Перехідний режим в моделі Солоу.
Використання виробничих функцій для моделювання одно секторної економіки. Модель Солоу.
Цель: выяснить причины изменения уровня дохода с течением времени с целью определения долгосрочных тенденций и источников развития.
Для реализации данной цели используем неоклассическую модель Солоу, которая является односекторной моделью экономического развития.
Односекторность позволяет аналитически проанализировать развитие экономики с адекватным учетом нелинейной зависимости объема выпуска продукта, производства товаров и услуг от объема ресурсов.
В рамках агрегированной замкнутой модели Солоу достаточно адекватно отображается важнейшие макроэкономические процессы воспроизводства и выявляется, как связаны между собой рост объемов капитала, рабочей силы, НТП и как они влияют на объем национального производства.
Модель разработана в 50-60-ых годах в США. Нобелевская премия.
Агрегированная экономика характеризуется тем, что в ней производится единый однородный продукт.
Замкнутость означает, что импорт и экспорт в явном виде не учитываются.
Состояние телефона в момент времени t характеризуется такими эндогенными переменными:
Y(t) – выпуск или доход;
C(t) – фонд непроизводственного потребления;
I(t) – инвестиции (капитальные вложения);
L(t) – труд (трудовые ресурсы)
K(t) – производственные ресурсы фонды, в стоимостном выражении.
Предположение модели:
|
|
|
Распределение НД Y(t)=C(t)+I(t), то есть расходуется на потребление и инвестиции.
НД создается в процессе производства, годовой выпуск в каждый момент времени t определяется однородной неоклассической производственной функцией от двух переменных:
Y=F(K,L), K,L≥0.
ПФ Y=F(K,L) называется неоклассической, если:
Является гладкой (непрерывно дифференцирующей) Y є C.
Удовлетворяет условию:
- при отсутствии одного из ресурсов выпуск невозможен:
F(0,L)= F(K,0)=0
- с ростом объемов ресурсов растет и выпуск:
Это объясняется тем, что каждая последующая единица производственного ресурса, количество которого возрастает должно объединятся все с меньшим количеством других ресурсов.
Замечание: Это условие имеет место в случае отсутствия НТП.
- F(+∞;L) = F(K;+ ∞)=∞
Модель Солоу предполагает, что ПФ имеет постоянную отдачу от масштаба (линейная однородность), то есть αY=F(αK; αL) для любого α.
То есть НД возрастает пропорционально росту ресурсов.
Именно это свидетельство позволяет анализировать все величины экономики относительно одного работающего.
Пусть α=1/L, тогда F/L=F(K/L,1)
y(t)=Y(t)/L(t) – объем выпуска продукции на одного работающего (производительность труда).
k(t)=K(t)/L(t) – капиталоемкость.
|
|
|
Поскольку масштабы не имеют значения в этом анализе, целесообразно использовать ПФ в виде:
y=f(k), где
f(k)=F(K,1)
И эта функция имеет следующие свойства:
f(0)=0
f(k) – дважды непрерывно дифференцируемая
График функции:
Наклон этой ПФ показывает, какой предельный продукт капитала МРК (добавочный объем продукции, производимый работниками, если объем капитала растет на единицу).
при к→0
при к→∞ для любого k>0.
Проанализируем, как изменяются ресурсные показатели в течении малого промежутка времени дельта t.
В соответствии с определением темпа прироста: -1< υ 
<1
υL, L= υL.
Проинтегрируем:
υdt
LnL= υt+lndt
L=A*eυt
Используя начальное условие L(0)=L0
L(0)=Lo=A*e0υ
A=L0
L=L0eυt
3. Основные фонды в процессе производства изнашиваются и пополняются за счет инвестиций.
Доля капитала, которая изнашивается пропорциональна имеющемуся K и равняется μ. То есть за период дельта t прирост фондов дельтаK=- μ*K*∆t.
μ – коэффициент амортизации.
K(0)=K0
0<μ<1
k=K/L, I/L=i – на душу населения.
Если рассмотреть через ВВП x(t), то мы имеем дело с 0<a<1, где а – коэффициент прямых затрат, доля промежуточного продукта ВВП, то модель Солоу в абсолютных показателях будет иметь вид:
|
|
|
I=S(1-a)X
C=(1-S)(1-a)X
+S(1-a)X
K(0)=K0
X=F(K,L)
L=L0*eυt
-1<υ<1
0<S,μ,a<1
В удельных показателях модель Солоу имеет вид (на душу населения):
Для НД:
y=f(k)=C+i
i=Sy=I/L – удельные инвестиции.
k*= 
(K*/L)-(K/L)*((L*)/L)=K*/L-k*((L0ηert)/ L0ert)=K*/L-kη = - μk+i- ηk=i-k(μ+η)=Sy-k*λ,
где λ= μ+η>0 - const
K(t0=0)=K0/L0
0=(1-S)*f(k) – среднедушевое потрбление
Для ВВП:
X=f(k) – производительность труда
I=S(1-a)X
y=с+i
c=(1-S)(1-a)f(k)
k*=S(1-a)X - (μ+η) *k = s(1-a)*f(k) – λk – фондовооруженность.
То, есть выпуск продукции, который приходится на одного работника, состоит из 3 слагаемых – потребление на одного работника с, доли инвестиции на поддержание капиталовооруженности λk на 1-ого работника и чистого прироста k*.
Основное дифференциальное уравнение неоклассической теории имеет вид:
f(k(t)) = c(t) + λk(t) + k*(t)
Следовательно:
k*(t) = f(k(t)) - (μ+η)*k(t) – c(t)
k(t0=0)=k0
Полученное основное уравнение в общем случае является нелинейным уравнением первого порядка, для решения которого в элементарных функциях или квадратурах не существует универсальных методов.
Но некоторые качественные результаты, касающиеся динамики поведения системы получить можно.
В первую очередь они касаются системы в стационарном решение, то есть когда капиталовооруженность k не меняется.
|
|
|
Анализ свидетельствует, что существует два равновесных состояния:
k=0
k=k* при которым i=sf= λk=(μ+η)*k
Последняя точка равновесия соответствует тому положению, что если экономика достигла объема капитала k*, то этот объем не будет изменяться, потому что на него влияют две силы: инвестиции и амортизации в совокупности с изменением численности рабочей силы.
При чем такое равновесие устойчивое потому, что если k1>k*, то sf< λk, a k*=sf- λk<0, то есть прирост отрицательный и k(t) → k* справа
Если k2<k*, то sf> λk и k*=sf- λk>0,
k(t)→k* слева.
То есть положение k* является устойчивым.
Экономика всегда стремилась к стационарному состоянию не зависимо от имеющегося капитала.
Використання виробничих функцій для моделювання одно секторної економіки. Модель Солоу. Режим збалансованого росту. Перехідний режим в моделі Солоу.
Если мы имеем k* стационарное, то в экономике происходит переходной процесс, который гипотетически завершается установлением стационарного режима.
На протяжении периода перехода, фондовооруженность удовлетворяет условию:
k*= 
Проведем анализ, как влияет уровень потребления c(t)=const (на работника) влияет на поведение системы:
А) c(t)=0
Тогда условное уравнение приобретает вид: k*=f(k)- λk.
Основное уравнение имеет решение k=k- или другими словами говорят, точку равновесия k- на фазовой прямой (0,k)
Поскольку слева от точки k- k*=f(k)- λk, а справа k<0.
То есть при k<k- функция k(t) возрастает, когда t→+∞, а при k>k- убывает.
При t →∞ функция k(t) →k-
Рассматривая систему в динамике важно отметить, что какое-либо незначительное отклонение от k- угасает и система возвращается к k-
B) c=cˆ = f(k)- λkˆ - это максимум потребления на одного работника.
kˆ - уровень капиталовооруженности, который обеспечивает max потребление.
k*=f(K)- λk - cˆ
Максимум может быть только тогда, когда инвестиции I=k*+ λk
Свести на минимум без А мы не можем.
cˆ=f(kˆ)- λkˆ то есть при max c
k*=f(k)-f(kˆ)- λ(k-kˆ)
Равновесие в данном случае будет когда k=kˆ. То есть равновесие kˆ, cˆ будет сохраняться длительное время.
Но если k не равно kˆ, имеем, что функция k(t) – убывающая, то есть kˆ неустойчивое равновесие.
С) Уровень потребления cˆ зафиксируем в границах 0< cˆ< 0ˆ. В этом случае основное уравнение:
k*=f(k)- λk-c-
Отсюда рассмотрим k*+c-=g(k). Такое уравнение будет иметь два стационарных решения:
K=KL, где KL расположено между 0 и kˆ
K=Ku, где Ku расположено между kˆ и k-
Кривая f(k)- λk и прямая w=c- пересекаются в двух точках с абсциссами Ku и KL которые являются точками равновесия.
Исследуем знак правой части уравнения:
k*=f(k)-xk-c- или g(k)=k+c
В каждом из четырех промежутков при этом получим:
- k є (0,KL) k<0, c-const, g(k)<0 - бывает
- k є (KL, kˆ) k>0 – возрастает
- k є (kˆ,Ku) k>0 – убывает
- k є (Ku,+∞) k>0 – возрастает
Так, как слева g(k)=k*+c->0
Справа g(k)<0 --- k*<0.
KL аналогичный анализ.
Вывод: если потребление на 1-ого работника установлено на некотором промежутке 0<с-<сˆ, то для того, чтобы система достигала устойчивого состояния равновесие Ku необходимо, чтобы начальный уровень капиталовооруженности был достаточно высоким K0>KL. И только после достижения экономикой этого состояния она развивается по свойствам присущим ей в соответствии со своей собственной динамикой. Уровни капиталовооруженности, выпуска и потребления растут.
Переходной режим в модели Слоу для функции Коба-Дугласса
k=- λk+S(1-a)X(k)
k(0)=k0
Есть два уровня фондовооруженности k*-стационарный уровень и kˆ-уровень при котором возрастание функций: g1(k)= λk и g2(k)=S*(1-A)*f(k) является равным, то есть касательная g1(k) параллельна g2(k).
Это уровень, когда:
S*(1-a)*f ' (k^)=λ
ПФ Коба-Дугласса f(K,L)=AKα*L1-α
Отсюда X(k)=A*k α
Тогда эти два уравнения определяются соотношением:
S(1- a)Ak α= λk k(0)=k0
(S(1-a)A)/ λ=k/k α=k 1-α
Отсюда: k*=((S(1- a)A)/ λ)1/1- α
X=((S(1- a)A)/ λ)1/1- α*A
C=(1-S)(1-a)f(k)=(1-S)(1-a)*X=(1-S)(1-a)*((S(1- a)A)/ λ)1/1- α*A
Найдем k^:
S(1-a)*Ak α-1α = λ
k^=( λ/(S(1-a)Aα) 1/1- α
Для более глубокого понимания результатов, необходимо выяснить влияние уровня сбережений.
Модель Солоу показывает, что уровень сбережений является ключевым при определении стационарного объема капитала.
Возрастание уровня сбережений приводит к возрастанию равновесного уровня капитала и уровня производства.
Возрастание сбережений увеличивает инвестиции при любом уровне капитала. Функция сбережений перемещается вверх. Теперь в точке начального стационарного состояния, то есть в точке в которой I=S1f= λk=(μ+η)*k инвестиции становятся больше. Объем капитала в системе начинает возрастать. Это возрастание будет продолжаться пока система не достигнет нового стационарного состояния k2*, при котором производится большой объём продукции. Одной из низкого уровня сбережений может быть дефицитный государственный бюджет, который уменьшает национальные сбережения и уменьшает национальный доход.
Сбережения и инвестиции в большинстве случаев низки в тех странах, где слабые политические институции и где процветает коррупция и взятничество.
Кроме того, модель Солоу дает понимание того, что хотя более высокий уровень сбережений ускоряет экономический рост, то это не длится вечно.
Возрастание протекает только до нового стационарного состояния, кроме того, необходимо обратить внимание на то, что при высоком уровне сбережений объем капитала и производства будут высокими, а вот темпы не обязательно.
(Пример: первый толчок в экономике Украины пришелся на 2001-2002 года, когда после 2000-2001 года с бездефицитным бюджетом мы имели экономический рост; развитые страны не имеют значительных темпов роста ВВП).
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 109; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!