Практическое занятие №5«Выполнение тождественных преобразований в тригонометрических выражениях» 20 страница
- проекционный экран;
- компьютерная техника для обучающихся с наличием лицензионного программного обеспечения;
- комплект слайд-презентаций.
Теоретические сведения
1. Наименьшее и наибольшее значения функции
Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции на концах промежутка;
2) найти значение функции на концах промежутка ;
3) сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них является соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.
2. Физические приложения производной
При прямолинейном движении точки скорость 
в данный момент 
есть производная 
от пути sпо времени t, вычисленная при .
Ускорение 
в данный момент есть производная 
от скорости по времени t, вычисленная при .
3. Общая схема исследования функции y=f(x).
1. Найти область определения функции D ( y );
2. Определить чётность(нечётность) функции:
у= f (х)-чётная, если 
у(-х)=у(х) 
график функции симметричен относительно оси Оу;
у= f (х)-нечётная, если у(-х)=-у(х) график функции и симметричен относительно начала координат О(0;0).
у= f (х)-ни чётная, ни нечётная, т.е. общего вида, если у(-х) 
у(х)
3. Найти точки пересечения графика функций с осями координат:
а) с осью ОХ: 
б) с осью ОУ: 
4. Найти асимптоты графика функции:
а) вертикальные (находим среди точек разрыва)
– вертикальная асимптота 
б) наклонные
- наклонная асимптота 
; 
5. Найти период функции, если 
Т: 
6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум:
а) найти 
и критические точки 
, т.е. точки из области определения функции, в которых 
или терпит разрыв;
б) разбить область определенияD ( y ) точками на интервалы и исследовать знак в каждом интервале;
в) сделать вывод о монотонности:
если 
если 
г) сделать вывод об точках экстремума;
– точка max, если меняет знак с «+» на «–» при переходе через точку
– точка min, если меняет знак с «–» на «+» при переходе через точку
д) вычислить значение функции в точках экстремума, т.е. найти 
;
е) составить таблицу:
| х | |
| |
|
7. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба:
а) найти 
и критические точки 
, т.е. точки из области определения функции, в которых 
или терпит разрыв;
б) разбить область определенияD ( y ) точками на интервалы и исследовать знак в каждом интервале;
в) сделать вывод о выпуклости графика на каждом промежутке:
если 
, то график обращён выпуклостью вверх 
;
если 
, то график обращён выпуклостью вниз 
;
г) определить точки перегиба:
если 
меняет знак при переходе через точку , то –точка перегиба 
д) вычислить значение функции у в точках перегиба, т.е. найти 
;
е) составить таблицу:
| х | |
| |
|
|
8. Построить график функции, вычислив, если необходимо, значения в дополнительных точках.
4. Уравнение касательной к графику функции
Практическая часть.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции 
в промежутке 
.
Имеем 
т.е. 
- критическая точка. Находим 
далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: 
.
Итак, наименьшее значение функции равно – 1и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка
Пример 2.
А) Точка движется прямолинейно по закону 
Найти значение скорости и ускорения в момент времени 
Найдем скорость движения точки в любой момент времени t: 
Вычислим скорость движения точки в момент 
.
Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t
Вычислим ускорение движения точки в момент времени 
:
Б) Точка движется прямолинейно по закону 
В какой момент времени
скорость точки окажется равной нулю?
Определим скорость движения точки в любой момент времени t: 
Полагая 
,получим 
,откуда 
.Таким образом, скорость точки равна нулю в конце 3-й секунды.
В) Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени tзадан уравнением 
. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени
t =10?
При нагревании тела его температура Т изменяется в зависимости от времени t,
т.е. Т есть функция времени : 
Скорость нагревания тела есть производная температуры по времени: 
; 
Итак , в момент времени t=10 тело нагревается со скоростью 4 град/с.
Г) Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону 
Найти кинетическую энергию тела 
через 4с после начала движения.
Найдем скорость движения в момент времени t: 
Вычислим скорость тела в момент ; 
Определим кинетическую энергию тела в момент : 
Д) Сила тока I изменяется в зависимости от времени закону 
(I – в амперах, t – в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.
Скорость изменения силы тока есть производная силы тока по времени: 
; 
Пример 3. Исследовать функцию и построить её график 
Решение.
1. D(y)=R.
2. Исследуем функцию на чётность и нечётность:
Таким образом, 
функция общего вида, симметрии у графика нет.
3. Точки пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: 
б) с осью ОУ: 
, т.е. С(0;-2).
, т.е. А(-1;0), В(2;0)
4. Асимптоты.
а) вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва
б) наклонные асимптоты: 
наклонных асимптот нет.
5. Периода нет, т.к. 
Т: 
.
6. Промежутки монотонности.
Найдём 
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых 
=0 или 
критические точки I рода.
Составим и заполним таблицу:
| х | 
| -1 | 
| 1 | 
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| 0 | -4 |
max min
7. Промежутки выпуклости и вогнутости графика функций.
Найдём 
.
Найдём критические точки, т.е. точки, в которых 
или 
6х=0 у
| А В -1 0 1 2 -1 С -2 |
Составим и заполним таблицу:
| х | 
| 0 | 
|
| - | 0 | + |
|
| 
| -2 | 
|
| D |
перегиб
у(0)=(0+1)2(0-2)=-2; точка перегиба С(0;-2)
8. Построим график функции, вычислив значение в дополнительной точке х=-2:
| х | -2 |
| у | -4 |
Пример 4. Исследовать дробно-рациональную функцию и построить её график 
Решение:
1. 
2. Исследуем функцию на четность и нечетность:
функция нечётная, и следовательно, график функции симметричен относительно точки О (0;0).
3. Точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ: 
б) с осью ОУ: 
4. Асимптоты
а) вертикальные асимптоты:
х=2 
; 
вертикальная асимптота
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 65; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!