Практическое занятие №5«Выполнение тождественных преобразований в тригонометрических выражениях» 15 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 22Следующая ⇒

Практическое занятие №13

«Нахождение основных элементов призм и пирамид»

Практическое занятие рассчитано на 2 часа, относится к теме «Многогранники».

Формируемые компетенции:У25, У26, У27, У29, У30, У31, З1, З2, З3

Цель:научиться вычислять и изображать основные элементы призм и пирамид

Методическое и техническое обеспечение:

- методические указания к выполнению практического занятия;

- комплекты учебно-наглядных пособий по соответствующим разделам математики.

- мультимедийный проектор;

- ноутбук;

- проекционный экран;

- компьютерная техника для обучающихся с наличием лицензионного программного обеспечения;

- комплект слайд-презентаций.

Теоретические сведения

К основным видам многогранника относятся: призма, пирамида, усечённая пирамида.

Призма: многогранник, составленный из двух равных многоугольников A₁A₂….A_n и B₁B₂….B_n, расположенных в паралллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

B₁

B₁ C₁ B₁ C₁

A₁ D₁ A₁ D₁ A₁C₁

K B

B C B C

K O

A D A D A C

Наклонная Прямая Правильная

(АА₁С₁С)-диагональное сечение.

Теорема 1: В параллелепипеде:

1) противоположные грани равны и параллельны,

2) все 4 диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Теорема 2: В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пирамида: многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂….A_n и B₁B₂….B_n и n треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а отрезок , соединяющий вершину пирамиды с центром основания , является ее высотой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

S S

B B C

^{O F}

C A D

Неправильная Правильная

(SAC)-Диагональное сечение, (SF)-апофема.

Теорема 3: Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые рёбра и высоты делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Пример выполнения задания

Пример №1. В треугольной наклонной призме расстояния между боковыми рёбрами равны 20, 34 и 42см. Найти расстояние между большей боковой гранью и противоположным ейбоковым ребром.

Дано: ABCA₁B₁C₁-наклоннаяпризма,

(MNK) (AA₁), │MN│=42 см,

│NK│=34 см,│MK│=20 см, (KF) (AA₁CC₁).

Найти:│KF│

Решение:

Большее расстояние между боковыми рёбрами определяет большую боковую грань (AA₁CC₁).

Расстояние от (точки) прямой до плоскости определяется длиной перпендикуляра, проведённого из (точки) прямой на плоскость(│KF│).

1) ∆NKM, по формуле Герона найдём его площадь:

2) ∆NKM, так как (KF)- высота ∆NKM, то

Ответ:

Пример №2. Найти площадь диагонального сечения правильной 4-х угольной пирамиды, сторона основания равна a, боковое ребро образует с плоскостью основания угол α.

Дано: S_ABCD-правильная 4-х угольная пирамида,

Найти: S_ASC.

Решение:

1) ∆ADC, , так как (АВСD)- квадрат по т. Пифагора │AC│=

2) │АО│=1/2│АС│= - по свойству диагоналей квадрата

3) ∆SAO ((SO) )- высота пирамиды,

((SA) (ABCD))= по определению угла прямой с плоскостью,

4) S_ASC= .

Ответ:

Порядок выполнения практического задания:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчёт.

Содержание отчета:выполнить задания письменно на листах формата А4.

Контрольные вопросы:

1. Что называется многогранником?

2. Что называется гранями, ребрами и вершинами многогранника?

3. Какой многогранник называется призмой?

4. Что называется диагональю, высотой и диагональным сечением призмы?

5. Какая призма называется прямой?

6. Какая призма называется правильной?

7. Какая фигура называется параллелепипедом?

8. Какая фигура называется кубом?

9. Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что эта фигура является случаем призмы?

10. Сформулируйте свойства противолежащих граней параллелепипеда.

11. Сформулируйте свойства диагонали параллелепипеда.

Список литературы

1 Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности М.: Академия Гриф 2013

2. Башмаков Н.А Математика М.: Академия Гриф 2011

3. www. fcior. edu. ru Информационные, тренировочные и контрольные материалы

4. www. school-collection. edu. Ru Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов

Индивидуальные задания

Вариант №1.

1) Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 25 дм и 18 дм; высота призмы 16 дм. Найти сторону основания призмы.

2) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды l=3см, боковой ребро m=4см. Найти площадь диагонального сечения.

Вариант №2.

1) В правильной четырехугольной призме диагональ наклонена к боковой грани под углом 30⁰. Вычислите угол наклона её к основанию.

2) Определить апофему правильной треугольной пирамиды, если высота пирамиды и высота основания равны каждая 9 см.

Вариант №3.

1) Дан прямой параллелепипед, у которого рёбра равны =10 см, а острый угол в основании 60⁰. Найти диагонали параллелепипеда.

2) По стороне основания a=5см и высоте h=7см найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды.

Вариант №4.

1) В прямом параллелепипеде с основанием ABCD стороны а боковое ребро 48 дм. Найти площадь сечения AB₁C₁D.

2) Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Определить боковое ребро.

Вариант №5.

1) Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равны 8 и 5 см, высота равна 2 см. Найдите сторону основания.

2) В пирамиде площадь основания 100 дм², площадь параллельного сечения равна 50 дм². Найти высоту пирамиды, если расстояние между основанием и сечением равно 4 дм.

Вариант №6.

1) Ребро куба равно а=5см. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проведённой через середины трёх ребер, выходящих из одной вершины.

2) Дана правильная четырёхугольная пирамида, высота которой 21 см, а апофема 35 см. Найти периметр основания пирамиды.

Вариант №7.

1) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно m=10 см и образует с плоскостью основания угол . Вычислите сторону основания пирамиды.

2) В прямом параллелепипеде, у которого стороны основания 4 см и 9см, а угол между ними 60⁰, боковое ребро есть среднеегеометрическое между сторонами основания. Найти площади диагональных сечений.

Вариант №8.

1) Высота пирамиды разделена на 4 равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания 400 см². Найти площадь самого маленького из сечений.

2) В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований 7 дм и 24дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найти площадь диагонального сечения.

Вариант №9.

1) В пирамиде сечение параллельное основанию делит высоту в отношении 3:4 (от вершины к основанию). Площадь сечения меньше площади основания на 200 см². Найти площадь основания.

2) Основание прямоугольного параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 3 см и 5см, а угол между ними равен 60⁰. Площадь большего диагонального сечения 63см². Найти высоту параллелепипеда.

Вариант №10.

1) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h=3см; боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом .Вычислить длину бокового ребра пирамиды.

2) В правильной 4-угольной призме диагональ наклонена к боковой грани под углом 30⁰. Вычислить длину бокового ребра призмы.

Вариант №11.

1) Боковое ребро и апофема правильной 3-угольной пирамиды соответственно 11 см и 7 см. Найти площадь сечения, проходящего через боковое ребро и высоту пирамиды.

2) В правильной 3-угольной призме сторона основания 6 см, а боковое ребро см. Найти площадь сечения, проходящего через боковое ребро перпендикулярно к противоположной грани.

Вариант №12.

1) В прямом параллелепипеде стороны основания 7 см и 17 см, а его диагонали образуют с плоскостью основания углы 45⁰ и 30⁰. Найти высоту параллелепипеда.

2) В правильной 4-угольной пирамиде угол между высотой и боковым ребром =45⁰, сторона основания а=4 см. Найти длину бокового ребра.

Вариант №13.

1) В прямой треугольной призме стороны основания 13 см, 20 см и 21 см, а высота призмы 25 см. Найти площадь сечения, проведённого через боковое ребро и меньшую высоту основания.

2) Основание пирамиды – треугольник со сторонами 20 см, 21 см, 29 см. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы 45⁰. Найти высоту пирамиды.

Вариант №14.

1) Найти периметр и площадь сечения куба плоскостью проходящей через концы 3-х ребер, выходящих из вершины куба. Ребро куба равно =12 см.

2) Боковое ребро и апофема правильной 3-угольной пирамиды соответственно 10 см и 6см. Найти площадь сечения, проходящего через боковое ребро и высоту пирамиды.

Вариант №15.

1) Найти площадь диагонального сечения правильной 4-угольной пирамиды, сторона снования которой равна а= , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол =30⁰.

2) Основанием пирамиды служит параллелограмм со сторонами 3 и 7 м, одна из его диагоналей равна 6 м. Определите боковые рёбра пирамиды, если её высота, проходящая через точку пересечения диагоналей основания, равна 4 м.

Вариант №16.

1) В прямоугольном параллелепипеде высота равна 8 дм, а стороны основания равны 7 и 24 дм. Определите площадь диагонального сечения.

2) На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой 6 см надо провести сечение параллельно основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Практическое занятие №14

«Нахождение основных элементов цилиндра, конуса, шара»

Практическое занятие рассчитано на 2 часа, относится к теме «Тела и поверхности вращения».