Практическое занятие №5«Выполнение тождественных преобразований в тригонометрических выражениях» 16 страница

4) , так как (MNKF)║(OO₁), MNKF-прямоугольник,

Ответ: =

Пример№2

В равностороннем конусе радиус основания равен R. Найти площадь сечения, проведённого черед две образующие, угол между которыми равен 60⁰.

Дано: (SAB)-конус,

Найти: S_MSN Решение :

1) -по определению перпендикуляра к плоскости, , так как ASB- равносторонний по условию).

cos

2) - как образующие)

Ответ:

Пример №3

Высота конуса равна h, а его образующая равна . Найти радиус описанной сферы.

Дано:

(SAB)-конус,

(O; )-сфера

Найти:

Решение:

1) , так как (SO₁)-высота конуса)

cos

2) по т. косинусов так как

- как радиусы сферы, то или

Ответ:

Порядок выполнения практического задания:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчёт.

Содержание отчета:выполнить задания письменно на листах формата А4.

Контрольные вопросы:

1. Какое тело называется цилиндром?

2. Дайте определение основания, высоты, образующей и боковой поверхности цилиндра.

3. Какое сечение называется осевым сечением цилиндра?

4. Какое тело называется конусом?

5. Дайте определение основания, вершины, оси и образующей конуса.

6. Какое сечение конуса называется осевым?

7. Дайте определение сферы и шара.

8. Какое сечение называется большим кругом сферы?

9. Какая плоскость называется касательной плоскостью к сфере?

10. Дайте определение шарового сегмента и сферического сегмента.

11. Дайте определение шарового слоя и шарового пояса.

12. Что называется высотой шарового слоя?

13. Дайте определение шарового сектора?

14. Что принимают в качестве высоты шарового сектора?

Список литературы

1 Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности М.: Академия Гриф 2013

2. Башмаков Н.А Математика М.: Академия Гриф 2011

3. www. fcior. edu. ru Информационные, тренировочные и контрольные материалы

4. www. school-collection. edu. Ru Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов

Индивидуальные задания

Вариант №1.

1. Высота цилиндра 20 дм, радиус основания 15 дм. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 9 дм от неё.

2. Конус пересечён плоскостью, проведённой параллельно основанию на расстоянии а=5м от вершины. Найти площадь сечения, если высота конуса h=15м, радиус основания r =20м.

3. Шар пересечён плоскостью на расстоянии 20 см от центра. Найти площадь сечения, если радиус шара равен 25 см.

Вариант №2.

1. Высота цилиндра 4 м, диаметр основания 5 м. Цилиндр пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от плоскости сечения до оси.

2. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую и площадь осевого сечения.

3. Радиус шара равен 20 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60⁰ к нему. Найти площадь сечения.

Вариант №3.

1. В цилиндре проведено сечение параллельно оси, отсекающее от окружности дугу 60⁰. Найти площадь сечения, если диаметр окружности равен 80 см, а высота цилиндра равна 50 см.

2. Образующая конуса l =20м наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите высоту и площадь осевого сечения.

3. Найти радиус шара, описанного около куба со стороной 26 см.

Вариант №4.

1. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60⁰. Длина оси 10см, её расстояние от секущей плоскости 2см. Вычислите площадь сечения.

2. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если образующая конуса в два раза больше его высоты.

3. Два шара, радиусы которых равны по 20 см, расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти площадь сечения, проходящего через линию пересечения поверхностей шара.

Вариант №5.

1. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна см². Найти площадь его основания.

2. Высота конуса равна 20см, радиус основания равен 25см. Найдите площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12см.

3. Радиус сферы равен R =10 м. Через конец радиуса проведена плоскость под углом =30⁰ к нему. Вычислите площадь сечения.

Вариант №6.

1. Высота цилиндра 8 м, радиус основания 5 м. Цилиндр пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.

2. Найти площадь сечения, проведённого через вершину конуса на расстоянии 24 см от его центра основания; радиус основания конуса 50 см, высота 40 см.

3. Шар, радиус которого 41м, пересечён плоскостью на расстоянии 9 м от центра. Найдите площадь сечения.

Вариант №7.

1. Дан конус, радиус основания, которого 7,5 дм, высота 6 дм. Найти площадь сечения, проведённого через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 3,6 дм.

2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его высоте - квадрат. Секущая плоскость отстоит от оси цилиндра на расстоянии d=4 м и отсекает от окружности основания дугу =120⁰. Найти площадь сечения.

3. Радиус шара R=25см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60⁰ к нему. Найдите площадь сечения.

Вариант №8.

1. В цилиндре проведено сечение параллельно оси, отсекающее от окружности дугу 60⁰. Найти площадь сечения, если диаметр окружности равен 40 см, а высота цилиндра равна 30 см.

2. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если образующая конуса в три раза больше его высоты.

3. Шар пересекает плоскость на расстоянии 9 дм от центра, площадь сечения

1600 дм². Найти радиус шара.

Вариант №9.

1. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 120⁰. Длина оси 10см, её расстояние от секущей плоскости 3 см. Вычислите площадь сечения.

2. Площадь основания конуса равна м². Угол наклона образующей к плоскости основания конуса равен =45⁰. Найти площадь осевого сечения конуса.

3. Шар пересечён плоскостью на расстоянии 5 см от центра. Найти площадь сечения, если радиус шара равен 13 см.

Вариант №10.

1. В цилиндре проведена параллельно его оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 120⁰. Высота цилиндра 12 см, расстояние плоскости от оси 4 см. Найти площадь сечения.

2. Площадь основания конуса равна см², площадь его осевого сечения равна S=40 см². Найти угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

3. Радиус шара R=40см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 45⁰ к нему. Найти площадь сечения.

Вариант №11.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра d =5м наклонена к плоскости основания под углом =30⁰. Найти длину окружности основания.

2. Площадь осевого сечения конуса равна S= м². Угол наклона образующей конуса к плоскости его основания =60⁰. Найти площадь основания конуса.

3. Шар, радиус которого 25м, пересечён плоскостью на расстоянии 15 м от центра. Найдите площадь сечения.

Вариант №12.

1. В цилиндре радиуса 5 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстоянии 3 см. Найдите высоту цилиндра, если площадь указанного сечения равна 64 см².

2. Площадь основания конуса равна см², площадь его осевого сечения равна S=12 см². Найти угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

3. Через конец радиуса шара проведена плоскость под углом 30⁰ к нему. Найти площадь сечения, если радиус шара равен R =50 дм.

Вариант №1 3 .

1. В цилиндре с высотой 6 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстоянии 4 см. Найдите радиус цилиндра, если площадь указанного сечения равна 36 см².

2. Дан конус радиус основания которого 7 дм, высота 5 дм. Найти площадь сечения, проведённого через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 3 дм.

3. Радиус шара R=12 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 30⁰ к нему. Найти площадь сечения.

Вариант №14.

1. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60⁰. Длина оси 12см, её расстояние от секущей плоскости 3см. Вычислите площадь сечения.

2. Площадь осевого сечения конуса равна S=49м². Угол наклона образующей конуса к плоскости его основания =45⁰. Найти площадь основания конуса.

3. Сфера, радиус которой равен R =5 см, пересечена плоскостью на расстояние а=3 см от центра. Вычислите площадь сечения.

Вариант №15.

1. Высота цилиндра 20 м, радиус основания 15 м. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 9 м от неё.

2. Площадь осевого сечения S=12см², образующая l=5см. Найти площадь основания конуса.

3. Найти радиус шара, описанного около куба со стороной 36 см.

Вариант №16.

1. Цилиндр с радиусом основания R =10м пересечен плоскостью, параллельно оси цилиндра, так, что хорда сечения на основании цилиндра равна его радиусу. Найдите расстояние от этого сечения до оси.

2. Найти площадь сечения, проведённого через вершину конуса на расстоянии 2,4 см от его центра основания; радиус основания конуса 5 см, высота 4 см.

3. Вычислите отношение площади сечения, проведённого на расстоянии m =5см от центра сферы, к площади большего круга. Радиус сферы равен R =10см.

Практическое занятие №15

«Вычисление объемов геометрических тел»

Практическое занятие рассчитано на 2 часа, относится к теме «Измерения в геометрии».

Формируемые компетенции:У25, У26, У27, У29, У30, У31, З1, З2, З3

Цель:научиться решать задачи на вычисление объёмов геометрических тел.

Методическое и техническое обеспечение:

- методические указания к выполнению практического занятия;

- комплекты учебно-наглядных пособий по соответствующим разделам математики.

- мультимедийный проектор;

- ноутбук;

- проекционный экран;

- компьютерная техника для обучающихся с наличием лицензионного программного обеспечения;

- комплект слайд-презентаций.

Теоретические сведения

1. Призма

Объём призмы равен произведениюплощади основания на высоту

V= , где =Q Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра V= , гдеS_CMN =S, AA₁ = .

2. Пирамида

Объём пирамиды равен 1/3произведения площади основания на высоту V= , где SO=H,S_ABCD=Q

3. Цилиндр

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту V= или V= или R= , H=

4. Конус

Объём конуса равен 1/3 произведения

площади основания на высоту

V=1/3 или V=1/3 R²H

SO=H, OB=R

5. Шар

Объём шара вычисляется по формуле

, где

Пример выполнения задания

Пример №1. Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 8 и 32 см,. и острым углом равным 60⁰. Большая диагональ параллелепипеда равна 40 см. Найти объём параллелепипеда.

Дано: (AC₁) - прямой параллелепипед,