МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АТМОСФЕРЫ

В последнее время вслед за рассмотренным в предыдущей главе новым средством исследования атмосферы — моделирова­нием атмосферной циркуляции в лабораторных условиях — появилось еще одно — численное моделирование. Численная мо­дель представляет собой систему уравнений, описывающих ос­новные процессы атмосферной циркуляции и представленных в форме, удобной для численного интегрирования. Численный эксперимент сводится к нахождению и истолкованию зависящих от времени частных решений системы (путем интегрирования при определенных начальных условиях). Методика проведения численного эксперимента, однако, очень специфична. Стало при­вычным рассматривать численную модель, скорее, как некото­рую новую систему, поведение которой моделирует поведение атмосферы, чем просто как математическую аппроксимацию, предназначенную для изучения атмосферы самой по себе. Почти всегда численные эксперименты проводятся с помощью быстро­действующих цифровых вычислительных машин. Количество вы­числений, требующееся при проведении наиболее значительных экспериментов, столь велико, что более медленные способы ре­шения совершенно неприменимы.

Пространственное и временное ограничения

Хотя несомненно, что атмосфера фактически является конеч­ной системой, содержащей около 10⁴⁴ молекул и, следова­тельно, может быть описана с помощью конечной совокупности чисел, обычное представление об атмосфере как о континууме считается значительно более реалистичным, чем любая другая аппроксимация, характеризующая ее ограниченным набором чисел. Таким образом, уравнения, описывающие атмосферу как континуум, могут рассматриваться как точные. Кроме того, электронные вычислительные машины имеют ограниченную ем­кость памяти и скорость быстродействия, и с их помощью не­возможно описать непрерывно изменяющийся континуум.

Если мы хотим решить численно для наших уравнений за­дачу с начальными данными, то состояние атмосферы в любой момент времени t должно быть дискретизировано, т. е. каким-то образом представлено конечной совокупностью, содержащей, скажем, т чисел Х₁...Х_т. В большинстве моделей этими чис­лами являются значения метеорологических переменных, отне­сенные к узлам заранее выбранной трехмерной сетки. Значения между точками сетки при этом могут быть получены с помощью какого-либо интерполяционного или экстраполяционного соот­ношения. Фактически, интерполяцию не производят, но подобная модель предусматривает замену точных уравнений некоторыми приближенными выражениями, связывающими полные произ­водные по времени dX ₁ / dt , ..., dX_m / dt со значениями Х₁ ..., Х_т в узлах сетки.

Некоторые другие схемы позволяют более экономично пред­ставить состояния атмосферы, но преобразованные соответствую­щим образом уравнения обычно оказываются более громозд­кими. Помимо сеточной дискретизации, наиболее употребитель­ной является схема, при которой поле каждой из переменных выражается с помощью линейной комбинации некоторого ко­нечного набора заранее выбранных функций, таких, например, как сферические функции; при этом вся атмосфера будет ха­рактеризоваться т коэффициентами разложений всех рассмат­риваемых полей.

Эти т чисел не могут в течение эксперимента претерпевать непрерывные изменения, но должны меняться на конечном числе шагов, равном, скажем, п. Обычно шаг по времени так или иначе выбирается, а значения каждого из рассматриваемых т чисел в момент времени t + ∆ t аппроксимируются формулой типа

или какой-либо более сложной формулой.

Если требуется в среднем k арифметических операций для того, чтобы вычислить одну производную по времени, то для осуществления всего эксперимента нужно произвести kmn ариф­метических операций.

Полученные таким образом тп чисел далее могут рассматри­ваться как данные наблюдений. Они могут быть использованы для построения серии карт погоды, или для того, чтобы вычи­слить любую нужную статистическую характеристику, напри­мер среднее значение за большой промежуток времени. При этом результаты численного эксперимента имеют одно очевид­ное преимущество перед реальными данными: они не будут содержать пропусков наблюдений. Таким образом, осуществле­ние лишь одного численного эксперимента требует проведения вычислений на срок порядка года. Близкое к этому количество машинного времени будет израсходовано дополнительно при анализе результатов численного эксперимента. Все же следует ожидать, что серия экспериментов, в которых некоторые факторы будут варьироваться от одного эксперимента к дру­гому, даст особенно ценные результаты. По-видимому, не так уж близок тот день, когда мощные электронные вычислительные машины станут столь недорогими, что метеорологические центры смогут приобрести несколько машин и осуществлять одновре­менно несколько численных экспериментов. Более вероятно, что появятся дополнительные заявки на единственную электрон­ную вычислительную машину. Поэтому несколько недель вы­числений, вероятно, будут практически верхним пределом для большинства численных экспериментов.

Наиболее быстродействующие вычислительные машины, ис­пользуемые в наши дни, могут выполнять одну арифметическую операцию, например сложение или умножение двух многознач­ных чисел, приблизительно за 10^-6 сек., и, таким образом, рабо­тая непрерывно, могут выполнить около 10¹² операций в течение двух недель. При дальнейшем усовершенствовании вычислитель­ной техники эта цифра, вероятно, возрастет. Отметим для сравнения, что человек, работающий без помощи вычислитель­ных машин, не смог бы выполнить за это время более 10⁴ опе­раций. Поэтому практическим пределом для произведения kmn является величина порядка 10¹². В типичном метеорологическом эксперименте требуется произвести около ста операций, чтобы вычислить производную по времени от одной лишь функции, так что произведение тп по порядку величин не должно пре­вышать 10¹⁰. Полагая, что эксперимент должен моделировать поведение атмосферы, по крайней мере, в течение нескольких месяцев (промежуток времени, необходимый для получения содержательных статистических характеристик по реальным на­блюдениям) и что шаг по времени ∆ t может составлять не­сколько часов, получаем в качестве нижнего предела для п ве­личину порядка 10³, а верхнего предела для т — величину порядка 10⁷.

В наиболее сложной из рассмотренных до сих пор числен­ной модели Манабе и др. (1965) описывали состояние атмо­сферы при помощи приблизительно 50 000 чисел. Если исполь­зовать верхний предел для т, т. е. 10⁷ чисел, то можно учиты­вать в каждом из узлов горизонтальной сетки, состоящей из 10⁵ точек, значения 5 метеорологических элементов и при этом ис­пользовать 20-уровенную модель. Следовательно, на каждые 5000 км² земной поверхности будет приходиться одна точка сетки.

Несомненно существуют частные решения точных уравнений динамики атмосферы, при которых поля всех переменных полу­чаются настолько гладкими, что могут быть адекватно описаны путем интерполяции между 10⁵ узлами разностной сетки. На­блюдения, однако, показывают, что подобные решения не со­ответствуют реальной атмосфере, в которой постоянно присутствуют такие возмущения, как грозы, кучевые облака и более мелкие турбулентные вихри. Структура таких систем не может быть детально описана, если значения переменных заданы, лишь в узлах редкой сетки. Поэтому любое полученное в наши дни численное решение фактически описывает идеализированную ат­мосферу, в которой отфильтрованы возмущения, имеющие мас­штабы гроз или еще меньшие. Когда быстродействие вычисли­тельных машин увеличится в тысячу раз, станет возможным располагать одну точку сетки в центре квадрата площадью 5 км². Это позволило бы включить в рассмотрение, по крайней мере, крупные кучевые облака. Однако, помимо связанного с этим огромного количества зависимых переменных, имеется и другая причина, по которой подобные особенности циркуля­ции должны быть исключены. При любом реалистическом реше­нии значение любой переменной в каждой точке сетки колеб­лется около некоторого среднего. При этом мгновенное значе­ние производной по времени является хорошей аппроксимацией ее значения, осредненного за небольшую часть периода осцил­ляции, но в то же время очень плохой аппроксимацией среднего за весь период, не говоря уже о среднем за несколько периодов. Даже при использовании более сложных численных схем ма­лые несущественные возмущения, которые должны были бы быстро затухать, будут в ходе расчетов усиливаться и, в конеч­ном счете, полностью искажать картину циркуляции, если только приращение достигнет одной четверти периода возмущений. Следовательно, нужно выбирать шаг по времени достаточно малым, чтобы те колебания, которые следует сохранить, были корректно описаны. В то же время шаг должен быть доста­точно большим, чтобы исключить процессы с очень малыми периодами колебаний, и величина п не слишком возросла.

Колебания, возникающие в отдельной точке, могут быть вызваны распространением в воздухе волн или движениями по­добными волнам, или, наконец, простым смещением некоторого возмущения за счет движения воздуха. Локальные флуктуации, обусловленные турбулентностью, относятся главным образом к последнему типу колебаний. Период таких колебаний сравним с тем промежутком времени, которое требуется, чтобы турбулент­ный вихрь был перенесен сглаженным полем ветра на расстояние порядка линейных размеров этого вихря. Следовательно, введе­ние (даже в самой грубой форме) движений масштабов кучевых облаков приводит к уменьшению величины ∆ t примерно до ми­нуты, а при введении мелкомасштабной турбулентности ∆ t могло бы ограничиваться долями секунды.

Если величина ∆ t уменьшается до минуты или менее, то п будет принимать значения порядка 10⁵ и более. Если даже только наиболее крупные кучевые облака будут рассматриваться в чис­ленной модели как часть глобальной циркуляции, скорость расчетов необходимо увеличивать, по крайней мере, в 10⁵ раз по сравнению с возможным сейчас максимальным значением. Вве­дение в рассмотрение более мелких облаков потребовало бы еще большего увеличения скорости.

Тем не менее, за счет кучевых облаков и мелкомасштабных вихрей осуществляется вертикальный перенос момента количе­ства движения, водяного пара и энергии. Численное решение должно как-то включать эти эффекты. Обычно их влияние на крупномасштабные движения (на которые они налагаются) учитывается путем использования коэффициентов турбулентной вязкости, температуропроводности и диффузии.

Поскольку крупномасштабные движения в свою очередь влияют на интенсивность мелкомасштабных, эти коэффициенты правильнее не считать константами, а аппроксимировать в каж­дом узле сетки некоторыми функциями. Задача определения надлежащих аппроксимаций этих функций все еще далека от решения.

Так как циклоны и другие возмущения подобных масштабов, осуществляющие горизонтальный перенос момента количества движения, водяного пара и энергии, обычно чередуются с ин­тервалами, не меньшими суток, может показаться, что при исключении более мелкомасштабных процессов допустимо ис­пользовать приращение времени ∆ t , достигающее 6 час. Практи­чески это не так. Очень малые случайные погрешности (такие, как погрешности округления) будут восприниматься при числен­ном интегрировании как возмущения с малыми амплитудами, которые могут, или переноситься вдоль по потоку вместе с воз­душными течениями, или распространяться в воздухе как волны. Возникнув, эти возмущения будут присутствовать в чис­ленном решении. Трудности не возникают в том случае, если эти фиктивные возмущения не растут. Однако, если ∆ t превы­шает примерно одну четверть периода, с которым, согласно ос­новным уравнениям, должны осциллировать подобные возмуще­ния, амплитуда погрешностей будет возрастать и, в конечном счете, поле будет искажено.

В общем случае эти погрешности могут интерпретироваться как результат суперпозиции более простых возмущений (глав­ных колебаний — см. гл. VIII) с длинами волн, составляющими четыре пространственных шага сетки. (Колебания с длинами волн, лежащими в интервале между двумя и четырьмя шагами сетки, выявляются при применении спектрального анализа, однако при обычном вычислении конечных разностей их частота будет меньше, чем частота колебаний с длиной волны, равной точно четырем шагам сетки.) Отсюда следует, что максималь­ным допустимым значением ∆ t является промежуток времени, в течение которого или воздушная масса проходит расстояние, равное шагу сетки, или волна перемещается на это же расстояние. Это ограничение вытекает из хорошо известного критерия вычислительной устойчивости Куранта — Фридрикса — Леви. Бо­лее строгое обсуждение читатель найдет в книге Томсона (1959) или в краткой обзорной статье Филлипса (1960).

Итак выбор величины ∆t определяется в первую очередь на­личием волн, которые распространяются со скоростью, гораздо большей, чем скорость ветра. Как известно, наиболее быстрыми являются звуковые и внешние гравитационные волны. Сомни­тельно, чтобы эти волны были важны для процессов общей цир­куляции. Однако в неустойчивой вычислительной схеме они быстро усиливаются. Можно ввести аппроксимации, при которых исходные уравнения преобразованы таким образом, чтобы эти волны были отфильтрованы.

Основные трудности возникают в связи с присутствием зву­ковых волн, распространяющихся по вертикали, так как шаг сетки по вертикали всегда мал по сравнению с горизонтальным шагом. Вследствие этого даже при минимальном разрешении по вертикали (двухслойная модель) величина не должна превышать половины минуты. Как уже отмечалось в гл. II, акустические волны полностью исключаются, если вместо точного уравнения для вертикальной компоненты скорости использовать соотношение гидростатики. Именно поэтому гидростатическое приближение используется так широко.

Гравитационные волны могут быть исключены различными способами, простейший из которых состоит в использовании гео­строфического приближения. При этом вместо полного уравне­ния дивергенции вводится уравнение, в котором вихрь скорости ветра приравнивается вихрю геострофического ветра. Использо­вание более громоздкого, но более точного уравнения баланса, также приводит к отфильтровыванию этих волн. Лишь внешние гравитационные волны распространяются с экстремально высо­кими скоростями, и они могут быть исключены при сохране­нии внутренних гравитационных волн, если просто потребо­вать, чтобы вертикально осредненная дивергенция обращалась в нуль.

При использовании экстремально малых значений прираще­ния времени подавлялись бы фиктивные звуковые и гравита­ционные волны и сохранялись бы реально существующие волны. Использование гидростатического и геострофического приближе­ний, независимо от выбора значения ∆ t , приводит к отфильтро­выванию всех звуковых и гравитационных волн. Следовательно, использование этих приближений может быть оправдано лишь в том случае, если упомянутые волны оказывают очень несуще­ственное влияние на исследуемые процессы циркуляции. Это, несомненно, справедливо для звуковых волн. Считают, что это справедливо и для гравитационных волн. Последнее, однако, менее очевидно.

Даже при использовании гидростатического и геострофиче­ского приближений практически невозможно использовать вели­чины ∆ t , близкие к 6 час. Циклоны обычно перемещаются со скоростью, меньшей, чем скорость ветра, а фиктивные возмуще­ния другого типа, чем звуковые и гравитационные волны, и не обладающие характерной для циклонов структурой, могут пере­носиться ветром. Существенно также и то обстоятельство, что минимальное разрешение по горизонтали, необходимое для того, чтобы отобразить лишь сам факт наличия циклонов и их пере­мещение, является очень грубым по сравнению с тем раз­решением, которое обеспечивает получение репрезентативной картины. Смагоринский и др. (1965) обнаружили, что использо­вание шага сетки, равного 250 км, обеспечивает результаты, значительно более реалистичные, чем те, которые получаются при использовании пространственного шага, равного 500 км. Улучшение при этом достигалось в основном за счет описания дополнительных мелкомасштабных особенностей циркуляции, а скорее, за счет значительно более детального изображения крупномасштабных особенностей. По-видимому, при разумном разрешении по горизонтали значение ∆ t порядка одного часа уже приближается к своему верхнему пределу.

При обычно осуществляемом переходе к идеализированной атмосфере достигается лишь незначительная экономия времени, требующегося для проведения расчетов. Однако здесь главной целью является скорее упрощение задачи, чем экономия машин­ного времени. Примером такой идеализации может служить представление воздуха как идеального газа. Присутствующая в атмосфере в различных фазовых состояниях вода и связан­ный с этим термодинамический и радиационный эффекты часто полностью исключаются из рассмотрения. Наконец, земная по­верхность иногда полагается однородной: океаны и континенты, обладающие совершенно различными теплоемкостями, а также горы и долины, оказывающие противоположное механическое влияние на циркуляцию, исключаются из рассмотрения. В каче­стве еще одного приближения приток тепла от Солнца может быть представлен как функция только широты. При этом вво­дится некоторый гипотетический средний приток тепла от Солнца и не рассматриваются суточные и годовые колебания около этого среднего. Во многих ранних моделях использова­лось приближение β-плоскости (см. главу II).

 

 

Численный прогноз погоды и первый численный эксперимент

На ранних этапах развитие численного моделирования почти полностью зависело от предшествующего развития численного прогноза погоды, т. е. прямого применения основных уравнений к задаче предсказания погоды. Методика численного моделиро­вания остается и сейчас почти такой же за исключением двух принципиальных особенностей. Во-первых, при численном про­гнозе должны быть выбраны начальные условия, характеризую­щие текущую синоптическую ситуацию, тогда как при числен­ном моделировании начальные условия могут быть выбраны максимально удобными для решения этим способом. Во-вторых, при численном прогнозе решение обычно не распространяется на период, превышающий несколько суток, а при численном моделировании оно должно охватывать, по меньшей мере, не­сколько месяцев.

Последнее отличие существенно связано с формой уравне­ний, которые следует использовать. Дело в том, что система уравнений, которая не приводит к содержательным результатам при расчетах на очень большие сроки, может в то же время обеспечивать получение успешных краткосрочных прогнозов. Поэтому в течение нескольких лет, прошедших после первого удовлетворительного численного прогноза погоды, эффекты при­тока тепла и трения были полностью исключены из прогности­ческих уравнений. Для того чтобы уравнения были пригодными для моделирования глобальной циркуляции, они должны быть модифицированы таким образом, чтобы в них входили, по край­ней мере, некоторые добавочные члены, описывающие приток тепла и трение.

Первая серьезная попытка дать численный прогноз погоды была сделана Ричардсоном (1922). Используя уравнения дина­мики атмосферы в квазистатическом приближении, он рассчитал один 6-часовой прогноз для территории Европы. Полученная им картина совершенно не совпала с реальной. Ричардсон припи­сал это влиянию неточных измерений скорости ветра, исполь­зовавшихся в качестве начальных данных. Действительно, в то время отсутствовали адекватные измерения скорости ветра. Однако, помимо этого, Ричардсон не подозревал о явлении вы­числительной неустойчивости.

Вычислительные машины в то время не были известны, и Ричардсон потратил много месяцев, подготавливая свой един­ственный прогноз. Он представлял себе создание метеорологи­ческого центра, в котором 64 000 человек, работая совместно, смогли бы предсказывать изменения погоды с той же скоростью, с какой они совершаются в действительности. Лишь совсем не­давно отдельные электронные машины достигли скорости вы­числений, которой обладали бы при совместной работе 64 000 че­ловек.

В течение ряда лет, те, кто собирался провести аналогичное исследование, были обескуражены неудачей Ричардсона. Стало даже казаться, что невозможно произвести достаточно точные исходные измерения ветра для использования их в качестве начальных данных. Перспективный метод, не требующий точ­ных измерений ветра, был, наконец, предложен Чарни (1947). Вскоре Чарни, Фьортофт и фон Нейман (1950), используя вы­числительную машину, осуществили первый сравнительно ус­пешный численный прогноз погоды.

Этот прогноз был основан на одноуровенной модели (см. уравнение [58]), в которой поле ветра рассчитывалось только на одном уровне, а температура вообще не фигурировала в ка­честве искомой переменной. Оказалось возможным несколько преобразовать эту схему путем учета трения, однако, поскольку уравнение переноса тепла не рассматривалось, учесть эффект притока тепла было невозможно. С появлением двухуровенной модели Филлипса (1951), в которой поле ветра рассчитывалось на обоих уровнях, а поле температуры было связано с разно­стями значений ветра соотношениями термического ветра, фак­тически все было подготовлено для численных экспериментов большей продолжительности.

Впервые численное моделирование глобальной циркуляции было осуществлено в знаменитом эксперименте Филлипса (1956). Филлипс использовал двухуровенную модель, причем были использованы гидростатическое и геострофическое при­ближения и все другие указанные выше упрощения. Область ин­тегрирования была ограничена параллельными стенками длиной 10 000 км. Внутри этого района решение было периодическим по широте — через каждые 6000 км каждая переменная повто­ряла свое значение вдоль широтного круга. Приток тепла от Солнца вводился просто как линейная функция широты, а тре­ние — как линейная функция скорости ветра у поверхности Земли, получаемой путем экстраполяции.

Вначале Филлипс отбросил все изменения по долготе и дал возможность развиваться циркуляции типа Хэдли. В этой цирку­ляции отсутствовали как противоположно направленные пассат­ные ветры, так и западный перенос. Вместо этого всюду в ниж­них слоях преобладали слабые восточные ветры. Эти ветры могли бы также исчезнуть, если бы решение было доведено до состояния полного равновесия.

Как следует из геострофического приближения, в данной схеме перенос импульса подавляется за счет потенциальной компоненты поля ветра и тогда напряжение поверхностного тре­ния ничем не балансируется.

В качестве начальных данных для основного эксперимента Филлипс выбрал циркуляцию Хэдли, но наложил на нее неболь­шие случайные возмущения, изменяющиеся в зависимости от широты и долготы. В течение примерно пяти дней развивалась система волн, а затем интенсивность волн постепенно увеличи­валась. В течение периода интегрирования также возрастала максимальная скорость ветра. Для того чтобы сохранить вычислительную устойчивость, Филлипс вынужден был уменьшить шаг по времени, который вначале равнялся двум часам, до часа, а затем и до получаса. Примерно через 30 дней ошибки, обусло­вленные, по-видимому, выбором конечно-разностной схемы, со­вершенно исказили решение.

Однако в этом эксперименте были в высшей степени успешно-воспроизведены некоторые особенности циркуляции. В ходе рас­четов вскоре появились приземные восточные ветры в низких и высоких широтах, между ними развились западные ветры. Эта картина циркуляции сохранилась в продолжение всего экс­перимента. На уровнях, где преобладали западные ветры, по­явилась отчетливая тенденция к усилению струйного течения. Более того, подробный энергетический цикл оказался ка­чественно подобным энергетическому циклу, наблюдавшемуся в атмосфере, а различные превращения энергии имели пра­вильный порядок величин, хотя численные значения и не со­впадали.

В отличие от реальной атмосферы не выявилось никакого существенного различия между пассатами и полярными восточ­ными ветрами. Фактически это обусловлено тем, что использо­валась очень упрощенная модель. Определенная тенденция к симметрии циркуляции была заложена в самих уравнениях. Точнее, любому зависящему от времени решению соответствует другое решение, также зависящее от времени, в котором поле восточной компоненты ветра является зеркальным отражением по средней линии между экстремальными широтами поля этой же компоненты в первом решении. Следовательно, если уравне­ния транзитивны, пассаты и полярные восточные ветры должны быть в среднем одинаково интенсивны. Если же уравнения интранзитивны и один ряд статистических характеристик обла­дает более сильно выраженными чертами пассатов, то другой ряд будет обладать более сильно выраженными чертами поляр­ных восточных ветров.

Все же чисто геометрическое рассмотрение не дает ответа на вопрос, где встречаются восточные и западные ветры. Запад­ные ветры могли бы формироваться в высоких и низких широ­тах, а восточные — в промежуточной области между ними. Та­ким образом, модель до некоторой степени моделирует пассаты и преобладающие западные ветры. Это наводит на мысль, что основная физическая причина возникновения этих ветров не мо­жет быть исключена за счет сделанных допущений.

В этом эксперименте была обнаружена вычислительная не­устойчивость определенного типа, о котором не подозревали ра­нее при осуществлении краткосрочных численных прогнозов. Если бы система уравнений была линейной, возмущение могло бы переноситься потоком, скорость которого предварительно задана, а не является сама неизвестной переменной в данной системе. Тогда надлежащий шаг по времени мог бы быть вы­бран раз навсегда. Для системы нелинейных уравнений необхо­димое значение должно быть уменьшено всякий раз, когда возрастает максимальная скорость ветра. Если по причинам вычислительного характера система продолжает получать кине­тическую энергию, пусть даже с небольшой скоростью, процесс численного интегрирования, который в течение многих дней, ка­залось, был устойчивым, внезапно становится неустойчивым, как только скорость ветра превысит некоторое критическое зна­чение.

Прежде чем осуществить численные эксперименты на не­ограниченно долгие сроки, нужно было исключить подобную нелинейную вычислительную неустойчивость. Филлипс (1959) обнаружил, что вычисление конечно-разностных аналогов опера­торов дифференцирования по горизонтальным координатам мо­жет приводить к фиктивному росту кинетической энергии, и что подобная неустойчивость может быть исключена, если перио­дически сглаживать все возмущения с длиной волны, меньшей 4 шагов сетки. До некоторой степени эта операция подобна вве­дению нелинейной вязкости, играющей большую роль при по­давлении всех мелкомасштабных движений и почти не оказы­вающей влияния на крупномасштабные движения. Еще одно успешное решение этой проблемы предложил Аракава (1966), подобравший такую конечно-разностную форму горизонтальных адвективных членов, при которой точно сохраняется кинетиче­ская энергия. Лейс (1965) решил эту же задачу, записав адвек­тивные члены в переменных Лагранжа. При этом в момент вре­мени t — ∆ t определялось местоположение точки, которая будет перенесена потоком и в момент t займет некоторое стандартное положение.

 

 

Современные численные эксперименты

 

В некоторых из последних численных экспериментов дела­ются попытки исключить наиболее обременительные упрощения, использованные Филлипсом. Смагоринский (1963) возвратился к примитивным уравнениям, хотя еще и не включил в них «внешние» гравитационные волны. Он получил решение для сферической поверхности, но ограничил область интегрирования экватором и параллелью 64,4° с. ш. Он осуществил интегрирова­ние на срок до 60 суток при шаге во времени, равном 20 мин.

Эта модель позволила получить значительно более реальное изображение пассатов и зонального западного переноса. В сред­них и высоких широтах выявились нерегулярные образования •с пятью или шестью хорошо развитыми волнами на каждом ши­ротном круге. В тропических широтах было обнаружено гораздо больше возмущений со значительно меньшими амплитудами и: горизонтальными масштабами.

Значительным шагом вперед явилась работа Лейса, кото­рый использовал шестиуровенную модель, основанную на при­митивных уравнениях, и при этом учитывал эффекты испаре­ния, конденсации и осадков. Новой особенностью его численного решения было получение с помощью приставки к вычислитель­ной машине наглядной картины движения в виде кинофильма. В этом фильме легко можно было проследить за развитием, преобразованием и разрушением отдельных возмущений. В на­стоящее время, несомненно, наиболее детализированными яв­ляются эксперимент Смагоринского и др. (1965) с сухой атмо­сферой и эксперимент Манабе и др. (1965) с влажной атмо­сферой. В первом исследовании были сохранены как внешние,, так и внутренние гравитационные волны; область интегрирова­ния охватывала все полушарие. Однако принципиальным уточнением здесь явилось описание вертикальной структуры с помощью 9 уровней, которые наиболее тесно расположены у поверхности Земли и у верхней границы атмосферы. Это по­зволяет дать более реалистическое описание поля радиации и слоя трения у поверхности Земли. Кроме того, в верхних слоях атмосферы можно учесть поглощение озоном радиации, лежащей в ультрафиолетовом диапазоне спектра. Второй эксперимент содержит, помимо перечисленных выше особенностей, еще и упрощенный гидрологический цикл, включающий испарение,, адвекцию водяного пара и осадки. Однако расчет радиацион­ного притока тепла все еще основывается на среднем клима­тическом, а не на текущем (получаемой из расчетов) распреде­лении облачности и водяного пара.

В этих экспериментах было удивительно успешно воспроиз­ведено большинство характерных особенностей реальной цирку­ляции. В модели можно было проследить развитие тропопаузы; распределение температуры в основных чертах не отличалось от наблюдающегося в действительности, включая такие особен­ности, как увеличение температуры по направлению к полюсу в нижней стратосфере. Энергетический цикл качественно и в ра­зумных пределах количественно согласуется с реальным атмо­сферным энергетическим циклом, и, вероятно, как и в действи­тельности, кинетическая энергия в стратосфере поддерживается благодаря механическому воздействию стратосферы и тропо­сферы. Вторая модель дает реалистичную общую норму осад­ков, хотя максимальная величина осадков в тропиках и завы­шена. В целом, удовлетворительно получен и более подробный энергетический цикл, хотя, по-видимому, значение вихревой ки­нетической энергии несколько занижено по сравнению с реаль­ным. При дальнейшем усовершенствовании модели следует ожидать в основном улучшения результатов с количественной стороны, хотя вносимые уточнения, безусловно, должны быть качественными.

Другой крупный численный эксперимент был осуществлен Минцем (1964). Особенно ценно, что он включил в рассмотре­ние многие основные свойства атмосферы, отсутствовавшие в моделях Смагоринского и Манабе. Минц использовал всего два слоя по вертикали, но учитывал крупномасштабную топо­графию Земли, а также различал океаны и материки. Предпо­лагалось, что океаны имеют бесконечную теплоемкость, так что температура их поверхности была заранее определена. Теплоемкость суши и покрытого льдом моря полагалась равной нулю, так что получаемое в этом случае тепло считалось мгно­венно передающимся в атмосферу.

Минц начал численный эксперимент, не учитывая влияния гор, а затем на определенной стадии расчетов стал учитывать их влияние. «Вскоре после того, как это было сделано, воздух начал стекать по склонам гор (точно так же, как стекает вода с острова, появляющегося из моря), образуя крупные гравита­ционные волны. Спустя несколько дней эти внешние гравитаци­онные волны затухли и остались лишь хорошо известные метео­рологические системы...» (Минц, 1964, стр. 146).

Минц обнаружил, что горы оказывают слабое влияние на общую циркуляцию атмосферы в целом и, особенно на значение суммарной кинетической энергии. Однако наряду с такими эффектами, как влияние материков и океанов, они существенно сказываются на географическом положении различных типич­ных особенностей циркуляции. Осредненное по времени поле давления на уровне морской поверхности так же, как и осредненная, по долготе и по времени температура верхнего слоя, до­вольно хорошо согласуется с наблюдениями.

В последнее время численные эксперименты были осущест­влены еще рядом исследователей. Превосходное сравнительное описание всех основных работ, выполненных в этой области, дано Б. Л. Гаврилиным (1965).

При сопоставлении результатов больших численных экспери­ментов, возникает ощущение, что циркуляцию атмосферы можно воспроизводить с любой желаемой степенью детализации, если пользоваться все более и более реалистическими уравнениями. Принципиальными не решенными еще физическими проблемами остается адекватное описание мелкомасштабных движений и гидрологического цикла в атмосфере. Обе они проявляются существенным образом в задаче кучевой конвекции. По-види­мому, нет особых причин, по которым эти проблемы не могут быть успешно решены.

Возникает вопрос, что же будет достигнуто, помимо удо­влетворения от завершения работы, если мы сможем со вре­менем воспроизвести общую циркуляцию во всех основных деталях. Поскольку мы знаем, во всяком случае, априори, что корректное решение корректных исходных уравнений будет пра­вильно воспроизводить общую циркуляцию, если атмосфера транзитивна, или будет воспроизводить правильную картину циркуляции в широком диапазоне начальных условий, если даже атмосфера интранзитивна, непосредственные результаты расчетов покажут нам корректность как уравнений, так и ме­тодов решения.

Наше понимание процессов общей циркуляции могло бы быть расширено только за счет того, что многие особенности реальной циркуляции нелегко наблюдать и особенно измерять, тогда как достаточно полное численное решение должно со­держать значения каждой исследуемой переменной, исходя из которых можно было бы вычислить любую представляющую интерес статистическую характеристику. Такие вопросы, как, например, детали энергетического цикла, могли бы быть ре­шены раз и навсегда.

Решение, однако, не обязательно должно привести к углу­блению нашего представления о физике процессов. Общая кар­тина циркуляции столь сложна, что относительная роль различ­ных физических факторов, таких, например, как топография Земли или наличие воды, оказывается не многим более очевид­ной при исследовании результатов численного решения, чем при непосредственных наблюдениях в реальной атмосфере.

Как и в случае моделирования в лаборатории, основное зна­чение численных моделей должно заключаться в возможности проведения контролируемых экспериментов. Контроль здесь мо­жет быть такого же типа, какой легко ввести в лабораторных условиях, а именно, он может быть основан на изменении од­ного или более внешних параметров, например, интенсивности притока тепла. Дополнительные преимущества этого метода ле­жат в возможности изменения не только физических условий, таких, как топография Земли, но и самих физических процессов, таких, например, как звуковые и гравитационные волны, по­скольку уравнения легко можно преобразовать, даже в такой степени, чтобы они описывали системы, реализовать которые в действительности невозможно. В лаборатории звуковые и гра­витационные волны могут быть различными способами по­давлены, но они не могут быть исключены полностью. При численном моделировании введение гидростатического и геостро­фического приближений исключает эти волны полностью. Таким образом, значение этих волн для общей циркуляции может быть легко оценено.

Осуществление контролируемых численных экспериментов, по-видимому, еще только началось. Основные усилия сейчас на­правлены на усовершенствование отдельных экспериментов. Ве­роятно, через несколько лет проведение экспериментов такого масштаба, как эксперименты Манабе и др., будет рассматри­ваться как нечто само собой разумеющееся. Их можно будет осуществлять всякий раз, когда нужно проверить какую-либо гипотезу. Однако предварительно потребуется много усилий, чтобы научиться моделировать обычное состояние атмосферы, а не его изменения. Чем более детально будет моделироваться наблюдаемый режим атмосферы, тем с большей уверенностью мы сможем впоследствии использовать численную модель для осуществления контролируемых экспериментов, в которых будут последовательно вводиться отличия от реальности.

 

 

Глава VIII

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В основе любого теоретического исследования процессов циркуляции лежат физические законы, которым подчиняются процессы, протекающие в атмосфере, и математические уравне­ния, выражающие эти законы. Разработано множество числен­ных методов интегрирования этих уравнений. В последнее время интерес к численным моделям атмосферы сильно возрос, и иногда создается впечатление, что с помощью таких моделей можно получить ответы почти на все возникающие вопросы. В самом деле метод математического моделирования, по-види­мому, будет занимать совершенно особое положение в течение очень длительного времени. Однако не следует забывать, что теоретические исследования в метеорологии широко проводи­лись задолго до появления первых вычислительных машин.

В отличие от аналитических выражений, получаемых при применении более традиционных математических методов, ре­зультаты численных экспериментов представляют собой наборы чисел, которые в дальнейшем должны быть подвергнуты обра­ботке, аналогичной обработке данных метеорологических на­блюдений. Поэтому мы и рассматривали метод математического моделирования непосредственно после обсуждения данных ме­теорологических наблюдений.

В настоящей главе будут рассмотрены некоторые методы, связанные с большими ограничениями, чем метод математиче­ского моделирования, с помощью которых можно получить ряд следствий основной системы уравнений, касающихся процессов циркуляции. В особенности нас будут сейчас интересовать те методы, применение которых не требует вычислительных машин.

 

 

Аналитические решения уравнений динамики

 

Вероятно, самым большим теоретическим достижением яви­лось бы получение общего аналитического решения точных уравнений. В настоящее время одним из препятствий к получе­нию такого решения является наше неумение адекватно опи­сывать трение и конденсацию. Получение общего решения той или иной идеализированной системы уравнений явилось бы почти равноценным достижением. Однако и эта задача, по-види­мому, не может быть решена до тех пор, пока исходные урав­нения не будут в такой мере упрощены, чтобы исключить непе­риодические решения. Характерный для атмосферы непериоди­ческий режим не может быть описан с помощью формул с конечным числом членов. Могут, разумеется, существовать различные мнения относительно того, до какой степени допу­стимо упрощение уравнений. Однако нам кажется, что общее решение любой системы уравнений, если считать, конечно, что оно описывает общую циркуляцию атмосферы и поддерживаю­щие ее процессы, должно удовлетворять, хотя бы следующим минимальным требованиям. Во-первых, должен иметь место тот или иной энергетический цикл, в котором за счет притока тепла создается доступная потенциальная энергия, при обратимых адиабатических процессах происходит превращение потенциаль­ной энергии в кинетическую, а за счет трения происходит дис­сипация кинетической энергии. Во-вторых, должны существовать вихри, или отклонения от зональной симметрии. Эти вихри должны в основном осуществлять перенос тепла к высоким ши­ротам, т. е. приводить к уменьшению градиента температуры, направленного к полюсу. Эти вихри также должны получать доступную потенциальную энергию от зонально осредненного потока. Они в основном должны еще осуществлять перенос мо­мента количества движения к высоким широтам и таким обра­зом поддерживать системы пассатов и западных ветров на нижних уровнях. Наконец, они должны передавать некоторое количество кинетической энергии зональной циркуляции. В связи с требованием сохранения момента количества движения в низ­ких широтах должна возникнуть прямая, а в средних широтах обратная меридиональная ячейка циркуляции. Эти ячейки должны переносить дополнительно тепло и потенциальную энергию. Едва ли нужно напоминать, что процессы переноса тепла и момента количества движения имеют нелинейную при­роду и что соответствующие уравнения переноса нелинейны.

Возможно, существует такая система уравнений, общее ре­шение которой является периодическим и, тем не менее, удо­влетворяет перечисленным выше требованиям. В этом случае есть возможность получить общее решение в аналитической форме. Путем тщательного исследования такого решения можно было бы выяснить, почему в реальной атмосфере преобладают именно те процессы, которые данное решение описывает.

Уверенности в успехе на этом пути нет. Менее честолюби­вой и более реалистичной целью явилось бы отыскание част­ных аналитических решений. Если рассматривается атмосфера, идеализированная, по крайней мере, до такой степени, что исключены все географические особенности и не учитываются изменения во времени и по долготе внешнего притока тепла, то одно из решений также не будет зависеть от времени и дол­готы. Такое решение описывает циркуляцию Хэдли. Правда, это решение не описывает удовлетворительно циркуляцию, на­блюдаемую в реальной атмосфере, однако оно интересно само по себе и играет важную роль в современном представлении о процессах общей циркуляции.

Обербек (1888) впервые пытался получить в аналитической форме решение, описывающее циркуляцию Хэдли. При этом он описал скорее температуру, чем поле внешнего притока тепла. Качественно решение Обербека напоминает предсказанный Хэдли (1735) поток с единственной прямой ячейкой циркуля­ции, но, как мы уже отмечали в главе IV, это сходство, по-види­мому, случайно.

Много лет спустя этой проблемой занялся Кропачек (1935). Он получил меридиональную циркуляцию, весьма похожую на циркуляцию, по представлениям Томсона (1857) и Феррела (1859), — с небольшой обратной ячейкой у поверхности в сред­них и высоких широтах и одной прямой ячейкой (полюс—эква­тор), занимающей всю остальную часть тропосферы. Как и Обер­бек, Кропачек описал поле температуры, но рассматриваемые им уравнения включали также и термический ветер. Полученные Кропачеком западные ветры обладали присущей им интенсив­ностью, а обратная ячейка циркуляции была достаточно раз­вита, чтобы поддерживать эти ветры. Он согласовывал значе­ния зональных ветров у поверхности Земли таким образом, чтобы момент поверхностного трения уравновешивал проинте­грированный по вертикали момент количества движения.

Для слоя трения Кропачек предположил заранее, что по­всюду, где бы ни возникали приземные восточные ветры, будет существовать медленное течение, направленное к полюсу или экватору и налагающееся на меридиональную циркуляцию. Этим обстоятельством и объясняется, что была получена об­ратная ячейка циркуляции у поверхности Земли. Все это не может рассматриваться как доказательство того, что схемы ме­ридиональной циркуляции, предложенные Томсоном и Феррелом, имеют преимущества перед схемами циркуляции типа Хэдли.

Читатель мог заметить, что до сих пор мы не сказали, будет ли в действительности меридиональная циркуляция, которая имела бы место, если бы можно было воспрепятствовать разви­тию крупномасштабных вихрей, именно тем типом циркуляции, который представлял себе Хэдли, или тем, который описывали Томсон и Феррел, или еще каким-то другим типом циркуляции. Ответа на этот вопрос мы не знаем.

Вследствие наличия географических неоднородностей на по­верхности Земли безвихревая циркуляция фактически не может существовать, поэтому поставленный выше вопрос может относиться лишь к некоторой идеализированной атмосфере. Чтобы дать тот или иной определенный ответ, мы должны решить, бу­дет ли поверхность Земли целиком занята сушей или океаном. Этот выбор существенно повлияет на величину притока тепла.

Заметим, что в определенном смысле возможна меридио­нальная циркуляция произвольного вида. Можно выбрать поле температуры и соответствующее ему поле ветра, приближенно удовлетворяющие соотношениям термического ветра, и затем на­ложить какую-либо меридиональную циркуляцию. Далее можно определить поля силы трения и притока тепла.

Как правило, определенные таким способом поля трения и притока тепла будут далеки от реальных. Связав трение со скоростью течения, можно видоизменить методику исследова­ния, а именно, задавать некоторую меридиональную циркуля­цию и определять зональную циркуляцию и поле температуры из линейного уравнения с переменными коэффициентами. Нако­нец, можно выбрать некоторую зональную циркуляцию, при которой суммарный момент силы трения обращается в нуль в любой области, ограниченной поверхностью Земли и двумя поверхностями с постоянным моментом количества движения, и получить решение для меридиональной циркуляции. В любом случае можно затем определить приток тепла из уравнения тер­модинамики.

Остается лишь выбрать исходное поле зональной или мери­диональной циркуляции таким образом, чтобы можно было по­лучить адекватное поле притока тепла. По-видимому, для этой цели можно использовать циркуляцию, подобную полученной Хэдли или Томсоном и Феррелом.

В любом случае решение, обладающее зональной симмет­рией, не может удовлетворительно описывать наблюдаемую цир­куляцию. Среди наиболее репрезентативных частных решений системы идеализированных уравнений простейшими являются решения, описывающие поток, содержащий волны, развиваю­щиеся без изменения своей формы (как при установившемся режиме Россби в лабораторных экспериментах). Эти стационар­ные решения в движущейся системе координат можно получить аналитически. Более сложными оказываются решения, описываю­щие колебания, при которых форма волн и скорость их движе­ния меняются по периодическому закону. В движущейся си­стеме координат эти дважды периодические решения становятся просто периодическими, и можно надеяться также определить их аналитически.

Как и решение Хэдли, эти решения, описывающие стацио­нарные волны и колебания (если только они, вообще, сущест­вуют) , неустойчивы по отношению к последующим возмуще­ниям. Вновь отметим, что эти решения не соответствуют реаль­ной атмосфере. Если же считать, что такие решения описывают реальную атмосферу, то они должны удовлетворять некоторым минимальным требованиям, о которых говорилось выше. Нет уверенности, что это может быть достигнуто. В реальной атмо­сфере присутствует множество нерегулярных вихрей. Один из них переносят тепло и момент количества движения через сред­ние широты к полюсу, другие — переносят эти же субстанции к экватору. Результирующий перенос вихрями направлен к по­люсу. Не следует, однако, делать отсюда заключения, что в ре­шении, описывающем устойчивый волновой или даже колеба­тельный режим, вихри будут переносить момент количества дви­жения и тепло именно в этом направлении.

Кажется, тем не менее, вероятным, что физические процессы, определяющие структуру нерегулярных вихрей в атмосфере, а следовательно, и осуществляемый вихрями перенос, могут по­добным же образом влиять на вихри, появляющиеся в неустой­чивых, но математически возможных решениях для волн. Еще больше оснований полагать, что средний перенос вихрями тепла и момента количества движения в колебательных решениях бу­дет подобен по направлению и даже по величине переносу, осу­ществляемому нерегулярными вихрями в реальной атмосфере. Если удастся показать, что это действительно так, то получение общего решения, описывающего колебательный процесс, прибли­зило бы нас к желаемой цели.

Поскольку трудности возникают уже при получении анали­тического решения для режима Хэдли, задача получения ста­ционарного волнового решения, по-видимому, является слишком трудной. Были осуществлены отдельные удачные попытки ре­шить предельно упрощенные уравнения общей циркуляции.

Наиболее значительный вклад в этом направлении, несом­ненно, внес Россби (1939), получивший решение двумерного уравнения вихря на бета-плоскости. Это решение описывает распространение стационарных волн в полосе западных ветров, весьма сходное с потоком, открытым впоследствии в лаборатор­ных экспериментах. Тем не менее, не следует использовать это решение для объяснения процессов общей циркуляции, так как в нем отсутствуют притоки тепла и трение, а амплитуда волн должна быть заранее задана.

Гаурвиц (1940) дополнил решение Россби, включив трение и вынуждающее воздействие, но так как решение оставалось двумерным, это воздействие по своей природе было скорее ме­ханическим, чем термическим. Гаурвиц получил решение для сферы. И Россби, и Гаурвиц использовали линеаризированную форму уравнения вихря, но Крэйг (1945) заметил, что их реше­ния удовлетворяют также нелинейному уравнению. Позднее Куо (1959) аналитически получил трехмерное решение для упрощен­ной системы нелинейных уравнений, где эффекты трения и при­тока тепла были опущены.

Особенностью всех этих решений нелинейных уравнений яв­ляется то, что образующиеся вихри совместимы лишь с един­ственной формой колебательного движения. Вихри обладают такой конфигурацией, что адвекция, сопровождающая вихревое движение, не вносит обычных искажений в форму колебаний. Для более общего типа движения наложение вихрей — колеба­ний различной формы — ведет к их взаимному искажению и соз­данию новых форм колебаний. Следовательно, решения, описы­вающие более одного вида колебаний, будут фактически описы­вать неограниченное количество колебаний.

Вихри, не приводящие к искажению поля скорости, не изме­няют, конечно, и поля зонально осредненного момента коли­чества движения. Тогда решения системы уравнений без учета трения, описывающие вихри какого-то единственного вида, не должны описывать конвергенцию момента количества дви­жения при переносе за счет вихрей.

Нам неизвестно ни одно аналитическое решение даже наи­более упрощенной системы уравнений, которое описывало бы адекватно вихревой перенос тепла и момента количества дви­жения. Пытаясь объяснить результаты некоторых экспериментов с цилиндрическими сосудами, Лоренц (1962) нашел общее установившееся решение очень упрощенной системы уравнений и получил надлежащее значение переноса тепла. Однако эта си­стема вообще не включала переноса момента количества дви­жения ни за счет вихрей, ни за счет меридиональной циркуляции. Рассмотрев систему с большим числом степеней свободы (это позволило осуществить перенос момента количества движения за счет вихрей), Лоренц (1963) смог получить решение лишь путем численного интегрирования.

Следовательно, теоретическое изучение циркуляции было бы существенно облегчено, если бы удалось связать каким-либо образом статистические характеристики крупномасштабных вих­рей с характеристиками зонально осредненного движения, на ко­торое налагаются эти вихри. В основе предлагаемой методики, естественно, лежит предположение о пропорциональности гори­зонтального переноса момента количества движения и тепла, осуществляемого вихрями, градиентам зонально осредненных количества движения и температуры. Коэффициентами пропор­циональности служат выбранные соответствующим образом коэффициенты обмена. При этом система уравнений была бы сведена лишь к немногим более сложной системе, чем та, что должна быть проинтегрирована при получении решения Хэдли.

Анализ результатов наблюдений показал, что примерно для половины атмосферы осуществляется вихревой перенос момента количества движения по направлению к широтам с более вы­сокими значениями угловой скорости. В то же время в некото­рых районах вихри переносят тепло по направлению к широтам с более высокой температурой. Тогда введение крупномасштаб­ных коэффициентов обмена приводило бы к неверным резуль­татам. Иди (1954) четко объяснил, почему вихревой перенос момента количества движения не может описываться с помощью классической теории турбулентности. По-видимому, при получе­нии аналитического решения уравнений динамики атмосферы и его использовании для объяснения процессов циркуляции нельзя все же обойти задачу объяснения структуры вихрей. Между тем, в большинстве теоретических исследований, за ис­ключением тех, где изучалась циркуляция типа Хэдли, ставилась более скромная цель — показать, что некоторые наблюдаемые особенности атмосферной циркуляции должны проявиться, если допустить, что существуют некоторые другие также имеющие место в действительности особенности. При этом можно за­частую упростить систему уравнений, используя методику, недо­пустимую при решении задачи в целом.

 

 

Уравнения для возмущений

 

Сложные нелинейные уравнения, в исходной форме с трудом поддающиеся решению, в метеорологии чаще всего линеаризи­руют. Нелинейное уравнение превращается в линейное путем замены некоторых переменных коэффициентов постоянными. Подобная линеаризация находит наиболее последовательное применение в хорошо известном «методе возмущений». Если два зависящих от времени решения некоторой системы нелинейных уравнений лишь слабо отличаются, друг от друга в некоторый начальный момент времени, то разность этих решений в течение всего периода времени, пока она остается малой величиной, хо­рошо аппроксимируется решением некоторой системы линейных однородных уравнений. Этот метод наиболее широко исполь­зуется, когда одно из решений уже известно. В этом случае дру­гое решение может быть найдено посредством интегрирования системы линейных уравнений. Обычно известное заранее реше­ние несколько проще, чем то решение, которое требуется оты­скать. Чаще всего это решение и становится известным именно потому, что оно имеет более простой вид. Поток, описываемый более простым решением, часто называют основным потоком. В большинстве метеорологических исследований основной поток не зависит от времени, чаще всего он не зависит также и от дол­готы. В качестве основного потока, например, могла бы быть использована циркуляция Хэдли. В то же время нет формаль­ной необходимости в том, чтобы известное решение не зависело от времени и долготы или было более простым, чем решение, которое отыскивается.

В любом случае коэффициенты системы линейных уравнений зависят не только от того, какие нелинейные уравнения были выбраны в качестве исходных, но и от вида уже известного част­ного решения. Иногда, если имеется достаточно простое реше­ние, описывающее основной поток, эти коэффициенты постоянны и уравнения легко решаются. В других важных случаях коэф­фициенты являются функциями широты и высоты. Если основ­ной поток изменяется во времени, коэффициенты также изменя­ются во времени. Самое широкое развитие метод возмущений получил в работах Бьеркнесса и др. (1933).

Наиболее важным свойством однородных линейных уравне­ний является их конгруентность, т. е. тот факт, что сумма лю­бых двух решений также представляет собой решение. Это об­стоятельство и обусловило столь высокое развитие теории линей­ных однородных уравнений. Во многих случаях общее решение может быть выражено как суперпозиция более простых ре­шений или «главных колебаний». Когда основной поток не за­висит от времени и долготы, каждая компонента решения опи­сывает волну, которая развивается, не изменяя своей формы. Амплитуда колебания может экспоненциально расти, оставаться постоянной, или экспоненциально уменьшаться.

По существу, применение метода возмущений наиболее оправдано при исследовании устойчивости основного потока, т. е. при выяснении того, будут ли малые возмущения, наложен­ные на основной поток, увеличиваться по амплитуде или за­тухать. Если решение, удовлетворяющее произвольным началь­ным условиям, представляет собой суперпозицию колебаний, то основной поток неустойчив в том случае, когда возрастает амплитуда, хотя бы одной из компонент волнового движения. Если амплитуды всех компонент общего решения уменьшаются, основной поток устойчив. Часто рассматривается нейтральный основной поток, когда амплитуда по крайней мере одного из ко­лебаний сохраняется неизменной, в то время как амплитуды всех остальных возмущений не возрастают. Некоторый, вообще говоря, неустойчивый поток может быть устойчив по отношению к определенному классу возмущений и неустойчив по отношению к другим возмущениям. Исследование общего решения системы линейных уравнений обнаруживает не только устойчивость или неустойчивость известного решения, но также и формы усили­вающихся и затухающих возмущений. Когда общее решение отыскать не легко, устойчивость потока часто можно выяснить, исследовав полную энергию вихрей.

Возмущения или вихри, наложенные на устойчивое зонально симметричное течение, обладают некоторыми запасами энергии (кроме энергии, которой обладает основной поток). Линеаризо­ванные уравнения не удовлетворяют закону сохранения энергии, так как возмущения, описываемые этими уравнениями, могут неограниченно возрастать по амплитуде (например, экспонен­циально). Тем не менее, для исходной нелинейной системы, ле­жащей в основе линейных уравнений, с которыми нелинейные уравнения весьма сходны в течение периода времени, пока воз­мущения малы, требуется, чтобы существовал некоторый источ­ник энергии, если возмущения возрастают. Таким источником должна быть энергия основного потока. Это справедливо даже в том случае, когда из уравнений в явной форме не следует, что происходит изменение скорости основного потока. Когда невозможно черпать энергию из основного потока и в то же время удовлетворять вышеупомянутым условиям, основной по­ток должен быть устойчивым.

Изучение устойчивости как таковой не связано с исследова­нием вопроса, каким образом устанавливается или за счет чего поддерживается основной поток. Поэтому в большинстве иссле­дований исходные нелинейные уравнения могут быть упрощены путем полного пренебрежения эффектами трения и термического воздействия. Если это сделано, фактически любое независящее от времени и долготы поле скорости удовлетворяет системе нелинейных уравнений (неважно, будет ли оно иметь сходство с циркуляцией, которая поддерживается за счет притока тепла и в которой присутствует диссипация за счет трения). Таким образом, имеется множество основных потоков, устойчивость которых можно исследовать. Во многих исследованиях поэтому, скорее, ищутся общие критерии неустойчивости, чем исследуется устойчивость отдельных основных потоков. С другой стороны, при пренебрежении трением пренебрегают также и стоком вих­ревой энергии (иногда только стоком). В результате широкий класс основных потоков может оказаться нейтральным. Когда рассматриваются процессы трения, должен существовать также и источник энергии вихревого движения. В общем случае ней­тральными будут только те потоки, для которых источники и стоки энергии балансируют друг друга.

Имеется ряд механизмов, посредством которых основной по­ток может передавать свою энергию возмущениям, и неустой­чивость течения, возникающая в результате различных причин, обычно рассматривается как различные типы неустойчивости. При исследовании процессов общей циркуляции наиболее суще­ственны два типа неустойчивости: баротропная и бароклинная.

Баротропная неустойчивость наблюдается, если вихри чер­пают энергию из кинетической энергии основного потока. Этот случай был детально исследован в работе Куо (1949) и ряде его последующих работ. В связи с тем, что в этих исследованиях пренебрегается поворотом направления ветра с высотой, явле­ние баротропной неустойчивости легче всего исследовать, пре­небрегая вертикальной структурой, т. е. рассматривая в каче­стве исходных нелинейные уравнения, описывающие двумерный поток несжимаемой жидкости. Другим общепринятым упроще­нием является переход к бета-плоскости. Основной поток теряет кинетическую энергию, однако, должен сохраняться суммарный момент количества движения. Так как при фиксированном мо­менте количества движения поток должен обладать минималь­ной кинетической энергией, он не может быть баротропно неустойчивым, если только его угловая скорость не изменяется с широтой. В этом случае коэффициенты линейных уравнений являются функциями широты, определить которые в явной форме часто бывает затруднительно. С другой стороны, исследование энергии показывает, что необходимым условием существова­ния баротропной неустойчивости является наличие экстремума (максимума или минимума) абсолютного вихря. Этот экстремум должен обнаруживаться где угодно, кроме полюса (или экстре­мальных широт при использовании бета-плоскости). Поскольку при наличии баротропной неустойчивости усиливающиеся воз­мущения черпают кинетическую энергию из основного потока, эти возмущения должны обладать определенной структурой, обеспечивающей перенос момента количества движения в сред­нем по направлению к широтам с низкими значениями угловой скорости. При этом не возникает необходимости в каком-либо переносе тепла.

Бароклинная неустойчивость имеет место при превращении доступной потенциальной энергии основного потока в кинетиче­скую энергию вихрей. При этом нет необходимости в прямом обмене кинетической энергией с основным потоком. Следо­вательно, не обязательно, чтобы скорость основного потока обладала сдвигом по горизонтали и явление бароклинной неустойчивости легче всего исследовать, пренебрегая широтными изменениями скорости основного потока. Бароклинная неустой­чивость впервые была изучена Чарни (1947), Иди (1949), Фьортофтом (1950), а более детально — Куо (1952). В отличие от проблемы баротропной неустойчивости здесь коэффициенты системы линейных уравнений становятся постоянными в том случае, когда вертикальный сдвиг скорости ветра представлен в достаточно простой форме. В этом случае легко определить отдельные нормальные колебания. Некоторые исследователи использовали различные упрощающие допущения, поэтому их ре­зультаты не вполне согласуются между собой. Тем не менее, во всех исследованиях было обнаружено, что явлению бароклин­ной неустойчивости способствуют большие значения параметра Кориолиса и вертикального сдвига ветра, а также низкие значения параметра статической устойчивости. При значениях вертикального сдвига скорости ветра, типичных для западных ветров в средних широтах, когда лишь слегка превышены кри­тические значения параметров, при которых возникает неустой­чивость, наиболее быстро усиливающиеся колебания состоят обычно из цепочки в шесть, семь или восемь волн, распростра­няющихся вокруг Земли. Так как рост возмущений происходит за счет доступной потенциальной энергии основного потока, вихри должны переносить тепло в среднем по направлению к широтам с более низкой температурой. В данном случае нет необходимости в вихревом переносе момента количества дви­жения. Не зависящий ни от времени, ни от долготы основной поток в самом общем случае обладает как горизонтальным, так и вертикальным сдвигом скорости ветра. Для такого течения может быть характерна баротропная или бароклинная или одно­временно баротропная и бароклинная неустойчивость. Однако, чтобы определить будет ли поток устойчивым, недостаточно рас­смотреть отдельно условия баротропной и бароклинной неустой­чивости. Линейные уравнения оказываются при этом значи­тельно сложнее, чем в частных случаях, когда отсутствует либо вертикальный, либо горизонтальный сдвиг скорости ветра.

Обычно нелегко определить возмущения аналитически, хотя с помощью численных методов они и могут быть найдены. Эта проблема недавно была детально рассмотрена Педлоски (1964), который использовал геострофическое приближение. Когда для дальнейшего упрощения уравнений вводится двумерное при­ближение, необходимым условием неустойчивости является на­личие как положительных, так и отрицательных градиентов «потенциального» вихря, который в этом случае является ли­нейной комбинацией вихря и температуры. Педлоски рас­смотрел потоки определенного вида, удовлетворяющие этому условию, но не удовлетворяющие условию, необходимому для баротропной неустойчивости. Он обнаружил возмущения, расту­щие за счет потенциальной энергии основного потока, которые переносили при этом тепло от широт с высокой температурой к широтам с более низкой температурой. Вихри передавали часть кинетической энергии основному потоку, перенося момент коли­чества движения по направлению к широтам с более высокими значениями угловой скорости. Таким образом, свойства течений были такими, как если бы течения обладали независимо свой­ствами бароклинной неустойчивости и баротропной устойчи­вости, и, кроме того, энергетическим циклом, качественно подоб­ным циклу, наблюдающемуся в атмосфере.

Линеаризованные уравнения в течение длительного вре­мени использовались лишь при изучении развития циклонов. Применение этих уравнений к исследованию процессов общей циркуляции началось после того, как стало ясно, что вихри играют здесь существенную роль. Однако следует использовать эти уравнения очень осторожно. Во-первых, поток, имеющий место в атмосфере, почти никогда не состоит из зонально-сим­метричного потока и малых возмущений. Характеристики реально существующего потока могут быть осреднены по долготе, и такое осредненное течение может рассматриваться в ка­честве основного потока. Однако малые отклонения от подобного основного потока наблюдаются редко. При использовании лине­аризованных уравнений в случае больших возмущений факти­чески опускаются нелинейные эффекты взаимодействия между вихрями, которые наиболее существенно проявляются в искаже­нии поля. Подобное пренебрежение нелинейными эффектами эквивалентно предположению, что крупные и малые возмуще­ния, налагающиеся на основной поток, ведут себя одинаково, т. е. как малые возмущения. Однако можно показать, что это сводится к введению некоторого другого допущения, которое, подобно геострофическому приближению, не может быть точно удовлетворено, хотя оно и не противоречит закону сохранения энергии.

Более серьезным недостатком линеаризованных уравнений является пренебрежение нелинейными эффектами взаимодей­ствия поля вихрей с основным потоком. Это взаимодействие будет изменять энергию основного потока и, следовательно, сум­марную интенсивность. Вследствие пренебрежения нелинейными эффектами, используя линеаризованные уравнения, нельзя ничего узнать о колебаниях скорости основного потока и по­этому нельзя, в конечном счете объяснить интенсивность вихрей, так как растущие или затухающие возмущения будут про­должать расти или затухать, пока не изменится основной поток.

Поток, описываемый частным решением линеаризованных уравнений, может быть похожим на течение, реализующееся при общей циркуляции атмосферы, если основной поток нейтра­лен. При этом даже энергетические характеристики вихрей могут оказаться качественно правильными.

Основной поток сохраняется в данном случае лишь потому, что отброшены все источники и стоки.

Можно признать, что существует нелинейное влияние вих­рей на основной поток, и предположить, что имеющийся при­ток тепла вполне достаточен, чтобы уничтожить это влияние. Однако полная система уравнений не будет тогда линейной даже в том случае, если уравнение, описывающее вихри, ли­нейно. Таким образом, с помощью системы линейных уравне­ний нельзя получить исчерпывающее объяснение процессов об­щей циркуляции. Самое большее, с помощью подобных уравнений можно объяснить лишь некоторые особенности циркуляции, считая заданными некоторые другие особенности. Для решения полной задачи линеаризация недопустима.

Используя линеаризованные уравнения, описывающие по­стоянный основной поток, нельзя исследовать устойчивость по отношению к развивающимся возмущениям системы, состоящей из основного потока и наложенных на него возмущений. При этом может иметь место неустойчивость изменяющегося во времени потока. По-видимому, подобная неустойчивость обусловли­вает возникновение колебаний, наблюдающихся в некоторых экспериментах в лаборатории, а также — появление в атмосфере апериодического течения вместо равномерно бегущих волн.

Имеется, по крайней мере, две области, в которых теория устойчивости может углубить наше понимание глобальной цир­куляции.

Еще в 1937 г. В. Бьеркнесс постулировал, что поток Хэдли, возникающий при отсутствии возмущений, неустойчив. Иди (1954) вновь подчеркнул это обстоятельство и характеризовал эту неустойчивость как бароклинную. Упрощенное аналитическое решение [например, Чарни (1959)] для циркуляции Хэдли и чи­сленное решение, подобное полученному Филлипсом (1956), под­твердили это предположение.

Для реальной атмосферы циркуляция типа Хэдли в чистом виде или с поправкой на географические неоднородности зем­ной поверхности еще не определена, и ее устойчивость не удается исследовать.

Таким образом, наличие возмущений, по крайней мере для идеализированной атмосферы, объясняется тем, что любая цир­куляция, лишенная возмущений, неустойчива. Это не означает, что возмущения, наблюдаемые в атмосфере, возникли как малые возмущения на фоне некоторого почти симметричного потока, или что когда-либо существовал пойти симметричный режим циркуляции. Наоборот, если по какой-то причине возмущения временно исчезли (или почти исчезли), оставшееся течение, близкое к симметричному, в своем развитии приближалось бы к режиму циркуляции типа Хэдли, который является неустой­чивым, и поэтому возмущения в таком течении должны раз­виться снова.

Другой задачей является исследование устойчивости суще­ствующего зонально осредненного потока (а не потока, который преобладал бы при отсутствии возмущений). Оказывается, этот поток почти всегда бароклинно неустойчив, но обычно баротропно устойчив. Более того, наиболее быстро растущие колеба­ния имеют размеры и структуру, до некоторой степени подоб­ные наблюдающимся в атмосферных вихрях, а также сходный с ними энергетический цикл. Предположив, что полученные при решении линейных уравнений колебания, имеющие наиболее быстрорастущие амплитуды, достигают, в конце концов, больших значений амплитуды и сохраняют эти значения, можно количе­ственно представить характерные размеры и форму вихрей, а также наблюдаемый энергетический цикл через характери­стики основного потока.

Реальные возмущения не увеличиваются неограниченно, и может показаться, что типичный основной поток должен быть скорее нейтральным, чем неустойчивым, так как интенсивность возмущений поддерживается в определенных рамках. Однако при таком рассуждении предполагается, что большие возмуще­ния ведут себя так же, как и малые.

Как известно, циклоны проходят определенные стадии раз­вития (жизненный цикл). За то время, пока они достигают стадии окклюзии, форма их значительно изменяется. Подобное изменение формы и прекращение роста не описывается линеари­зованными уравнениями. Возможно, эти явления частично могут быть следствием изменений скорости основного потока. В этом случае они могли бы описываться линейными уравнениями с предварительно определенными переменными во времени коэф­фициентами. Однако, по-видимому, окклюдирование циклона отчасти происходит и из-за искажающих нелинейных эффектов в самом поле возмущений. Следовательно, окклюзия может иметь место и тогда, когда основной поток еще неустойчив (а не нейтрален).

 

Уравнения для основного потока

 

Недостатком теоретических исследований, основанных на ис­пользовании линеаризованных уравнений, является прежде всего отсутствие объяснения причин возникновения основного потока и его изменений. Рост возмущений приводит к убыванию энер­гии основного потока и обычно делает его менее неустойчивым. В конце концов, основной поток становится нейтральным, и воз­мущения перестают расти, или, как уже отмечалось, они могут перестать усиливаться, хотя основной поток и остается неустой­чивым. Таким образом, возмущения действуют как регулятор, поддерживающий основной поток в состоянии, близком к ней­тральной устойчивости. Однако существует много разновидно­стей нейтральных основных потоков. Присущий атмосфере поток не будет просто несколько ослабленным потоком Хэдли. Следо­вательно, исследование устойчивости позволяет наложить неко­торые ограничения на основной поток, но не дает возможности определять его.

Тем не менее, если известны возмущения, в принципе можно определить основной поток, используя, однако, не линеаризиро­ванные, а зонально осредненные уравнения. Эти уравнения идентичны уравнениям для потока Хэдли, за исключением эффектов конвергенции вихревого переноса момента количества движения и тепла, проявляющихся как дополнительная меха­ническая и термическая вынуждающие функции. Если перенос тепла и момента количества движения определен заранее, мето­дика решения обсуждаемых уравнений подобна методике, при­меняемой для определения циркуляции Хэдли, и имеет при­мерно ту же степень трудности.

Само по себе решение этих уравнений не объяснит основ­ного потока, так как предварительно определенный перенос момента количества движения и тепла зависит от характера воз­мущений, которые в свою очередь подвержены влиянию основ­ного потока. Следовательно, получение такого решения не яви­лось бы очень важным вкладом в теорию. В то же время поиски решения затруднительны и не следует удивляться, что оно еще не найдено. Тем не менее в сочетании с соответствующим реше­нием линеаризированных уравнений решение уравнений, описы­вающих основной поток, может служить самой лучшей аппрок­симацией аналитического решения полной системы уравнений, которой только можно достигнуть.

Как уже отмечалось, полагая, что главные колебания, бы­стро усиливающиеся, пока их амплитуды малы, достигнув неко­торого определенного значения амплитуды, затем сохраняют это значение, можно получить решение линеаризированных урав­нений, описывающее вихри, с неизвестными амплитудами, но известной формы, при заданном основном потоке. Аналогично мы видели, что с помощью зонально осредненных уравнений, если перенос момента количества движения и тепла за счет вихрей заранее задан, в принципе может быть получено реше­ние для основного потока. Объединив оба типа уравнений в единую систему, можно было бы получить решение, описываю­щее зональный поток и вихри одновременно при одном лишь условии, что амплитуда вихрей определена предварительно. Эта амплитуда могла бы быть найдена из условия, что основной поток нейтрален, т. е. наличие вихрей не будет приводить к сум­марному возрастанию или убыванию энергии.

В действительности новая система уравнений не слишком сильно отличается от первоначальной системы основных уравне­ний, на которой она основана, и может рассматриваться просто как другая аппроксимация. Эта система упрощена до такой сте­пени, что можно было пренебречь нелинейным воздействием между вихрями. Однако это — замкнутая система нелинейных уравнений. Линеаризированные уравнения, описывающие вихри, содержатся в этой системе, но они уже не являются линейными, так как коэффициенты, зависящие от характеристик основного потока, оказываются теперь искомыми функциями. Если наша цель — воспроизвести картину циркуляции, то решение обсуж­даемой системы уравнений не обладает никакими преимуще­ствами по сравнению с численным решением исходной системы уравнений. Однако сам процесс решения приближенных уравне­ний может привести к некоторому углублению понимания про­цессов общей циркуляции, проникновению в их сущность, которые не обеспечиваются при обычных численных экспери­ментах. Такое решение показало бы, что вихри поддерживаются за счет основного потока и что регулирование вихревого пере- носа тепла и момента количества движения осуществляется также основным потоком. Этот поток бароклинно неустойчив или нейтрален, но баротропно устойчив. Дополнительной особен­ностью является то, что ограничение отдельных колебаний бу­дет автоматически приводить к устойчивому волновому ре­шению.

Приближенный метод решения подобной системы уравнений был применен Чарни (1959) при построении модели общей цир­куляции атмосферы. В этом исследовании Чарни исходил из упрощенной системы уравнений, по существу идентичной той, которая была использована Филлипсом (1956) в его первона­чальном численном эксперименте. Была применена двухслойная модель в квазигеострофическом приближении на бета-плоскости. Вначале было получено аналитическое решение, описывающее циркуляцию Хэдли. Это можно было сделать вследствие про­стоты уравнений. При этом было обнаружено, что такая цирку­ляция должна быть неустойчивой, и были определены колеба­ния с наиболее быстро растущими амплитудами. Затем Чарни постулировал, что развивающиеся колебания будут сохранять свою форму, хотя они изменяют зональный поток, и получил решение, описывающее новый зональный поток через неизвест­ные амплитуды вихрей, включив в рассмотрение в качестве ме­ханической и тепловой вынуждающих функций перенос момента количества движения и энергии за счет вихрей. Наконец, он определил амплитуду возмущения, потребовав, чтобы доступная потенциальная энергия, получаемая вихрями, как за счет зо­нального потока, так и за счет притока тепла извне балансиро­валась убылью кинетической энергии, теряемой возмущениями в результате диссипации за счет трения и передаваемой ими зо­нальному потоку. Таким образом, был обеспечен некоторый сбалансированный энергетический цикл.

Некоторые черты картины общей циркуляции, полученной Чарни, реалистичны. Приземные восточные ветры, имеющие место в низких и высоких широтах, были разделены зоной за­падных ветров. Было найдено также правильное направление передачи энергии в энергетическом цикле. Более важно с методической точки зрения, что результаты Чарни и Филлипса ока­зались очень близкими, так как Чарни пытался приближенно решить почти ту же систему уравнений, которую решил Филлипс.

По-видимому, можно уточнить решение новой системы урав­нений с помощью метода последовательных приближений, в ко­тором на нескольких первых шагах применяется методика, ис­пользованная Чарни. Второе приближение для поля вихрей, вы­раженное через неизвестную амплитуду, получается с помощью выделения наиболее быстро растущих колебаний, соответствую­щих новому зональному потоку. Перенос момента количества движения и энергии, осуществляемый этими новыми вихрями, используется далее при получении следующего приближения для основного потока, и снова амплитуда вихрей определяется из условия сбалансированности энергетического цикла. Эти опе­рации повторяются до тех пор, пока не будет достигнута сходи­мость. Нельзя, конечно, быть заранее уверенным, что подобный метод решения обеспечивает сходимость, но в виду сходства в общих чертах аппроксимации Чарни и решения Филлипса, характеризующего последнее приближение, представляется ве­роятным, что этот метод будет сходиться довольно быстро.

Остается выяснить, можно ли будет, развивая далее этот метод, позволяющий описывать колебания и, возможно, значи­тельно более нерегулярные образования, получить более реали­стическую картину общей циркуляции, и в то же время глубже понять, каким образом она осуществляется.

 

Глава IX

НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ

 

Осуществление обширных численных экспериментов, в ко­торых состояние атмосферы описывается многими тысячами чисел, вплотную приближают нас к возможности теоретически до­казать, какую именно схему циркуляции следует предпочесть остальным возможным схемам. Это доказательство никоим об­разом нельзя считать исчерпывающим. Некоторым характери­стикам, в действительности зависящим от процессов циркуляции, таким, например, как пространственное распределение погло­щенной водяным паром радиации, приписывают обычно харак­терные для них значения, известные из наблюдений. Другие особенности циркуляции, такие, как тропические ураганы, до сих пор не были воспроизведены. Более того, поскольку даже самые реалистичные численные решения являются частными реше­ниями, нельзя полностью исключить возможности наличия других частных решений с совершенно отличными свойствами. Подоб­ные недостатки были очень характерны для всех теоретиче­ских исследований процессов общей циркуляции. Однако соз­дается впечатление, что путем численных экспериментов, в конце концов, можно будет осуществить моделирование атмосферной циркуляции с любой желаемой степенью точности.

Чтобы показать, что атмосферные процессы должны проте­кать именно так, как это происходит в действительности, теоре­тические исследования, использующие классические математи­ческие методы, пока несравненно менее эффективны, чем числен­ные эксперименты. Все же определенные успехи были достигнуты в упоминавшемся исследовании Чарни (1959). Чарни пред­положил, что полностью развитые возмущения, наложенные на основной зональный поток, будут иметь ту же форму, что и наиболее быстро растущие малые возмущения, наложенные на поток Хэдли. Ему удалось получить лишь самые основные особенности общей циркуляции атмосферы. Тем не менее, это исследование помогает понять, почему атмосферные процессы протекают именно так, а не иначе, что было бы невозможно сделать, анализируя миллионы затабулированных чисел, пред­ставляющих результаты численного эксперимента.

Иногда простое качественное описание позволяет глубже проникнуть в физическую сущность явления. В этой заключи­тельной главе в общих чертах будет дано почти исчерпывающее качественное объяснение некоторых главных особенностей цир­куляции в том виде, в каком, по нашему мнению, его можно сформулировать в настоящее время. Мы не будем пытаться представить строгое доказательство и не всегда сможем объяс­нить, почему атмосферные процессы должны протекать именно так, как это в действительности имеет место, а не как-то иначе. Однако мы попытаемся вскрыть истинные причины существова­ния наблюдающейся циркуляции в той мере, в какой они нам известны. В заключение приведем лишь более или менее удов­летворительное качественное объяснение некоторых аспектов общей циркуляции.

Объяснение циркуляции атмосферы можно начать с рассмот­рения вынуждающей силы. Вероятно, нет сомнений в том, что ею является солнечная радиация. Она более интенсивна в низ­ких широтах, чем в высоких. Вследствие этого возникает воз­можность производства доступной потенциальной энергии. Сол­нечная радиация или непосредственно нагревает атмосферу, или же нагревает подстилающую поверхность, которая в свою очередь передает энергию в атмосферу.

Из этого следует, что в атмосфере обязательно должна иметь место циркуляция. В самом деле, при отсутствии движения на каждой широте было бы достигнуто состояние термического равновесия, при котором количества отдаваемого и получаемого тепла были бы равны. Для того чтобы потери тепла в низких широтах были больше, чем в высоких, области низких широт должны быть более нагретыми. Но наличие меридионального градиента температуры несовместимо с состоянием покоя, так как (вследствие гидростатического равновесия) возникнут меридио­нальные градиенты давления, и будут развиваться горизонталь­ные движения. Если же гидростатическое равновесие не имеет места, то будут развиваться вертикальные движения.

Необходимая циркуляция должна при этом переносить энер­гию от низких широт к высоким и тем самым уменьшать гра­диент температуры от экватора к полюсу. Однако она не может уничтожить этот градиент полностью, так как за счет трения по­стоянно происходит диссипация кинетической энергии циркуля­ции. Кинетическая энергия должна создаваться за счет доступ­ной потенциальной энергии, что ведет к необходимости генера­ции доступной потенциальной энергии, а это может осуще­ствляться лишь при нагревании более теплых и выхолаживании более холодных районов. Если, несмотря на наличие циркуляции на каждой широте сохранялось бы состояние термического рав­новесия, то не было бы никакого локального нагрева или вы­холаживания. Если же циркуляция вообще уничтожила бы тем­пературные контрасты, не существовало бы ни более теплых, ни более холодных районов, которые могли бы нагреваться и охлаждаться. Если бы циркуляция переносила энергию к экватору, и тем самым поддерживался бы больший градиент темпе­ратуры, чем тот, который имел бы место в отсутствие данного явления, тропические районы должны были бы выхолаживаться, а полярные нагреваться за счет радиации, и доступная потен­циальная энергия при этом уменьшилась бы. Аналогично, если бы циркуляция переносила к полюсу количество энергии, достаточ­ное чтобы создать обратный по направлению градиент темпе­ратуры, охлаждались бы более теплые полярные районы и на­гревались за счет радиации более холодные тропические; доступ­ная потенциальная энергия при этом также уменьшилась бы.

Приведенные аргументы далеко не являются строгими. Прежде всего, если атмосфера статически неустойчива, доступ­ная потенциальная энергия может генерироваться и без наличия каких-либо горизонтальных контрастов притока тепла. Не вда­ваясь в детали, отметим, что за счет влияния радиации большая часть атмосферы, очевидно, стремится перейти в состояние устой­чивой стратификации; там же где стратификация неустойчива, развиваются мелкомасштабные конвективные движения, в ко­нечном счете, приводящие к стабилизации стратификации. Однако, даже полагая атмосферу статически устойчивой, мы еще не учитываем достаточно детально вертикальную структуру атмосферы. В нижней стратосфере, например, самые холодные широты — экваториальные и приток тепла ведет здесь к убыва­нию доступной потенциальной энергии. Наши основные заклю­чения можно применить лишь к некоторым вертикально осредненным характеристикам, но ни уходящая радиация, ни генерация доступной потенциальной энергии не зависят просто от осредненной по вертикали температуры. Наконец, мы не учитывали генерацию доступной потенциальной энергии за счет меридио­нальных градиентов температуры и притоков тепла, которые могут возникнуть из-за различий между материками и океанами. Тем не менее, можно думать, что наше объяснение, не будучи строгим, по существу правильно.

Если существует разность температур между экватором и полюсом, то должен существовать на верхних уровнях гра­диент давления, направленный к полюсу, или на нижних уров­нях градиент давления, направленный к экватору, или и тот и другой одновременно. При отсутствии этих градиентов для со­блюдения гидростатического равновесия потребовались бы слиш­ком малые вертикальные барические градиенты в высоких ши­ротах или слишком большие градиенты в низких. Тогда должно было бы существовать результирующее ускорение, направлен­ное вниз в высоких или вверх в низких широтах. Полное объяс­нение гидростатического равновесия более сложно и требует рассмотрения характерных масштабов движений. Здесь мы кос­немся лишь равновесия в среднем, осуществляющегося в обшир­ной области атмосферы. Тем не менее, мы должны вернуться к количественному рассмотрению. Наличием направленного вверх результирующего ускорения в обширной области, лежащей в низких широтах, обусловлен тот факт, что воздух, покидающий эту область, движется вверх быстрее, чем воздух, поступающий в нее. В данном случае скорости, которые имели бы место на границе рассматриваемой области при отсутствии надлежа­щих градиентов давления, превосходили бы любую скорость, которая могла бы сохраняться при действии сил трения, если бы даже за счет притока солнечной радиации с максимальной воз­можной эффективностью создавалась доступная потенциальная энергия.

Вблизи земной поверхности в целом не могут преобладать ни восточные, ни западные ветры. Это следует из того, что не может иметь места результирующий долгопериодный пере­нос момента количества движения от Земли к атмосфере, а, сле­довательно, и результирующий вращательный момент поверх­ности. Либо должно наблюдаться чередование преобладающих западных и восточных ветров на различных широтах, либо вообще не должно быть никакого систематического широтного распределения восточных и западных приземных ветров.

Естественно заключить, что основные западные ветры должны преобладать наверху. При отсутствии их в случае геострофиче­ского равновесия потребовалось бы, чтобы имелся слишком большой градиент давления, направленный к полюсу на верхних уровнях, или — слишком большой градиент давления, направ­ленный к экватору у поверхности Земли, или и тот, и другой сразу. Следовательно, либо на верхних уровнях будет суще­ствовать некоторое направленное к полюсу результирующее ус­корение, либо — на нижних уровнях некоторое результирую­щее ускорение, направленное к экватору. Так же, как и полное объяснение гидростатического равновесия, исчерпывающее истол­кование геострофического равновесия в атмосфере является более сложной задачей, но мы снова коснемся лишь равновесия в среднем, имеющего место на большой территории. Однако в этом случае следует учитывать возможность существования агеострофического потока, даже если ограничиться рассмотре­нием только энергетики атмосферы.

В высшей степени негеострофическая циркуляция, в которой давление уменьшается от полюса к экватору на нижних и от экватора к полюсу на верхних уровнях, при отсутствии постоян­ных по направлению восточных или западных ветров на каком-либо уровне, очевидно, возможна в том случае, когда имеется нисходящий поток направленного к северу количества движения, проходящий через все уровни и достигающий максимума на средних уровнях. Этот нисходящий поток может осуще­ствляться «мезомасштабными» системами, имеющими горизон­тальные размеры порядка 100 км, в которых движущийся к полюсу воздух опускается, а движущийся к экватору — подни­мается. Рассмотрим геострофическое равновесие более подробно, предположив пока, что не существует никаких причин для под­держания мезомасштабной циркуляции, за счет которой коли­чество движения переносилось бы в нижние уровни. В этом слу­чае на верхних уровнях должны преобладать квазигеострофические западные ветры.

Выше были рассмотрены особенности циркуляции, которые легко вывести из основных законов, даже не прибегая к стро­гим рассуждениям. Сюда относится перенос энергии от эква­тора к полюсу, необходимый для того, чтобы поддерживалось значение температурного градиента, меньшее значения, харак­терного для условий теплового равновесия. Это будет способ­ствовать производству доступной потенциальной энергии за счет притока тепла. В то же время не было сделано никаких выводов относительно переноса момента количества движения по направ­лению к полюсу и поэтому не было дано объяснения, почему на тех или иных широтах преобладают восточные или западные приземные ветры.

С рассмотренными особенностями циркуляции совместима схема зонально симметричной циркуляции Хэдли, возможно, с учетом изменений, внесенных Томсоном и Феррелом. В такой циркуляции на верхних уровнях должен иметь место основной поток к полюсу и на нижних уровнях поток к экватору. Это будет приводить к требующемуся переносу энергии по направлению к полюсу, так как тепло и потенциальная энергия растут с вы­сотой в устойчиво стратифицированной атмосфере. Очевидно, отсутствуют мезомасштабные вихри, которые в более общем случае могли бы осуществлять нисходящий перенос количества движения, направленного к северу, чтобы на верхних уровнях имели место западные ветры. Следовательно, прямая меридио­нальная ячейка также приводит к переносу момента количества движения от экватора к полюсу; приземные ветры в низких ши­ротах при этом должны быть восточными, а в высоких — запад­ными.

Хотя циркуляция Хэдли не противоречит основным физиче­ским законам, она не реализуется в действительности вслед­ствие ее бароклинной неустойчивости. Эта неустойчивость обус­ловлена в основном большим значением параметра Кориолиса, большим вертикальным сдвигом ветра, сопровождающим боль­шой горизонтальный градиент температуры, и, следовательно, малой вертикальной устойчивостью. В схеме циркуляции Хэдли такие условия имеют место в средних и высоких широтах. Воз­можно, они не обнаруживаются в тропиках, где меньше значе­ния параметра Кориолиса и широтного градиента температуры, но процессы на одних широтах не протекают независимо от про­цессов на других широтах, и в целом циркуляция Хэдли неустойчива. Поэтому в действительности наблюдается циркуляция, для которой характерны вихри, зависящие от долготы.

Для выяснения того, будет ли бароклинно неустойчивым тот или иной частный случай циркуляции Хэдли, требуется количе­ственный анализ. То обстоятельство, что в земной атмосфере циркуляция Хэдли неустойчива, не исключает возможности ее устойчивости в атмосферах более медленно вращающихся планет.

Вихри должны терять кинетическую энергию в результате диссипации за счет трения. Если предположить, что более теп­лые части вихрей будут излучать в пространство большее коли­чество энергии, чем холодные, то это значит, что вихри должны терять доступную потенциальную энергию при нагревании. По­этому они должны черпать или доступную потенциальную, или кинетическую энергию из зонально осредненного потока. В пер­вом случае это должно приводить к меридиональному переносу тепла, а во втором — к меридиональному переносу момента ко­личества движения. В результате в любом случае зонально осредненный поток должен отличаться от циркуляции Хэдли, ко­торая преобладала бы при отсутствии вихрей.

Остальные характерные особенности циркуляции, включая наличие гидростатического и геострофического равновесия и имеющееся распределение приземных восточных и западных вет­ров, зависят от размеров и структуры вихрей. Рассмотрим вна­чале качественные особенности квазигидростатического равно­весия, квазигоризонтального движения, квазигеострофического равновесия и квазисоленоидального движения. Мелкомасштаб­ные движения, конечно, не являются геострофическими, а движе­ния с очень малыми характерными размерами не являются даже гидростатическими. Представляет интерес объяснить, почему большая часть энергии атмосферы приходится на движения таких масштабов, для которых характерно квазигеострофическое и квазистатическое равновесие.

Иногда говорят, что поток должен быть квазигоризонталь­ным и квазигидростатическим потому, что эффективная верти­кальная протяженность атмосферы очень мала по сравнению с ее горизонтальными размерами. Это доказательство не кажется убедительным. Нет ничего физически невозможного в существо­вании тонкого слоя жидкости, в котором основным движением, или одним из основных, были бы вертикально распространяю­щиеся звуковые волны, для которых, несомненно, гидростати­ческое равновесие не справедливо. Аналогично даже при квази­гидростатических условиях движение в таком слое могло бы ограничиваться гравитационными волнами, которые агеострофичны. Подобные движения играют относительно малую роль в атмосфере, так как отсутствуют процессы, необходимые для их возникновения и поддержания.

Процесс адаптации первоначально несбалансированного по­тока к состоянию геострофического равновесия был изучен Рос­сби (1938) и более детально Обуховым (1949). Однако адапта­ция, рассмотренная этими авторами, носит локальный характер и возникает за счет того, что повсюду существует геострофиче­ское равновесие. Циркуляция в целом не становится ни более, ни менее агеострофичной в течение процесса адаптации.

Рассматриваемая проблема может быть прояснена путем анализа масштабов движений, предложенного Чарни (1948). Полагая, что движения обладают временным масштабом, а также масштабами горизонтальной скорости, протяженности по гори­зонтали и вертикали, типичными для погодообразующих систем в атмосфере, и оценив порядок величины различных членов в исходных уравнениях, Чарни нашел, что эти движения должны быть очень близкими к гидростатическим, горизонтальным, гео­строфическим и бездивергентным. Таким образом, задача объяс­нения перечисленных особенностей циркуляции сводится к ис­толкованию характерных масштабов атмосферных движений. Последнее лишь немногим меньше, чем полная задача общей циркуляции, где требуется объяснение формы крупномасштаб­ных вихрей, а также их размеров и амплитуды.

Таким образом, очевидно, что имеющееся гидростатическое и геострофическое равновесие, как и циркуляция в целом, не могут быть объяснены без учета термического воздействия. Основная компонента термического воздействия — градиент при­тока тепла, направленный от экватора к полюсу — является крупномасштабной величиной с бесконечным периодом. Следо­вательно, для возникающей непосредственно за счет этого цир­куляции Хэдли также будут характерны крупномасштабные движения с бесконечными периодами. Мы уже отмечали, что циркуляция Хэдли близка к состоянию геострофического и гидро­статического равновесия. Иногда она считается агеострофической, поскольку перенос энергии и импульса осуществляется полностью за счет мелкомасштабных агеострофических меридио­нальных движений. Тем не менее, зональный поток, содержащий большую часть кинетической энергии, приближенно геострофичен.

В реальной атмосфере сезонное изменение притока тепла по­рождает вторую крупномасштабную долгопериодную компоненту воздействия. Суточные изменения приводят к возникновению новой крупномасштабной составляющей, имеющей короткий пе­риод. С ней связаны хорошо известные атмосферные термические приливы, которые, бесспорно, агеострофичны, но содержат лишь малую часть полной энергии и, оказывается, вообще не взаимо­действуют заметным образом с остальными движениями.

Несколько более мелкомасштабные движения в реальной ат­мосфере возникают за счет различия термических свойств материков и океанов или более мелких географических особенностей. Однако большинство мелкомасштабных движений, как в реаль­ной, так и в идеализированной атмосфере являются след­ствием нелинейного взаимодействия крупномасштабных движе­ний. К мелкомасштабным движениям относятся также и те, ко­торые возникают в результате неустойчивости.

Неустойчивость, независимо от того, насколько легко она может быть исследована при помощи линеаризированных урав­нений, является нелинейным процессом. В частности, она по­является при нелинейном взаимодействии двух налагающихся одно на другое полей скорости, при котором возникает еще не­которое третье поле, и когда амплитуда первого из взаимодей­ствующих полей существенно превышает амплитуду второго. Вследствие этого амплитуда первого поля остается почти неиз­менной и может рассматриваться как постоянная величина, вхо­дящая в уравнения, описывающие второе и третье поля.

Обычные исследования бароклинной неустойчивости зо­нально симметричного движения, подобного движению, встре­чающемуся в атмосфере, обнаруживают, что наиболее быстро растущие возмущения имеют такие пространственные и времен­ные масштабы, и по своим свойствам, согласно анализу масшта­бов, они близки к гидростатическим и геострофическим. Если постулировать, что полностью развитые вихри имеют те же мас­штабы, что и наиболее быстро растущие вихри с малыми ампли­тудами, наложенные на тот же основной поток, то получается вполне удовлетворительное объяснение существования гидро­статического и геострофического равновесия. Здесь необходимо сделать некоторое предостережение. Исследования, показываю­щие, что амплитуды гидростатических и геострофических дви­жений усиливаются быстрее всего, основаны большей частью на уравнениях, в которых введены гидростатическое и геостро­фическое приближения, и поэтому при решении таких уравнений нельзя обнаружить усиления негидростатических и агеострофи­ческих видов движения. В настоящее время можно лишь пред­полагать, что некоторые другие нелинейные процессы — будь то, взаимодействие двух видов вихревого движения, каждое из ко­торых возникает в результате неустойчивости зонального потока и одного из вихревых движений по отношению к другим колеба­тельным движениям, — приведут к возникновению новых движе­ний, также имеющих необходимые (для гидростатичности и гео­строфичности) пространственные и временные масштабы, или движений с такой малой амплитудой, что они не будут играть роли для процессов циркуляции.

Другие особенности циркуляции зависят от формы вихрей, а также от их размеров. Таким образом, направленный к по­люсу перенос момента количества движения обычно осущест­вляется системой ложбин и гребней, которые смещаются к востоку при увеличении широты, а направленный к полюсу перенос тепла — ложбинами и гребнями, которые смещаются к западу при увеличении высоты. Среди проблем теории общей циркуляции, для которых в настоящее время нет удовлетвори­тельного качественного истолкования, наиболее важной мы счи­таем объяснение механизма переноса момента количества движе­ния посредством вихрей. Конвергенция потока момента количе­ства движения оказывает влияние (в качестве регулятора) на широтное распределение западных и восточных приземных ветров. Кроме того, вследствие этой конвергенции на верхних уровнях может нарушаться геострофическое равновесие, что ведет к образованию прямых меридиональных ячеек в низких широтах и обратных ячеек в средних широтах, которые стремятся вос­становить равновесие. Таким образом, ячейки в тропиках ока­зались значительно интенсивнее, чем в циркуляции Хэдли. Эти прямые ячейки переносят к экватору большое количество влаги, что приводит к сильным ливневым осадкам в тропиках. Прямые ячейки уносят от экватора тепло и потенциальную энергию.

Первые попытки истолковать вихревой перенос момента ко­личества движения основывались на аналогии с классической теорией турбулентности. Предполагалось, что вихри переносят момент количества движения по направлению к широтам с более низкой угловой скоростью, так что более сильные западные ветры увлекают за собой воздух в области более слабых запад­ных ветров. Однако нет никаких физических оснований для при­менения классической теории турбулентности к вихрям, имею­щим размеры циклонов. В самом деле, предположение, что все вихри переносят момент количества движения в соответствии с законами диффузии, эквивалентно допущению, что все зо­нально симметричные течения, отличные от вращения атмосферы как твердого тела, баротропно неустойчивы. Более того, класси­ческая теория турбулентности привела бы к некорректным ре­зультатам, так как в большей части тропиков и субтропиков момент количества движения переносится по направлению к ши­ротам с более сильными западными ветрами.

Исследования бароклинной устойчивости потоков при исполь­зовании бета-плоскости [см., например, Педлоски (1964)] по­зволили получить правильное направление переноса момента количества движения в низких широтах. При этом было отме­чено, что имеется перенос, противоположный по направлению градиенту на обращенной к полюсу стороне области максималь­ных западных ветров. В действительности такого переноса не на­блюдается. Возможно, последний результат явился следствием недостатков, связанных с использованием бета-плоскости, по­скольку в численных экспериментах, выполненных для бета-пло­скости [таких, как эксперимент Филлипса (1956)], получены ана­логичные результаты. Однако результаты исследований, основанных на теории малых возмущений, если не были введены какие-то дополнительные допущения, не применимы к возмуще­ниям с конечной амплитудой.

Если предположить, что вихри с конечной амплитудой, нало­женные на зонально осредненный поток, имеют такую же форму, как и наиболее быстро растущие из возникающих возмущений, наложенные на этот же поток, то возникнут вихри, имеющие более простую и регулярную форму, чем вихри, наблюдаемые в действительности. С другой стороны, согласно классической теории турбулентности должны возникнуть вихри, более неупо­рядоченные по сравнению с наблюдаемыми. В любом случае допускалось бы, что вихрям свойственна некоторая равновесная форма, определяемая зонально осредненным потоком.

Как нам кажется, есть основание полагать, что свойства вихрей нельзя выразить через свойства исследуемого зонального потока. Предположим, что существует некая равновесная кон­фигурация, которую, в конце концов, имели бы вихри, если бы зональный поток не изменялся. Время, необходимое для того, чтобы вихри циклонического масштаба достигли приближенно состояния равновесия, может составить один-два дня. Но за это время зональный поток значительно изменится за счет переноса вихрями момента количества движения и энергии. Новый зо­нальный поток обусловит новую равновесную конфигурацию, и вихри, стремящиеся обладать этой новой равновесной конфи­гурацией, будут далее изменять зональный поток и т. д. Таким образом, равновесие никогда не будет достигнуто. В этом рас­смотрении не отрицается возможность того, что влияние мелко­масштабных вихрей может быть достаточно хорошо представ­лено через характеристики крупномасштабного потока, поскольку мелкомасштабные вихри могут достигать равновесной конфигу­рации в течение часа или менее, в то время как крупномасштаб­ный поток может оставаться достаточно устойчивым в течение значительно большего промежутка времени.

Несмотря на эти замечания, предположение, что для вихрей с конечной амплитудой характерна та же основная форма, что и для быстро растущих по амплитуде бесконечно малых вихрей, приводит к ряду корректных выводов. Так, тепло переносится по направлению к более холодным широтам, так что вихри чер­пают доступную потенциальную энергию из зонального потока. Момент количества движения переносится главным образом по направлению к широтам с более высокой угловой скоростью, так что вихри отдают кинетическую энергию зональному потоку. Поэтому следует заметить, что любое объяснение, основанное на теории бароклинной устойчивости, значительно отличалось бы от качественного объяснения, предложенного в начале этой главы. Математическое исследование, необходимое для нахожде­ния формы наиболее быстро усиливающихся возмущений, когда зональный поток изменяется и по горизонтали и по вертикали, крайне сложно.

При этом может оказаться, что исследователь, решив эту за­дачу, в то же время мало чего достигнет в понимании физики процесса, т. е. в объяснении того, почему вихри имеют ту, а не иную форму.

Если вихри должны переносить момент количества движе­ния к широтам с максимальными западными ветрами, что, оче­видно, получается при использовании бета-плоскости, следует допустить, что цепь ложбин и гребней будет несколько сходна по форме с профилем западного ветра, причем область их мак­симального смещения к востоку, совпадает с положением мак­симума западных ветров. Поэтому цепь из ложбин и гребней действует подобно эластичному поясу, который растягивается зональным потоком, но вследствие эластичности восстанавливает свою форму. Пока мы не можем дать простого объяснения, почему ложбины и гребни должны вести себя именно таким об­разом. Объяснение их типичной формы представляет столь же сложную проблему.

Конечно, можно было бы предложить простые качественные рассуждения, объясняющие некоторые основные из оставшихся нерассмотренными особенностей циркуляции, такие, как наличие в стратосфере направленного к экватору градиента температуры или энергетического цикла, обратного тропосферному. Однако данное нами объяснение общей циркуляции вообще настолько неполное, что здесь не имеет смысла касаться подобных проблем.

В заключение этой книги следует высказать надежду, что ис­черпывающее качественное объяснение основных особенностей общей циркуляции будет в конце концов получено. Представ­ляется, в частности, возможным существование некоторой замкнутой системы уравнений и упорядоченных неравенств, с помощью которой может быть строго показано, что вихревой перенос момента количества движения по направлению к полюсу положителен в средних широтах. Далее представляется воз­можным, что этот строгий качественный вывод можно будет затем развить в физически ясную количественную теорию. Однако при современном уровне знаний эта нужная система пока еще не найдена.

 

---

Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 251; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!