Внеаудиторная самостоятельная работа №07

Тема: 1.7. Сложное движение твердого тела

Задание: Выполнение индивидуальных домашних заданий по определению скорости любой точки плоского механизма

Теоретический материал

Кинематика сложного движения точки

Если же точка движется по заданному закону относительно тела, а тело, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета, то движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется сложным или составным: оно складывается из движения точки по телу и движения вместе с этим телом.

Например, мяч, катящийся по палубе плывущего вдоль берега теплохода, совершает относительно берега сложное движение, которое состоит из качения по палубе и движения вместе с палубой (теплоходом). Сложное движение относительно платформы совершает человек, идущий внутри вагона движущегося поезда. Шарик, вылетающий из вращающейся трубки, совершает сложное движение относительно неподвижной стойки. (Под стойкой понимается некоторое неподвижное основание)

Рассмотрим движение точки М (рис.1 ) по траектории 1–1 внутри тела А, которое, в свою очередь, движется относительно неподвижного тела В (стойки). Движение точки М по отношению к телу В есть сложное движение.

Система координатных осей О₁х₁у₁z₁, связанная с движущимся телом А, называется подвижной системой

Рис.1

Система осей Охуz, связанная с неподвижным телом В (стойкой), называется неподвижной системой отсчета.

Движение точки M относительно тела A (или относительно О₁х₁у₁z₁) по траектории 1–1 называется относительным движением точки М. Скорость и ускорение точки М в этом движении есть относительная скорость и относительное ускорение точки М, их обозначают V_r и a_r соответственно.

Движение тела А (или системы О₁х₁у₁z₁) относительно стойки (относительно Охуz) называется переносным движением. Переносной скоростью (ускорением) точки М называется скорость (ускорение) точки тела А, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка М. Поясним это определение.

В каждый момент времени точка М совпадает с некоторой точкой М' тела А (рис. 2). Скорость (ускорение) точки М' и есть переносная скорость (ускорение) точки М.

Переносную скорость и переносное ускорение обозначают V_е и a_е .

Рис.2

Движение точки М (рис. 1) относительно стойки (или относительно Охуz) называется абсолютным движением точки М. Скорость и ускорение точки в этом движении есть абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки М, их обозначают V_а и a_а .

Обратите внимание на взаимную связь относительного и переносного движений: относительное движение – движение точки по перемещающемуся телу, движение же этого тела – переносное движение.

Обратите также внимание на различие в определениях относительного и абсолютного движений, хотя эти определения формально очень похожи.

Важной операцией исследования кинематики сложного движения является выделение относительного, переносного и абсолютного движений в конкретном случае сложного движения точки. Эту операцию будем называть анализом сложного движения точки. Анализ выполняется в соответствии с установленными выше определениями относительного, переносного и абсолютного движений. Для рассмотренного выше случая (см. рис. 1) результат анализа будет таким:

- относительное движение – движение точки М по телу А;

- переносное движение – движение тела А относительно тела В (относительно стойки);

- абсолютное движение – движение точки М относительно тела В (относительно стойки).

При анализе сложного движения точки надо иметь в виду, что объектом относительного и абсолютного движений является одна и та же точка; объектом же переносного движения является тело, по которому точка совершает относительное движение. Из-за наличия взаимной связи относительного и переносного движений их выделение происходит всегда одновременно: если Вы указали относительное движение точки по перемещающемуся телу, то перемещение этого тела следует назвать переносным движением.

Рассмотрим выполнение анализа сложного движения точки на конкретных примерах.

Примеры решения задач

Пример1. Мостовой кран АВ (рис. 3) перемещается вдоль цеха, изображенного на рисунке прямоугольником ОСDE. По крану движется тележка М.

Требуется выполнить анализ сложного движения тележки.

Рис.3

Начнем с выделения относительного движения, учитывая, что это движение точки по перемещающемуся телу. В данном примере относительное движение – движение тележки М (точки М) по крану.

После того как относительное движение названо, становится очевидным, что переносное движение – движение крана АВ вдоль цеха OCDE.

В завершение укажем абсолютное движение. По определению – это движение точки относительно стойки (неподвижной системы отсчета). В рассматриваемом примере абсолютное движение – движение тележки относительно цеха OCDE.

Пример 2. По трубке, изогнутой в форме окружности, непрерывно течет жидкость. Трубка, в свою очередь, вращается вокруг оси О, перпендикулярной стойке (рис. 4).

Требуется выполнить анализ сложного движения частицы М жидкости.

Рис.4

Относительным движением или движением точки по перемещающемуся телу здесь будет движение частицы М по трубке. Переносное движение – вращение трубки вокруг оси О стойки. Абсолютное движение – движение частицы М относительно стойки.

Возвращаясь к условию двух приведенных примеров, отметим, что относительное и переносное движения в них были, по существу, заданы: была известна траектория относительного движения (прямая – в первом примере, окружность – во втором). Так же был определен и вид переносного движения (в первом примере – поступательное движение крана, во втором – вращение трубки вокруг оси).

Траектория же абсолютного движения точки в этих примерах не определялась, так как предполагалось, что все параметры абсолютного движения могут быть найдены по заданным параметрам относительного и переносного движений.

Значительная часть задач на сложное движение точки имеет иной характер: условием задачи определяется траектория абсолютного движения точки, а параметры относительного или переносного движения требуется найти. Такие задачи можно считать обратными по отношению к задачам, рассмотренным в первых примерах.

Примеры обратных задач

Пример 3. На неподвижную проволочную окружность надето колечко М (рис. 5), через него проходит стержень ОА, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной стойке.

Требуется выполнить анализ сложного движения колечка М.

Рис.5

Абсолютное движение или движение точки относительно неподвижного тела в этом примере отчетливо видно: это движение колечка М по проволочной окружности, расположенной на стойке.

Относительное движение или движение точки по перемещающемуся телу здесь – скольжение колечка М по стержню ОА, а переносное движение – вращение стержня ОА вокруг оси О стойки.

Определение скоростей в сложном движении точки

определения и обозначения:

- относительной скоростью точки называется ее скорость в движении относительно перемещающегося тела, обозначение – V_r ;

- переносной скоростью называется скорость точки перемещающегося тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся по телу точка (см. рис. 2), обозначение – V_е;

- абсолютной скоростью точки называется ее скорость в движении относительно неподвижного тела, обозначение – V_а.

Зависимость между скоростями определяется теоремой: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей, т.е.

V_а= V_е+ V_r (1)

Из уравнения (1) следует, что абсолютная скорость есть диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях. Если параллелограмм Меаr (рис. 6) построить в масштабе, то тем самым задача по определениюбудет решена: модуль абсолютной скорости равен длине диагонали Ма в принятом масштабе, а направление абсолютной скорости – от М к а.

Рис.6

Но при решении задач кинематики параллелограмм скоростей Меаr обычно рассматривается как вспомогательный чертеж, а модуль и направление искомой скорости определяется аналитически с использованием известных из геометрии соотношений между элементами треугольника (имеется в виду теорема косинусов и т.д.), иначе говоря, задача сводится к решению треугольника Mear. При этом искомой величиной может быть не только V_а, а любой из пяти элементов треугольника – V_а , V_е , V_r,α , β.

Задача будет разрешимой, если из пяти указанных элементов неизвестными будут два, например, V_а и α, V_еи V_r.

Это значит, перед тем, как решать треугольник, надо по условию задачи определить, по крайней мере, три элемента треугольника. Эти три элемента или три кинематические характеристики будем в дальнейшем называть предварительно определяемыми.

Пример 4. (рис.3) Вдоль цеха по рельсам с постоянной скоростью 0,1 м/с перемещается мостовой кран АВ, по которому с постоянной скоростью 0,2 м/с движется тележка М. Определить абсолютную скорость тележки.

Решение:

1. На расчетной схеме (рис. 7) изображена точка М (тележка), совершающая сложное движение и подвижное тело – кран АВ в заданный момент времени.

2. Результаты анализа сложного движения тележки (пример 1,рис.3):

рис.7

- относительное движение – движение тележки М по крану АВ;

- переносное движение – движение крана АВ относительно цеха ОСDE;

- абсолютное движение – движение тележки М относительно цеха.

3. Проводим через точку М линии скоростей. Траектория относительного движения точки М – прямая АВ, поэтому линия r–r совпадает с АВ;

переносным движением является поступательное движение крана вдоль стороны ОЕ цеха, поэтому линия e–e проведена параллельно OE;

траекторию абсолютного движения точки М установить по условию задачи нельзя, поэтому линию а–а проводим под некоторым углом к линии е–е, считая α искомой величиной.

4. Построим параллелограмм скоростей: по условию задачи известны направления относительной скорости точки (она равна скорости движения тележки по крану) и переносной скорости (она равна скорости точки крана, с которой в данный момент совпадает тележка);

откладываем от точки М по линии r–r вектор относительной скорости V_r, а по линии е–е – вектор переносной скорости V_е ; затем достраиваем параллелограмм скоростей.

5. По условию задачи имеем V_r, = 0,2 м/с, V_е, = 0,1 м/с, угол β = 90⁰

6. Решая треугольник Меа (рис. 7), находим

Пример 5 . Маховое колесо(рис.8) вращается равномерно со скоростью 120 об/мин. Радиус колеса 0,3 м. Определить скорость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на 0,15 м от центра.

Решение

1. Угловая скорость

ω = πn / 30= 3,14·120/30 ≈ 12,56 рад/с.

2. Линейная скорость на ободе колеса υ = ω r ;

υА = ω rА = 12,56 · 0,3 = 3,77 м/с.

3. Скорость в точке С:

υс= ω rс= 12,56·0,15 = 1,88 м/с.

Рис.8

4. Угловое ускорение ε = ω′ = 0.

Касательное ускорение точки А - а t А = 0; нормальное ускорение точки А - а nА = ω ² rА ;

а nА = ω ² rА= (12,56)² * 0,3 = 47,3 м/с².

5. Полное ускорение на ободе колеса :

______

аА = а = √ а t² + аn² ;

аА = а nА = 47,3 м/с².

Ход работы

1. Выполнить описание основных понятий и определений кинематики сложного движения точки

2. По примеру 1 и 2 выполнить анализ сложного движения.

3. Привести пример решения обратной задачи (по примеру 3)

4. Определения и обозначения при определение скоростей в сложном движении точки, с пояснением рис.6

5. Решение задач

6. Ответить на вопросы выходного контроля

7. Задача 1.Мостовой кран АВ (рис. 3) перемещается вдоль цеха, изображенного на рисунке прямоугольником ОСDE. По крану движется тележка М.

Требуется выполнить анализ сложного движения тележки. Определить абсолютную скорость тележки.

Т а б л и ц а 1 – Данные для задачи1

Вариант	V_r, м/с	V_е, м/с	Вариант	V_r, м/с	V_е, м/с	Вариант	V_r, м/с	V_е, м/с
1	0,32	0,48	11	0,54	0,30	21	0,90	0,30
2	0,24	0,64	12	0,29	0,47	22	0,50	0,26
3	0,46	0,34	13	0,36	0,38	23	0,42	0,14
4	0,39	0,26	14	0,18	0,56	24	0,62	0,40
5	0,26	0,80	15	0,48	0,94	25	0,30	0,70
6	0,40	0,54	16	0,42	0,12	26	0,45	0,16
7	0,28	0,42	17	0,29	0,35	27	0,64	0,80
8	0,50	0,48	18	0,50	0,80	28	0,27	0,60
9	0,36	0,40	19	0,43	0,21	29	0,83	0,40
10	0,58	0,60	20	0,64	0,32	30	0,36	0,15

Задача 2. Маховое колесо (рис.8) вращается равномерно со скоростью n, об/мин. Радиус колеса А, м. Определить скорость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии С, м от центра.

Таблица 7- данные для задачи 2

Вариант	n, об/мин	r А, м;	r С, м;	Вариант	n, об/мин	r А, м;	r С, м;
1	100	0,45	0,30	16	320	0,45	0,20
2	220	0,24	0,10	17	580	0,58	0,40
3	150	0,50	0,42	18	480	0,46	0,12
4	380	0,36	0,12	19	540	0,50	0,32
5	135	0,68	0,54	20	340	0,64	0,42
6	240	0,35	0,15	21	400	0,38	0,16
7	215	0,42	0,14	22	420	0,55	0,25
8	139	0,40	0,10	23	360	0,38	0,10
9	500	0,36	0,14	24	500	0,60	0,3
10	340	0,28	0,10	25	350	0,50	0,35
11	140	0,68	0,45	26	480	0,48	0,20
12	210	0,52	0,20	27	520	0,50	0,40
13	350	0,60	0,45	28	600	0,38	0.10
14	260	0,40	0,20	29	242	0,82	0,44
15	400	0,54	0,30	30	364	0,36	0,45

Выходной контроль

Контрольные вопросы

1. Какое движение называется переносным ?

2. Какое движение называется абсолютным?

3. Что в кинематике является важным при исследовании сложного движения?

4. Дать определение относительного, переносного и абсолютного движения.

Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!