ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СТИЛЬ
ПРЕПОДАВАНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Литературная задача
В данном разделе речь пойдёт о новой, необычной для автора литературной задаче. Поскольку возникновение новой задачи всегда носит очень личный характер, позволим себе в рамках данного раздела говорить от первого лица.
В рамках магистерской программы «Математическое образование в профильной школе» мне довелось читать курс «Современные концепции математического образования». Работая над лекционным описанием различных концепций, я обратил внимание на то, что в литературе стихийно установились некие традиции изложения их содержания. Например, первоисточник [9] чётко говорит, что концепция развивающего обучения Л. В. Занкова базируется на пяти принципах. Каждый из них имеет название и точную формулировку. Каждая формулировка сопровождается разъяснением её сути. Наконец, описано взаимодействие принципов и показано, что они образуют целостную систему, так что исключение любого из них обесценивает остальные. При этом все написано достаточно компактно, несмотря на монографический характер книги. Удивительно, но точно такую же структуру имеет изложение концепции подготовки преподавателей профильных школ О. А. Иванова [12] и изложение концепции профессионально-педагогической направленности обучения математики А. Г. Мордковича. Получается, что три концепции создавались в разное время, разными авторами, с разными целями, для разных типов учебных заведений, однако имеют весьма схожую структуру изложения их содержания.
|
|
|
Естественно, что курс о современных концепциях математического образования обязательно должен содержать описание тех больших педагогических возможностей, которые появились в последние десятилетия в связи с разработкой и постепенным распространением интерактивных математических сред. К сожалению, достаточно трудно отыскать в литературе компактное изложение теории, описывающей применение математических экспериментов в учебном процессе. Его нет ни в монографиях [31, 29], ни в учебных пособиях [3, 17], ни в других известных мне источниках. Так возникла потребность в написании краткого изложения, образно говоря, «аксиоматики» концепции применения математических экспериментов в учебном процессе.
Эта потребность усилилась в ходе написания настоящей книги, потому что продуктивные сценарии изучения большинства входящих в неё математических объектов оказались так или иначе связанными с экспериментом. Итак, задача настоятельно требовала своего решения.
Следует сразу сказать, что поставленная задача оказалась психологически трудной для меня и, в определённом смысле, дерзкой. Действительно, у меня нет собственных результатов в области экспериментальной математики, и я не являюсь основным разработчиком педагогической концепции в нужной области. С другой стороны, будучи дерзкой, поставленная задача не была авантюрной, потому что я участвовал в разработке некоторых аспектов концепции [31, 46], а также участвовал в извлечении теоретических следствий из простеньких математических экспериментов [39, 41]. В результате я взялся за решение литературной задачи.
|
|
|
В следующем разделе Приложения будет представлена своего рода «аксиоматика» концепции, в которой описывается экспериментально-теоретический стиль преподавания и изучения математики. Я далёк от того, чтобы считать эту «аксиоматику» чем-то законченным и подобным аксиоматикам известных математических теорий. Повторю почти дословно то, что было сказано во Введении: я глубоко убеждён в том, что краткие, отчётливые, подобные математическим положения концепции нужны хотя бы для того, чтобы стать объектом дальнейшего усовершенствования, даже если в процессе анализа и обсуждения они подвергнутся метаморфозам или будут отвергнуты.
Основные положения концепции
|
|
|
КОНСТАТАЦИИ И ЗАДАЧИ
1. Известно, что в начальные периоды своего развития математика представляла собою эмпирическую науку, основанную на наблюдениях, извлечённых из практики правилах, позднее на экспериментах. Естественная педагогическая задача состоит в том, чтобы адекватно отразить экспериментальное начало математики в учебном процессе.
2. В определённый исторический период в математике появилось понятие доказательства (Фалес и др.). С этого времени в математике возникло и стало усиливаться теоретическое начало. Одним из важнейших этапов его развития стал аксиоматический метод (Евклид и др.), который определил эволюцию математики на многие столетия. Естественная педагогическая задача состоит в том, чтобы адекватно отразить теоретическое начало математики в учебном процессе.
3. В связи с изобретением интерактивных математических сред появились новые, большие возможности для введения экспериментов в процесс преподавания. Естественная задача состоит в том, чтобы использовать эти возможности для реализации пп. 1–2.
4. Взаимодействие теоретических и экспериментальных методов в преподавании должно быть гармоничным в следующем смысле.
|
|
|
А) В учебном процессе должно быть отражено реальное соотношение теоретических и экспериментальных методов в математике как науке.
Б) Взаимодействие теоретических и экспериментальных методов в учебном процессе должно быть гибким в «локальном» и «глобальном» смысле. Во-первых, оно должен допускать варьирование в зависимости от педагогической ситуации, то есть от изучаемой темы, от возможностей класса, от традиций преподавания и т.д. Во-вторых, оно должно допускать уточнения, видоизменения, пересмотр и проч. с целью отражения меняющихся тенденций в математике как науке.
СОГЛАШЕНИЯ О МАТЕМАТИКЕ
5. В рамках данного текста будем считать, что результатами деятельности математика являются формулировки новых проблем, высказанные гипотезы, доказанные теоремы, математические предпонятия или понятия.
6. Деятельность исследователя с объектами материального мира будем относить к области экспериментальной математики, если её результатами являются формулировки новых проблем, высказанные гипотезы, доказанные теоремы, математические предпонятия или понятия.
7. Деятельность исследователя по выявлению свойств математических объектов будем считать теоретической, если в процессе неё не производится математических экспериментов.
8. Компьютер рассматривается в качестве объекта материального мира на основании того, что он потребляет электричество и изготовлен из металлов, полупроводников, пластических масс, жидких кристаллов и других материалов.
ТИПОЛОГИЯ СТИЛЕЙ ПРЕПОДАВАНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ
9. Стиль проведения занятия будем называть экспериментальным, если выполняются два условия: А) целью занятия является экспериментальное обнаружение того или иного свойства математического объекта; Б) экспериментальные данные считаются достаточным обоснованием обнаруженного свойства.
10. Стиль проведения занятия будем называть теоретическим, если выявление свойств математического объекта и их доказательство осуществляется без использования эксперимента.
11. Стиль проведения занятия будем называть экспериментально-теоретическим, если выполняются два условия: А) имеет место этап планирования эксперимента, которое осуществляется на основе теоретических знаний, имеющихся на данный момент; Б) результаты эксперимента подлежат обязательному объяснению и обоснованию на теоретическом уровне. Таким образом, полномасштабный эксперимент выступает как связующее звено между эмпирическим и теоретическим началами математики.
12. Стиль проведения каждого конкретного занятия определяет преподаватель. В то же время, доминирование того или иного стиля на протяжении длительного времени не может зависеть от взглядов преподавателя, а должно быть обусловлено объективными обстоятельствами. Так, доминирование экспериментального стиля в начальной школе практически неизбежно, однако должно сопровождаться введением элементов теории всегда, когда это возможно и целесообразно. Доминирование теоретического стиля при изучении геометрии в основной школе вполне допустимо, однако должно сопровождаться проведением экспериментов, позволяющих обнаружить свойства геометрических объектов. Обобщённо говоря, область эффективной применимости экспериментально-теоретического стиля преподавания и изучения математики должна быть определена на основе осмысления опыта педагогического сообщества.
БЛИЖАЙШИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ И ДАЛЬНЕЙШИЕ РАЗРАБОТКИ
13. Использование интерактивных математических сред может иметь многочисленные положительные эффекты. Главным из них является привлечение многих учеников к исследовательской деятельности: наблюдениям, высказыванию гипотез, их подтверждению или опровержению и т.д. В результате формируется опыт исследовательской деятельности учащихся в области математики, расширяется их математический кругозор, совершенствуется визуальное мышление, возникают умения и навыки компьютерного моделирования математических объектов и т.д.
14. Использование интерактивных математических сред может иметь негативные побочные последствия, причём достаточно серьёзные. Главным из них является так называемый экспериментально-теоретический разрыв. Он выражается в том, что у школьников резко падает мотивация к проведению дедуктивных доказательств, следствием чего является уменьшение способности к дедуктивным рассуждениям, падение интереса к теоретическому поиску, трудность или даже невозможность постановки новых задач путём логического преобразования решённой задачи и т.д.
15. Педагогический сценарий использования интерактивной математической среды считается качественным (допустимым), если он обладает двумя взаимно дополнительными свойствами: А) сценарий оказывает позитивное воздействие на учащихся в смысле п. 13; Б) негативное воздействие на учащихся в смысле п. 14 отсутствует или является минимальным.
16. Каждое из положений 1–15 нуждается в дальнейших и возможно более глубоких разработках, определённая часть которых уже, фактически, сделана. Кроме того, нуждается в дальнейших разработках концепция в целом, что неизбежно приведёт к формулировке новых и уточнению уже высказанных положений.
Библиографический список
1. Атанасян, Л. С., и др. Геометрия. 7–9 классы. – М.: Просвещение, 2010. –384 с.
2. Базылев, В. Т., и др. Геометрия. Учеб. пособие для студентов I курса физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1974. – 351 с.
3. Безумова, О. Л. и др. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие. – Архангельск: КИРА, 2011. – 140 с.
4. Брунер, Дж. Процесс обучения. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. – 84 с.
5. Вавилов, В. В., Красников, П. М. Математические коллоквиумы. Часть 1. – М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. – 64 с.
6. Винер, Н. Я – математик. – М.: Наука, 1967. – 356 с.
7. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Сборник задач по алгебре. – М.: 1997. – 271 с.
8. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 6 класс. Часть 1. – М.: Издательство «Ювента», 2014. – 112 с.
9. Занков, Л. В. Избранные педагогические труды. – М.: Педагогика, 1990. – 424 с.
10. Зуева, М. Л., Ястребов, А. В. Использование сценариев групповой работы для формирования ключевых компетенций // Математика, физика, экономика и физико-математическое образование: Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 2005. – С. 160–166.
11. Зуева, М. Л., Ястребов, А. В. Феномен дополнительной функции педагогического инструмента // Ярославский педагогический вестник. Психолого-педагогические науки: научный журнал. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. – № 2. – С. 126–130.
12. Иванов, О. А. Теоретические основы построения специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ. – СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. – 80 с.
13. Кантор, И. Л., Солодовников, А. С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 144 с.
14. Когаловский, С. Р. К проблеме модернизации математического образования (онтогенетический подход к обучению математике старших школьников). – LAP Lambert Academic Publishing, 2012. – 124 с.
15. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с.
16. Кранц, С. Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя проверить. –М.: Лаборатория знаний, 2016. – 320 с.
17. Ларин, С. В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики: учебное пособие. – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. – 192 с.
18. Наука // Большая Советская Энциклопедия: Т. 17. – М.: Советская Энциклопедия, 1974. – С. 323–330.
19. Павлова, М. А., Шабанова, М. В., и др. Экспериментальная математика: учеб. пособие / под общ. ред. М. А. Павловой. – Архангельск: Изд-во АО ИОО, 2017. – 184 с.
20. Петерсон, Л. Г. Математика «Учусь учиться». 1 класс. Ч. 1. – М.: Издательство «Ювента», 2012.
21. Пойа, Д. Как решать задачу. – М.: Учпедгиз, 1959. – 207 с.
22. Пойа, Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970. – 452 с.
23. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Наука, 1975. – 464 с. 2.
24. Розенфельд, Б. А. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1966. – 647 с.
25. Рыбакова, Т. Л., Суслова, И. В. Математика. Школьный справочник. – Ярославль: «Академия развития», 1997. – 240 с.
26. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
27. Сафуанов, И. С. Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах: монография. – Уфа: «Магрифат», 1999. – 107 с.
28. Сгибнев, А. И. Исследовательские задачи для начинающих. – М.: МЦНМО, 2015. – 136 с.
29. Сергеева, Т. Ф., Шабанова, М. В., Гроздев, С. И. Основы динамической геометрии. – М.: АСОУ, 2014. – 160 с.
30. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. Т. 1. – М.: Просвещение, 1982. – 209 с.
31. Шабанова, М. В., Овчинникова, Р. П., Ястребов, А. В. и др. Экспериментальная математика в школе. Исследовательское обучение: коллективная монография. ‒ М.: Издательский дом Академии Естествознания, 2016. – 300 с. doi: 10.17513/np.141
32. Ястребов, А. В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студента педагогического вуза: дисс… докт. пед. наук. – Ярославль, 1997. – 386 с.
33. Ястребов, А. В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания // Ярославский педагогический вестник. – 2001. – № 1. – С. 48–53.
34. Ястребов, А. В. Сценарии групповой работы при изучении математики // Вопросы методики обучения математике в средней школе: Учебное пособие. – Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 2002. – С. 113–121.
35. Ястребов, А. В. Междисциплинарный подход к преподаванию математики // Ярославский педагогический вестник. – 2004. – № 3. – С. 5–15.
36. Ястребов, А. В. Школьный учебник как источник исследовательских задач // Учебный год. – 2007. – Вып. 1. – С. 72–77.
37. Ястребов, А. В. Исследовательская работа школьников как сфера инновационной деятельности учителей // Математика в образовании: сб. статей. Вып. 7 / под ред. И. С. Емельяновой. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – С. 85–92.
38. Ястребов, А. В. Неравенства Ки Фана в исследованиях школьников // Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования: материалы Междунар. науч. конф. (Архангельск16–21 ноября 2014 г.). – Архангельск: САФУ, 2014. – С. 126–131.
39. Ястребов А. В. «Полуэкспериментальный» вывод формулы суммы внутренних углов невыпуклого многоугольника // Ярославский педагогический вестник = Yaroslavl pedagogical bulletin: научный журнал. – Ярославль: РИО ЯГПУ, 2015. – № 6. – С. 31–37.
40. Ястребов, А. В. Обучение математике в вузе как модель научных исследований: монография. – Ярославль: РИО ЯГПУ, 2017. – 306 с.(Книга доступна в электронной библиотеке eLibrary.ru)
41. Ястребов, А. В. Числовая мера разносторонности треугольника / Математическое образование. – 2017. № 3. – С. ?? (В печати)
42. Ястребов, А. В., Меньшикова, Н. А., Епифанова, Н. М. Выявление дуалистических свойств науки в процессе преподавания элементарной математики // Ярославский педагогический вестник. – 2006. – № 4. – С. 87–93.
43. Ястребов А. В., Новоселова Н. Н. Геометрические следствия приблизительности вычислений с помощью интерактивных математических сред // Ярославский педагогический вестник: научный журнал. – 2015. – № 4. – С. 61–72.
44. Ястребов, А. В., Суслова, И. В., Корикова, Т. М. Методика преподавания математики: теоремы и справочные материалы. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 173 с.
45. Ястребов, А. В., Шабанова, М. В. Три участника педагогического процесса и субъектно-объектный дуализм их взаимодействия // Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и вузе в свете идей Л.С. Выготского / материалы III Международной научной конференции, 17–19 ноября 2016 г. // Под ред. М.В. Егуповой, Л.И. Боженковой. – ФГБОУ ВО «Московский педагогический государственный университет» (МПГУ), Издатель Захаров С.И. («СерНа»), 2016. – С. 395–400.
46. Ястребов А. В., Шабанова М. В. О типологии результатов компьютерных экспериментов в обучении школьников // Труды международной научной конференции 28 сентября – 2 октября 2015, Армения, Горис, Москва, РУДН. Том 1: «Образование, наука и экономика в вузах и школах. Интеграция в международное образовательное пространство. – Ер.: Астхик Гратун, 2015. – С. 400–403.
Научное издание
Александр Васильевич Ястребов
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ
ОБУЧЕНИЕ МαТЕМАТИКЕ
В ШКОЛЕ
Монография
Технический редактор выпускных сведений С.А. Сосновцева
Подписано в печать 12.03.2018
Формат 60х90 1/16
10,5 печ. л. Тираж 500 экз. Заказ № 22
Издано в ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический
университет им. К.Д. Ушинского»
(РИО ЯГПУ)
150000, г. Ярослваль, ул. Республиканская, 108/1
Отпечатано в типографии ФГБОУ ВО «Ярославский государственный
педагогический университет им. К.Д. Ушинского
150000, г. Ярославль, Которосльная наб., 44
Тел.: (4852) 32-98-69
[1] Анализ – это совокупность мыслительных операций, состоящая в разложении изучаемого объекта на характерные для него составные элементы, выделении в нем отдельных свойств, изучении каждого элемента или свойства объекта в отдельности.
[2] Синтез – это совокупность мыслительных операций, состоящая в соединении элементов или свойств изучаемого объекта, полученных при анализе, в установлении взаимосвязей между частями и получении знания об этом объекте как о едином целом.
[3] Сравнение – это мыслительная операция, состоящая в установлении сходных и различных свойств в предметах и явлениях.
[4] Абстрагированием – это логический приём, состоящий в отделении общих существенных свойств … от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов … и отбрасывании последних.
[5] Классификацией математических объектов из множества А называется разбиение множества А на классы, то есть выделение семейства непустых подмножеств, обладающего следующими свойствами: 1) каждый объект из множества А попадает хотя бы в одно из подмножеств семейства; 2) два различных подмножества семейства не имеют общих элементов.
[6] Аналогия – это умозаключение, в котором на основе сходства объектов в некоторых свойствах и отношениях высказывается суждение о сходстве этих объектов в других свойствах и отношениях.
[7] Обобщением называется логический приём, состоящий в переходе от единичного к общему или от менее общему к более общему.
[8] Дедукция – логическое умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выводам.
[9] Индукция – логическое умозаключение от частных, единичных случаев к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям. Неполная индукция – умозаключение, логический приём мышления, в результате которого информация о некоторых элементах множества распространяется на все элементы множества или на множество в целом.
[10] Конкретизацией называется логический приём, состоящий в переходе от более общего к менее общему или от общего к единичному.
[11] Термин «ранняя математика», по мнению автора, очень удачный, заимствован из книги С. Кранца [16, c. 19].
[12] Конфигурация – это внешнее очертание, а также взаимное расположение предметов или их частей.
[13] Пропорция – это определенное соотношение частей между собой.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 240; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!