Типология алгебр и отсутствие «трёхмерных» чисел

3.4.3.1. Постановка задачи

Итак, мы построили три алгебры: комплексные, двойные и дуальные числа. Одна из этих алгебр – комплексные числа – оказалась алгеброй с делением. Действительно, любое комплексное число можно поделить на любое ненулевое число .

Опыт построения и изучения трёх алгебр наводит на мысль пойти дальше и рассмотреть «трёхмерные» числа вида , где – произвольные действительные числа, а и – некоторые символы. Можно было бы попытаться построить алгебру, которая удовлетворяет условиям теоремы 5, однако в книге [13, c. 16] сформулировано «запретительное» утверждение: алгебру трёхмерных чисел с делением построить невозможно! При этом не приведено никаких аргументов в пользу такого категоричного (и, что важно, непривычного) запрета.

Здесь руководитель должен объяснить школьникам, что они попали в ситуацию, типичную для чтения научной литературы: некоторые факты формулируются без доказательства, так что для полного понимания текста читатель должен самостоятельно придумать их или отыскать их в других источниках.

Так перед школьниками возникает задача доказать утверждение, не доказанное в книге. Его точная формулировка будет приведена ниже, в разделе 3.4.3.4, а пока мы сконцентрируемся на необходимых сведениях и типологии алгебр.

3.4.3.2. Типология алгебр

В данном разделе собраны те понятия алгебры, которые потребуются для доказательства основного утверждения.

Прежде всего, мы формулируем понятие векторного пространства в том виде, в каком оно определено в вузовских учебниках, например, в книге [15].

Всюду, если не оговорено противное, мы будем использовать следующие соглашения. 1) Векторы обозначаются жирными латинскими буквами: Нулевой вектор обозначается жирным символом . 2) Все векторные пространства рассматриваются над полем вещественных чисел. Вещественные коэффициенты обозначаются, как правило, греческими буквами:

До сих пор мы употребляли термин «алгебра» в смысле естественного языка, то есть в его почти житейском смысле. Дадим теперь его точное определение.

Определение 1. Алгеброй называется векторное пространство, в котором определено умножение векторов друг на друга, обладающее следующими свойствами.

1) Выполняется левая и правая дистрибутивность, то есть

2) Выполняется однородность относительно умножения на вещественное число, то есть равенство

С помощью специальных определений выделим некоторые типы алгебр.

Определение 2. Алгебра называется коммутативной, если умножение обладает свойством

Определение 3. Алгебра называется ассоциативной, если умножение обладает свойством

Определение 4. Алгеброй с единицей называется алгебра, в которой существует особый элемент , такой, что для любого выполняются равенства

В дальнейшем символы 1 и будут иметь разный смысл: первый означает вещественное число 1, а второй – единичный элемент алгебры.

Определение 5. Алгебра называется алгеброй с делением, если для любого и для любого каждое из уравнений и имеет единственное решение.

Определение 6. Подмножество алгебры называется подалгеброй алгебры , если оно само является алгеброй относительно тех же самых операций сложения, умножения, умножения на вещественное число.

Определение 7. Две алгебры и называются изоморфными, если существует отображение из алгебры в алгебру , которое обладает следующими свойствами:

1) взаимной однозначностью;

Разумеется, все понятия были проиллюстрированы примерами и, что не менее важно, контрпримерами из школьного курса математики.

3.4.3.3. Необходимые леммы

В данном подразделе собраны вместе те леммы, которые будут необходимы для доказательства основного утверждения раздела. Они были получены школьниками либо самостоятельно, либо с минимальной помощью научного руководителя.

Лемма 1. Многочлен третьей степени имеет корень. Он разлагается либо в произведение трёх линейных множителей, либо в произведение линейного множителя и квадратичного множителя с отрицательным дискриминантом.

Доказательство было получено участниками проекта традиционным для математического анализа методом в процессе ответов на вопросы руководителя.

Лемма 2. Если произведение двух элементов алгебры с делением равно нулю, то один из сомножителей равен нулю.

Доказательство. Исследуем сначала, чему равно произведение произвольного элемента на нулевой элемент. Для этого вычислим выражение двумя способами. С одной стороны, . С другой стороны, . Приравняем два результата: . Сократив на , получим, что .

Пусть теперь . Если , то лемма доказана. Если , то сопоставим уравнение , равенство и результат первого этапа доказательства . Два последних равенства означают, что уравнение имеет решения и . В силу определения алгебры с делением решение является единственным, поэтому .

Лемма З. Ассоциативная алгебра с делением имеет единичный элемент.

Доказательство. 1) Очевидно, что сначала мы должны сконструировать единичный элемент. Для этого рассмотрим конкретный ненулевой элемент и уравнение . Оно имеет решение , в силу чего выполняется равенство

(4)

Теперь нам нужно доказать, что сконструированный элемент действительно является единичным, то есть обладает двумя следующими свойствами:

(5)

(6)

2) Для доказательства утверждения (5) рассмотрим произвольный элемент и проанализируем другое уравнение, а именно уравнение

(7)

Очевидно, что оно имеет решение . С другой стороны, если мы домножим равенство (4) на слева и воспользуемся ассоциативностью, то получим равенство

(8)

Сопоставив равенство (8) и уравнение (7), получим ещё одно решение В силу единственности решения . Итак, утверждение (5) доказано.

3) Для доказательства утверждения (6) рассмотрим произвольный элемент и проанализируем третье уравнение, а именно уравнение

(9)

Очевидно, что оно имеет решение . С другой стороны, если мы домножим равенство (5) на справа и воспользуемся ассоциативностью, то получим равенство

. (10)

Сопоставив равенство (10) и уравнение (9), получим ещё одно решение . В силу единственности решения . Итак, утверждение (6), а вместе с ним и лемма в целом, доказаны.

Мы привели полные доказательства лемм 2 и 3 для того, чтобы проиллюстрировать некое противоречие. С одной стороны, доказательства являются не слишком сложными. Действительно, в них не более трёх логических ходов, которые включают в себя простые действия: домножения равенств, использование ассоциативности, понятие решения уравнения. С другой стороны, они достаточно трудны для школьника, потому что требуют от него изощрённой логики, к которой он не привык: учёта некоммутативности умножения, скрупулёзного использования ассоциативности, работы с уравнениями неочевидного происхождения и т.п. По мнению автора, именно сочетание небольшой сложности и большой трудности обогащает интеллект участников проекта.

Следующая лемма носит геометрический характер. В то же время, она удивительным образом связана с аналитической леммой 1.

Лемма 4. Любой элемент трехмерной алгебры с единицей удовлетворяет равенству при подходящих коэффициентах и .

Доказательство. 1) Если , то равенство очевидно, поэтому в дальнейшем рассматриваем случай , то есть два линейно независимых вектора и .

2) Рассмотрим теперь три вектора: , и . Если они линейно зависимы, то именно добавленный вектор линейно выражается через два другие, а это и означает выполнение искомого равенства. В силу этого будем считать их линейно независимыми.

3) Итак, мы имеем базис из трёх векторов , и . Любой вектор, в частности , линейно выражается через базисные векторы: . Другими словами,

. (11)

Рассмотрим многочлен с теми же самыми коэффициентами, что и в равенстве (11). В силу леммы 1 он разлагается либо в произведение , либо в произведение , где дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен. Выясним, которая из этих двух возможностей действительно реализуется.

4) Допустим, что . Подставим вместо переменного элемент . В силу равенства (11) получим, что . Поскольку является алгеброй с делением, последнее равенство равносильно совокупности равенств . Каждое из них означает, что вектор коллинеарен вектору , а это противоречит соглашению пункта 1).

5) Допустим, что . Подставим вместо переменного элемент . В силу равенства (11) получим, что . Поскольку является алгеброй с делением, мы получаем совокупность равенств . Первое равенство выполняться не может, поскольку оно противоречит соглашению пункта 1). Следовательно, выполняется второе равенство, откуда следует, что , а это и требовалось доказать.

Следствие. Если , то дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.

Лемма 5. Если элемент ассоциативной алгебры с делением не коллинеарен , то совокупность элементов вида образует подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подмножество является подалгеброй. Для этого нужно показать его замкнутость относительно сложения, умножения и умножения на число.

А) Пусть и . Тогда .

Б) Перемножая элементы и , получим, что . Согласно лемме 4 . Подставив его выражение в последнее равенство, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим, что

В) Замкнутость относительно умножения на число очевидна, поскольку .

Итак, подмножество является подалгеброй алгебры .

2) Покажем, что подалгебра изоморфна алгебре комплексных чисел. Для начала перепишем равенство в виде и выделим полный квадрат из левой части. Получим, что

. (12)

Дальнейшие рассуждения зависят от знака числового коэффициента в правой части.

А) Пусть . Тогда равенство (12) примет вид , а это означает, что вектор коллинеарен . Противоречие.

Б) Пусть . Если считать, что , то равенство (12) можно преобразовать к виду , откуда следует, что . Если , то это означает, что вектор коллинеарен вектору , а это противоречие. Аналогичное противоречие получим, если приравняем к нулю второй сомножитель последнего равенства.

В) Пусть . Если считать, что , то равенство (12) можно преобразовать к виду , откуда следует, что

. (13)

Введём обозначение . В сочетании с равенством (13) оно означает следующее: во-первых, , и во-вторых, .

Подставим полученное выражение для в выражение произвольного элемента подалгебры: . Коэффициенты при и являются вещественными числами и , поэтому подалгебра изоморфна алгебре комплексных чисел.

Здесь необходимо сделать два замечания. Первое из них касается употребления термина «лемма». С одной стороны, утверждения лемм 4 и 5 достаточно серьёзны, а доказательства их достаточно сложны. В силу этого они вполне могли бы называться теоремами. С другой стороны, нашей целью является доказательство утверждения об отсутствии «трёхмерных» чисел, поэтому все вспомогательные утверждения естественно называть леммами.

Второе замечание является гораздо более серьёзным и касается вопроса о том, могут ли школьники самостоятельно изобрести пять нетривиальных утверждений, высказанным в леммах 1–5. Очевидно, что ответ является отрицательным, поэтому пока не ясно, на каком основании эти леммы были включены в доклад школьников в качестве самостоятельного результата. Мы ответим на этот вопрос в разделе 3.4.4.

3.4.3.4. Доказательство основного утверждения

Сформулируем теперь наше основное утверждение

Теорема 6. Не существует трёхмерных ассоциативных алгебр с делением.

Доказательство. Допустим, что такая алгебра существует. Рассмотрим две различных подалгебры и . Поскольку каждая из них изоморфна алгебре комплексных чисел, можно изначально выбрать векторы и таки образом, чтобы . Кроме того, в силу различия алгебр (то есть различия двух двумерных плоскостей в трёхмерном пространстве) векторы , и образуют базис.

Разложим по базису произведение порождающих векторов:

. (14)

Пусть . Тогда равенство (14) примет вид . Домножим новое равенство на элемент слева: . Если воспользоваться ассоциативностью умножения и равенством , то мы получим, что , откуда . Последнее равенство означает, что векторы , и не образуют базис, что противоречит их построению.

Пусть в равенстве (14) . Домножим его слева на элемент , а затем воспользуемся ассоциативностью и равенством . Получим, что , откуда

. (15)

Каждое из равенств (14) и (15) представляет собой разложение вектора по базису. В силу единственности разложения мы можем приравнять соответствующие коэффициенты, в частности, третьи коэффициенты: . Отсюда следует, что , а это невозможно для вещественного числа . Полученное противоречие означает ложность сделанного допущения и истинность теоремы.

Педагогическая рефлексия

Обсудим теперь, насколько самостоятельными были школьники в процессе работы с леммами 1–5 и теоремой 6.

Анализ вопроса целесообразно начать с того, что чтение учебников, к которому привыкли школьники, серьёзно отличается от чтения дополнительной литературы. Дело в том, что эти два вида книг используются для достижения разных целей. Работа с учебником проводится с целью передачи системы знаний и умений, поэтому учебники, как правило, читаются последовательно, страница за страницей, и переход к последующей теме возможен только после усвоения предыдущей. Дополнительная литература читается с иными целями: с целью поиска информации, необходимой для решения возникшей ранее задачи; с целью постановки новой исследовательской задачи; с общей целью выбора области для будущей исследовательской деятельности… В силу сказанного чтение дополнительной литературы обладает несколькими важными особенностями: нелинейностью чтения, избирательностью чтения и скрупулёзностью анализа текста [37].

В нашем случае названные особенности проявились следующим образом. В аннотации ко книге [13, с. 2] сказано, что целью её является «разыскание «алгебр с делением» (теорема Фробениуса)…». Заглянув на стр. 117, мы находим её формулировку.

Теорема (Г. Фробениус, 1878 г.). Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трёх алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

При всей серьёзности и «молодости» этой теоремы (изобретённой менее 150 лет назад) в ней почти все если не понятно, то знакомо. Действительно, термины «алгебра» и «ассоциативность» вполне привычны, заклинанию «на ноль делить нельзя» не сложно придать расширительный смысл, так что непонятными остаются всего лишь два термина: «изоморфизм» и «кватернион».

Вернувшись к началу, то есть к последовательному чтению книги, мы на стр. 16 находим утверждение теоремы 6. Оно интересно и неинтересно одновременно. С одной стороны, если человек знает теорему Фробениуса, то из неё мгновенно вытекает теорема 6, так что все тривиально. С другой стороны, а знаем ли мы теорему Фробениуса? Скорее нет, т.к. два термина пока не понятны, не говоря уже о доказательстве. Так перед школьниками возникает альтернатива: освоить теорему Фробениуса и вывести из неё теорему 6 или сконструировать её независимое доказательство.

Изучение теоремы Фробениуса мгновенно уничтожит проект, т.к. вместо исследовательской деятельности школьникам придётся заняться деятельностью учебной, то есть слушать лекции, читать книги, выполнять тренировочные упражнения. К тому же неизбежно возникнут вопросы, деструктивные в данной ситуации: зачем все это нужно, почему мы изучаем именно эту область, а не иную, и проч. Наконец, руководителю известно, что доказательство теоремы Фробениуса является весьма сложным. Во всяком случае, оно никогда не изучалось в педагогических вузах, так что нужны веские причины для его изучения детьми. Так мы приходим к необходимости отыскать самостоятельное доказательство теоремы 6.

Первый шаг поиска прост, поскольку «запретительные» утверждения часто доказывается методом от противного. Но уже следующий шаг полностью непонятен. Единственный ориентир состоит в том, чтобы посмотреть, каким способом доказывается теорема Фробениуса, и модифицировать этот способ для трёхмерного пространства. Таким образом, мы вынуждены вновь обратиться к «далёким» страницам книги [13, c. 117–120]. Там мы обнаруживаем, что существенную роль в доказательстве играют подалгебры и , конструируемые особым способом и обладающие специальными свойствами. Так перед школьником-исследователем постепенно возникает лемма 5, а затем леммы 4, 3, 2, 1. Так школьник постепенно понимает, что логика исследования и логика изложения отличаются друг от друга.

Попытаемся дать теореме 6 качественную характеристику путём её отнесения к тому или иному классу теорем. Можно было бы назвать её «запретительной теоремой», как мы уже писали ранее, однако такой термин не используется. Можно было бы назвать её «теоремой отсутствия» в том смысле, который противоположен смыслу словосочетания «терема существования». К сожалению, и этот термин не используется. Можно было бы считать её классификационной теоремой, однако этому препятствует характер полученного результата – классифицируемых объектов (алгебр со специальными свойствами) не существует. В конце концов, мы назвали её «слабой формой теоремы Фробениуса» на том основании, что доказательство теоремы 6 представляет собой модификацию доказательства теоремы Фробениуса применительно к размерности 3.

По мнению автора, все сказанное позволяет считать, что школьники были вполне самостоятельны (или достаточно самостоятельны) в своей математической деятельности.

В заключение отметим красоту доказательства теоремы 6. Распространённый способ получения противоречия состоит в том, чтобы получить для одного вектора два разных разложения по базису. Где же взять такой вектор? Тут мы и обнаруживаем, что в нашем распоряжении есть только два вектора и , порождающие подалгебры. В этих условиях рассмотрение произведения и вся последующая эквилибристика почти неизбежны.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 15 16 17 18 19 20 212223 24 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!