Числовая мера разносторонности треугольника

⇐ ПредыдущаяСтр 18 из 24Следующая ⇒

Настоящий проект имеет несколько особенностей, которые могут показаться интересными. Во-первых, математическая задача основана на чрезвычайно простых соображениях и не требует для своей формулировки практически никакой предварительной подготовки. Во-вторых, основная идея решения возникает в результате компьютерного эксперимента, необходимость которого отнюдь не вытекает из формулировки задачи и целесообразность которого, вообще говоря, не очевидна. В-третьих, оттолкнувшись от эксперимента, исследование школьника течет в сугубо теоретическом русле [41].

Постановка задачи

Представим себе, что на вертикальной стене нарисован равнобедренный треугольник с горизонтальным основанием длиною 1 м и вертикальной высотой длиною 1,5 м.

Будем смещать вершину параллельно основанию. Более точно, рассмотрим три её положения: 1) , где ; 2) , где ; 3) , где Нарисуем треугольники , и , а боковые стороны исходного треугольника сотрем.

Можно с уверенностью сказать, что человек со стандартным глазомером сочтёт разносторонний треугольник равнобедренным. Возможно, он не заметит разносторонность треугольника . Если же подозрения в разносторонности возникнут, то их можно будет легко подтвердить, найдя с помощью отвеса высоту и убедившись с помощью нити того же отвеса, что не является серединой стороны . Что же касается треугольника , то он изначально будет восприниматься как разносторонний и не будет находиться в ассоциативной связи с каким бы то ни было равнобедренным треугольником.

Обобщённо говоря, на интуитивном уровне человек ощущает, что три разносторонних треугольника , и являются разносторонними как-то «по-разному», что они имею различные «количества разносторонности».

Слова в кавычках, будучи интуитивно понятными, не обладают точным математическим смыслом. Так возникает математическая

Задача 1. Ввести числовую меру разносторонности треугольника и изучить её свойства.

Наблюдение и основное определение

Один из подходов к решению задачи подсказывает наблюдение за динамическим чертежом, который можно создать в какой-либо интерактивной математической среде, например, в GeoGebra.

Изобразим равнобедренный треугольник и отметим середину его основания (рис. 33).

Через точку проведем прямую , параллельную основанию, и отметим на ней точку . Построим треугольник , проведем биссектрису угла и совместим точку с точкой . Двигая точку вдоль прямой (скажем, «направо»), будем наблюдать за движением точки .

Очевидно, что в исходный момент времени точка будет совпадать с точкой . В начале движения точки точка будет удаляться от точки , а затем начнет приближаться к ней. По мере удаления точки «в бесконечность» точка будет неограниченно

Рис. 33. Как движется основание биссектрисы?

приближаться к точке , но никогда не будет совпадать с ней.

Дадим геометрическое истолкование наблюдаемым физическим явлениям.

В самом начале движения длина отрезка увеличивается, а длина отрезка уменьшается. Следовательно, отношение возрастает, а значит, возрастает и равное ему отношение . В силу возрастания этого последнего отношения происходит удаление точки от точки . Образно говоря, треугольник становится все менее и менее «похож» на равнобедренный.

По мере того, как точка уходит все дальше и дальше, начинает превалировать другой фактор. Очевидно, что самая длинная сторона удовлетворяет неравенству , откуда следует, что и . В процессе движения точки длина стороны остается постоянной, а длина стороны стремится к бесконечности, откуда следует, что и , а значит, . Образно говоря, последнее соотношение можно истолковать так: треугольник становится все более и более «похож» на равнобедренный треугольник с «почти равными» сторонами и .

Итак, сделанное наблюдение показывает, что сходство или несходство треугольника с равнобедренным связано с величиной расстояния между основаниями медианы и биссектрисы.

Дадим теперь точные определения.

Определение 1. Медианно-биссектральной частью стороны треугольника называется отрезок, концами которого являются основания медианы и биссектрисы, проведённые к этой стороне.

Для краткости будем называть их mb-частью или mb-отрезком стороны треугольника.

Определение 2. Индексом разносторонности угла называется число, равное отношению длины mb-части противоположной стороны к этой стороне.

Отметим одно неочевидное обстоятельство: определение индекса разносторонности угла похоже на определение давления в физике. Действительно, давление , производимое силой на фигуру площади , измеряется по формуле , то есть представляет собой силу, приходящуюся на единицу площади. Подобно этому, индекс разносторонности представляет собой ту часть mb-отрезка, которая приходится на единицу длины стороны треугольника.