Расстояние от точки до геометрической фигуры
Настоящий проект начинается с анализа житейского, донаучного опыта школьников в области геометрии. На этом фоне рассматривается содержание школьного учебника геометрии. Выявляется противоречие между достаточно богатым геометрическим опытом детей и относительной простотой (первоначальностью, примитивностью) школьного учебника. Оно и порождает задачу, которая даёт школьнику первоначальный опыт математического исследования.
О пловце, береге и расстоянии от точки до фигуры
Мы начнём наш анализ с шуточного рассказа, из которого сделаем серьёзный геометрический вывод. Значимость нашего рассказа существенно возрастёт, если по его окончании читатель самостоятельно оценит тот минимальный возраст детей, в котором они способны понять его основное содержание. Конец рассказа будет отмечен смайликом J.
Рассказ. Три друга, Петя, Ваня и Саня, пришли в точку 
на берегу морской бухты и поплыли (рис. 23). Едва они отплыли, у Пети свело ногу, поэтому он решил возвратиться на берег. Куда ему нужно плыть, вперёд, назад, направо или налево? Очевидно, что ему нужно плыть назад, потому что ближайшей точкой берега является точка . При этом Пете придётся проплыть расстояние, равное длине отрезка 
.
Ваня и Саня поплыли дальше. Когда они приплыли в точку 
, Ваня почувствовал сильную усталость, поэтому он решил возвратиться на берег. Куда ему нужно плыть, вперёд, назад, направо или налево? Очевидно, что ему нужно плыть налево, потому что ближайшей точкой берега является точка 
. При этом Ване придётся проплыть расстояние, равное длине отрезка 
.
|
|
|
Саня продолжал плыть вперёд, однако решил держаться поближе к берегу, и правильно сделал. Когда он доплыл до точки 
, в лицо ему плеснула высокая волна, он наглотался воды и был вынужден возвратиться на берег. Куда ему нужно плыть, вперёд, назад, направо или налево? Очевидно, что ему нужно плыть направо, потому что ближайшей точкой берега является точка 
. При этом Сане придётся проплыть расстояние, равное длине отрезка 
.
Одинаково ли поступают друзья в сложной или даже критиче-
Рис. 23. Куда плыть?
ской ситуации? На первый взгляд, они действуют по-разному, потому что один плывёт назад, другой налево, а третий направо. На самом же деле они действуют совершенно одинаково, потому каждый из них плывёт к ближайшей точке берега. Давайте дадим следующее шуточное определение: «Расстоянием между пловцом и берегом называется расстояние от пловца до ближайшей точки берега». J
Мы видим, что наш рассказ является отнюдь не трудным для восприятия детей, и его основное содержание понятно школьнику и в 8-м, и в 7-м классе, а на самом деле и в более раннем возрасте, нижнюю границу которого трудно определить. Между тем, в процессе рассказа дети сталкиваются со сложным геометрическим объектом. Действительно, спасительный берег может оказаться чрезвычайно изрезанным, может включать с себя криволинейные участки, может иметь вид островков и т.д. Автор исходит из следующего предположения: житейский, донаучный опыт детей достаточен для того, чтобы осмыслить и понять вышеприведённое шуточное определение.
|
|
|
Сделанное предположение означает, что школьный учебник должен развивать те представления детей, которые сложились у него до начала регулярного изучения расстояний. В определённом, весьма специальном, смысле такого развития не происходит, потому что в курсе планиметрии изучается только расстояние от точки до прямой, а в курсе стереометрии – от точки до плоскости. При этом остаётся непонятым, как измерить расстояние от точки до луча, до отрезка, до окружности и т.п. Другой вопрос, а нужно́ ли большинству школьников такое углублённое понимание. Здесь мы не обсуждаем данный вопрос, более того, осознаем возможность отрицательного ответа. Однако даже в этом случае изучение расстояний от точки до сложных геометрических фигур может иметь место в виде исследовательской работы школьников. Один из многих возможных проектов был реализован под руководством автора в рамках программы «Открытие».
|
|
|
Итак, после анализа нескольких ситуаций, подобных описанной в рассказе, дети готовы к восприятию следующего определения.
Определение. Расстоянием от точки 
до геометрической фигуры 
называется расстояние от точки до ближайшей к ней точки фигуры .
Очевидно, что это определение не применимо к тем ситуациям, когда фигура не содержит точки, ближайшей к точке . Примером может служить открытый круг и любая точка , открытый луч и точка на его продолжении, и вообще такие ситуации возникают достаточно часто. Тем не менее, в рамках данного раздела мы будем пользоваться именно этим определением, потому что оно расширяет житейские представления детей о расстоянии. Если же кто-либо из учеников заметит несовершенство определения, это будет хорошим поводом обсудить его обобщение.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 262; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!