Пересечение прямой с поверхностью

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 17Следующая ⇒

В общем случае указанная задача решается следующим образом. Через заданную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью геометрического тела. Точки пересечения этих двух линий являются искомыми точками пересечения.

Пример 1. Построить точки пересечения прямой l с пирамидой. Определить видимость прямой (рис. 108).

Рис. 108

Через прямую l проводим фронтально-проецирующую плоскость α^П₂, l₂≡ α₂. Строим линию пересечения плоскости α с поверхностью пирамиды. На фронтальной проекции отмечаем 1₂, 2₂, 3₂, в которых α₂ пересекает проекции ребер. В проекционной связи строим 1₁, 2₁ и 3₁_. Соединяем горизонтальные проекции 1₁, 2₁, 3₁ ломаной линией с учетом видимости. На горизонтальной плоскости проекций все грани пирамиды видимы. Следовательно, треугольник 1₁-2₁-3₁ видимый (рис. 109). На пересечении горизонтальной проекции l ₁ с горизонтальной проекцией 1₁-2₁-3₁ отмечаем горизонтальные проекции M ₁ и N ₁ точек М и N. Строим фронтальные проекции M ₂ и N ₂ на l ₂.

Рис. 109 Рис. 110

Определяем видимость прямой l. Между полученными точками M и N на обеих проекциях прямая невидима всегда. Горизонтальная проекция l ₁ невидима только между M ₁ N ₁. На плоскости П₂: точка М находится на видимой грани ASB, следовательно, М ₂ видима и фронтальная проекция l ₂ видима до М ₂. Точка N принадлежит грани А SC, невидимой относительно П₂. Следовательно, фронтальная проекция N ₂ невидима и фронтальная проекция l ₂ от N ₂ до ребра S ₂ C ₂ невидима (рис. 110).

Пример 2. Построить точки пересечения прямой l с конусом. Определить видимость прямой (рис. 111).

Рис. 111

Для определения точек пересечения прямой с конусом целесообразно через прямую l провести плоскость, проходящую через вершину конуса S, которая пересечет поверхность конуса по образующим. Зададим плоскость α двумя пересекающимися прямыми m и l. Для определения образующих S4 и S5, по которым плоскость α пересекает поверхность конуса, построена линия 2–3 пересечения плоскости α с плоскостью основания конуса. На пересечении α₁ с основанием конуса отмечаем 4₁ и 5₁ точек 4 и 5 (рис.112).

Рис. 112 Рис. 113

Горизонтальные проекции образующих S₁4₁и S₁5₁ пересекаются с горизонтальной проекцией l₁ в точках М₁ и N₁_, а затем по линиям связи отмечаем проекции М₂ и N₂ точек М и N.

Для определения видимости достаточно установить видимость точек пересечения ее с поверхностью. Видимость точек определена по видимости образующих, проходящих через них. Точка N ₂ не видима, так как принадлежит невидимой образующей относительно П₂, следовательно, прямая l ₂ невидима до очерковой образующей. Точки M ₁ и N ₁ видимы, так как находятся на видимых относительно П₁ образующих. Между полученными точками M и N прямая не видима на обеих проекциях. За очерком поверхности прямая видима всегда (рис. 113).

Пример 3. Построить точки пересечения прямой l со сферой. Определить видимость прямой (рис. 114).

Рис. 114

Через прямую проводим вспомогательную плоскость так, чтобы линия пересечения поверхности сферы с плоскостью была простой геометрической формы – окружность. Рационально провести горизонтальную плоскость α, l ₂ ≡ α₂ (рис. 115). Плоскость α пересекает поверхность сферы по окружности радиуса R.

Рис. 115 Рис. 116

На пересечении горизонтальной проекции l ₁ и окружности радиуса R отмечаем искомые горизонтальные проекции M ₁ и N ₁. Фронтальные проекции M ₂ и N ₂ строим на фронтальной проекции l ₂ прямой l.

Определяем видимость прямой l. Между полученными точками M и N прямая всегда невидима на обеих проекциях. Точки M ₂ и N ₂ находятся выше экватора, значит горизонтальные проекции M ₁ и N ₁ видимы. Горизонтальная проекция прямой l ₁ видима (невидима только от M ₁ до N ₁). Фронтальная проекция l ₂ до М₂ видима, так как точка М лежит на видимой части сферы относительно плоскости проекций П₂. Точка N лежит на невидимой части сферы относительно плоскости проекций П₂, следовательно, фронтальная проекция l ₂ от N ₂ до очерка сферы невидима. За очерком сферы прямая l всегда видима (рис. 116).

Пример 4. Построить точки пересечения прямой l со сферой. Определить видимость прямой (рис. 117).

Рис. 117

Проводим через прямую l вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость α. Плоскость пересекает поверхность сферы по окружности, которая на плоскость П₂ спроецируется в эллипс. Чтобы не строить эллипс, воспользуемся методом дополнительного проецирования на плоскость П₄ – горизонтально-проецирующую и параллельную прямой l. Тогда линия пересечения спроецируется на П₄ в окружность радиуса R.

Рис. 118 Рис. 119

Строим дополнительную проекцию прямой АВ на плоскость П₄ (рис. 118). На пересечении отмечаем дополнительные проекции точек М₄ и N ₄_.Затем строим горизонтальную и фронтальную проекции точек М и N. Видимость прямой l установлена по видимости точек М и N. Точка М расположена выше экватора сферы, т. е. на видимой относительно П₁ половине сферы, а точка N – ниже экватора, т. е. на невидимой половине. Поэтому относительно П₁ точка N – видима, а точка M – невидима (закрыта в скобки). Относительно П₂точки М и N видимы, поскольку находятся перед главным меридианом сферы (рис. 119).

Пересечение поверхностей

Для построения линии пересечения двух поверхностей нужно найти ряд точек, общих для обеих поверхностей, и соединить полученные точки в определенной последовательности с учетом видимости.

Характер линии пересечения поверхностей зависит от формы поверхностей и их взаимного расположения. В общем случае линией персечения может быть:

а) пространственная ломаная линия – при пересечении многогранников

б) пространственная кривая – при пересечении двух кривых поверхностей или состоящая из отрезков плоских кривых при пересечении кривой поверхности и многогранника.

В некоторых случаях линия пересечения может быть плоской кривой –окружностью, эллипсом.

Пересечение многогранников

Линия пересечения многогранников представляет собой ломаную линию, каждое звено которой является отрезком линии пересечения граней первого и второго многогранника. Общий порядок решения задачи следующий.

1. Определяем те ребра каждого многогранника, которые не пересекают граней другого. Эти ребра, очевидно, не будут участвовать в построениях.

2. Определяем точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго.

3. Определяем точки пересечения ребер второго многогранника с ребрами первого.

4. Соединяем найденные точки. Соединяем те точки, которые лежат на одних и тех гранях каждого из многогранников.

Пример 1. Построить линию пересечения пирамиды с призмой (рис. 120).

Из чертежа видно, что ребра M, N, E призмы не пересекают граней пирамиды, поэтому надо определять точки пересечения граней призмы с ребрами пирамиды. Пирамида полностью пронизывает призму, линия пересечения состоит из двух частей.

Рис. 120

Призма занимает горизонтально-проецирующее положение. Грань призмы NE пересекает ребра пирамиды в точках 1, 2, 3. Отмечаем горизонтальные проекции точек 1₁, 2₁, 3₁ на пересечении горизонтальных проекций ребер пирамиды с гранью. Затем по линии связи на соответствующих ребрах пирамиды отмечаем фронтальные проекции этих точек. Фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂ соединяем с учетом видимости. Грани А SC и BS А видимы относительно фронтальной плоскости проекций П₂, следовательно, отрезки 1₂-2₂ и 1₂-3₂ видимы. Отрезок 2₂-3₂ принадлежит невидимой грани пирамиды CSB, следовательно, он невидим. Аналогично строим точки пересечения грани призмы MN с ребрами пирамиды. Линия пересечения состоит из двух замкнутых ломаных линий. Определяем также видимость ребер пирамиды и граней призмы (рис. 121).

Рис. 121

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 762; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!