СВОБОДНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Общие сведения о колебаниях
Колебаниями называются процессы или движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания широко распространены в природе и технике, например, переменный электрический ток, электромагнитные волны, качание маятника часов и т.д.
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Изучение колебаний начнем с механических колебаний.
В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером могут служить колебания корабля на морской волне.
Автоколебания и параметрические колебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, но момент времени, когда осуществляются эти воздействия, задается самой системой. Система сама управляет внешним воздействием.
Частным видом колебания является периодическое колебательное движение.
|
|
|
Колебания, при которых состояние движения точно повторяется через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьший промежуток времени Т, через который повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание, называется периодом. Рассмотрим колебания шарика, зажатого между двумя пружинами.
Обе пружины одинаково растянуты, и груз находится в равновесном положении 0 (рис. 9.1.1).
Из рассмотренного примера видно, что колебания шарика будут происходить под влиянием упругой силы F, которая пропорциональна смещению х и направлена к положению равновесия. Следовательно,
. (9.1.1)
Когда тело выведено из положения равновесия, возникает сила, которая стремится возвратить его в начальное положение. Природа этой силы в различных колебаниях может быть различной. Наличие возвращающей силы еще недостаточное условие для возникновения колебаний. Должен участвовать и другой фактор, не позволяющий колеблющемуся телу сразу остановиться в положении устойчивого равновесия. Этим фактором является инерция колеблющегося тела.
Рассмотрим колебания пружинного маятника (рис. 9.1.2). Если пружину растянуть или сжать, то возникают силы, стремящиеся вернуть ее в исходное состояние. При небольших деформациях для пружины справедлив закон Гука:
|
|
|
F = - kx,
где k – коэффициент пропорциональности;
x - величина деформации пружины.
Пусть пружина закреплена одним концом и свободно висит (рис. 9.1.2). В этом состоянии она не деформирована и длина ее равна lо.
Прикрепим к свободному концу пружины небольшой груз, например, шарик массой т. Подвешенный шарик растянет пружину и удлинит ее на величину Dlо. Согласно закону Гука в растянутой пружине возникает сила, стремящаяся вернуть ее в недеформированное состояние.
Такую силу называют восстанавливающей силой. Величина этой силы уравновешивается грузом, так что вся система (пружина и шарик) находится в состоянии равновесия.
Состояние равновесия будем рассматривать как исходное положение пружинного маятника, а все дальнейшие смещения его оценивать координатой х, отсчитываемой от положения равновесия. Ось х направим вертикально вниз, так что положительное значение координаты х соответствует растяжению, а отрицательное – сжатию пружинного маятника.
Сообщим шарику смещение х, а затем отпустим. Согласно закону Гука на шарик действует восстанавливающая сила: F = - kx.
|
|
|
Знак «минус» указывает на то, что восстанавливающая сила направлена противоположно направлению смещения шарика от положения равновесия. Если пружина растянута (x > 0), то эта сила стремится сжать пружину, а если сжата (x < 0), - растянуть. Благодаря действию восстанавливающей силы шарик будет совершать колебания относительно положения равновесия. Предположим, что никакие внешние силы колебаниям маятника не препятствуют. В этом случае на маятник, смещенный от положения равновесия, действует только восстанавливающая сила. Согласно второму закону Ньютона:
ma = F, (9.1.2)
где а – ускорение маятника.
Ускорение можно представить как вторую производную от координаты по времени. Используя формулу (9.1.2), получаем
.
Преобразуем это уравнение:
.
Так как к > 0 и m > 0, то их отношение можно приравнять квадрату некоторой величины. Обозначим
. (9.1.3)
Окончательно получаем
. (9.1.4)
|
|
|
Дифференциальное уравнение (9.1.4) получено в таком виде благодаря тому, что на маятник действует сила упругости, подчиняющаяся закону Гука. Встречаются другие по своей природе неупругие силы, действия которых определяются также формулой F = - kx. Например, если шарик, подвешенный на нити, отклонять от положения равновесия, то результирующая сила, равная сумме сил тяжести и натяжения нити, будет возвращать его в состояние равновесия. Эта сила не является упругой, но математически она может быть выражена формулой F = - kx.
Поэтому любые силы вида F = - kx называются квазиупругими.
Уравнение (9.1.4) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его решение имеет вид
; 
(9.1.5)
Величины А и j о являются произвольными постоянными. Они могут быть получены, если заданы начальные условия: смещение и скорость в начальный момент времени.
, (9.1.6)
где f - значение некоторой колеблющейся величины (смещение х, сила переменного тока i и т.д.) в момент времени t;
А - максимальное смещение колеблющейся величины от положения равновесия, называемое амплитудой колебаний;
w 0 - круговая (циклическая) частота;
j о - начальная фаза колебаний указывает, из какого положения начались колебания;
( w 0 t + j о) - фаза колебаний в момент времени t.
Фаза колебаний определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени.
 |
График функции cos и sin приведен на (рис. 9.1.3). Наименьший промежуток времени t, через который повторяются значения всех величин, характеризующих периодическое колебание, называется периодом Т. За период фаза должна измениться на 2p, т.к. только при этом сохранится значение косинуса (синуса).
|
Поскольку cos– периодическая функция с периодом 2p, то можно записать
.
Но через период Т, за который фаза колебания получает приращение 2p, все физические величины повторяются.
Следовательно:
.
Если функции равны, то равны и аргументы:
,
откуда
. (9.1.7)
Циклическая частота – число колебаний, которое происходит за 2π секунд.
Число полных колебаний, совершаемых за единицу времени, называется линейной частотой колебаний:
. (9.1.8)
Единица частоты герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при котором за 1 секунду совершается 1 цикл колебаний.
Из выражений (9.1.7) и (9.1.8) получим
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 239; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!