Определение динамических реакций, возникающих при течении жидкости
Для определения динамических реакций стенок каналов, труб, водоводов, возникающих при установившемся течении жидкости, используется теорема об изменении количества движения в интегральной или дифференциальной формах:
или 
,
где 
– импульс силы 
за время 
.
Пример 4.6
Определить горизонтальную составляющую 
силы давления на опору колена трубы, возникающую при движении воды. Труба постоянного сечения имеет радиус 
, вода течёт с постоянной скоростью 
(Рис. 4.6).
|
| Рис. 4.6 |
При стационарном течении несжимаемой жидкости на прямолинейных участках трубы количество движения частиц жидкости не изменяется, так как скорость частиц постоянна.
В качестве механической системы рассматриваем массу жидкости, заключённую в начальный момент времени 
в объёме между сечениями 
и 
, проведёнными на прямолинейных участках трубы. За элементарный промежуток времени 
рассматриваемая масса переместится и займёт положение между сечениями 
и 
.
Вычислим изменение количества движения:
,
где
– количество движения массы жидкости в объёме между сечениями и ;
– количество движения массы жидкости в объёме между сечениями и ;
– количество движения массы жидкости в объёме между сечениями и .
Как видно, изменение количества движения жидкости за время 
равно разности количеств движения вытекающей из первоначального объёма жидкости и количества движения 
жидкости, втекающей в этот объём.
|
|
|
В проекциях на горизонтальную ось 
имеем:
,
где 
– плотность жидкости. Отсюда:
.
Заметим, что единственная внешняя сила, которая имеет ненулевую проекцию на ось , это горизонтальная составляющая силы реакции стенок трубы 
:
.
Учитывая третий закон Ньютона, получаем искомую горизонтальную силу давления воды на стенки трубы:
.
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 35.7; 35.10; 35.11; 35.14; 35.17; 35.18; 35.19; 35.20; 36.9; 36.10; 36.11; 36.12; 36.13.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-29.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси
Пример 4.7
Маховик вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс, с угловой скоростью 
. Электрический тормоз создает тормозящий момент, пропорциональный угловой скорости маховика 
. Момент 
от трения в подшипниках считается постоянным (Рис.4.7). Определить, через какой промежуток времени 
остановится маховик, если момент инерции маховика относительно оси вращения 
.
|
|
|
|
| Рис.4.7 |
Дифференциальное уравнение вращательного движения в рассматриваемом случае имеет вид:
или 
Интегрируя полученное уравнение при заданных начальных условиях:
определяем время торможения:
.
Пример 4.8
Шарик 
, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня 
длины , приводится во вращение вокруг вертикальной оси 
с начальной
угловой скоростью (Рис. 4.8). Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости 
. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость стержня станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов 
, которое сделает стержень за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.
В динамике, также как и в статике, существенное значение имеет правильный выбор тела, движение которого будет рассматриваться. В данной задаче имеет смысл рассмотреть движение системы, состоящей из шарика и стержней и . При таком выборе неизвестные реакции опор не войдут в уравнение движения. На Рис. 4.8 изображены все внешние силы, действующие на указанную систему. Из всех этих сил только одна – сила сопротивления создает момент относительно оси вращения системы:
|
|
|
или 
Поскольку формулировка задачи содержит несколько вопросов, имеет смысл интегрировать уравнение с переменным верхним пределом:
откуда 
и 
|
| Рис.4.8 |
Полагая в полученном решении 
, определяем промежуток времени , по истечение которого угловая скорость уменьшится наполовину:
Число оборотов , сделанных стержнем за время , связано с углом поворота стержня: 
. Интегрируя равенство 
, получаем:
Подставляя сюда значение , получаем:
и, следовательно, 
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 229; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!