Вращение механической системы с изменяющимся осевым моментом инерции
Если в процессе движения момент инерции системы относительно оси вращения изменяется, используется теорема об изменении момента количества движения механической системы относительно неподвижной оси:
.
Пример 4.9
Круглая горизонтальная платформа вращается без сопротивления вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 
. При этом на расстоянии 
от оси вращения стоит человек, масса которого равна 
(Рис.4.9). Момент инерции платформы относительно оси вращения равен 
, радиус – 
. Как изменится угловая скорость платформы, если человек перейдет на ее край и начнет двигаться по ее ободу против вращения с относительной скоростью 
?
| |
|
| |
| Рис. 4.9 | |
Приложенные к системе внешние силы (силы тяжести и реакции шарнира) не создают момента относительно оси вращения, следовательно, имеем закон сохранения кинетического момента относительно оси:
Отсюда:
где 
– скорости, сообщаемые человеку платформой. Окончательно получаем:
Пример 4.10
Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной относительной скоростью относительно стрелы (Рис. 4.10). Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный вращающий момент 
. Определить угловую скорость крана в зависимости от расстояния 
от тележки до оси вращения, если масса тележки с грузом равна ; момент инерции крана без тележки относительно оси вращения равен 
. Вращение начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии от оси крана.
|
|
|
Теорема об изменении кинетического момента относительно оси в рассматриваемом случае приводит к уравнению:
интегрируя которое при нулевых начальных условиях, получаем:
|
| Рис. 4.10 |
Кинетический момент системы относительно оси вращения складывается из кинетического момента крана без тележки и кинетического момента тележки. Количество движения тележки можно разложить на две составляющие – относительную, которую получает тележка при своем движении по стреле крана, и переносную, которую сообщает тележке кран при повороте стрелы. Момент относительно оси вращения крана создает только переносная составляющая количества движения тележки.
Таким образом,
где 
– скорость той точки стрелы, в которой находится тележка. Окончательно получаем:
Следовательно, 
Относительное движение тележки равномерное:
Отсюда: 
Совместное использование теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента
Системы, состоящие из тел, совершающих простейшие движения
Если в состав механической системы входят как вращающиеся тела, так и поступательно движущиеся тела, то имеет смысл рассматривать движение каждого тела в отдельности, применяя для описания соответствующего движения теорему о движении центра масс или теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения.
|
|
|
Пример 4.11
При пуске в ход электрической лебедки к барабану 
приложен вращающий момент, пропорциональный времени 
. Груз 
массы поднимается при помощи каната, намотанного на барабан (Рис. 4.11). Определить угловую скорость барабана. Барабан считать однородным сплошным цилиндром массы 
радиусом . В начальный момент система находилась в покое.
Рассмотрим движение каждого тела в отдельности. Силовые и кинематические схемы изображены на Рис. 4.11. Тело движется поступательно и прямолинейно. Записывая теорему о движении центра масс в проекциях на вертикаль, получаем:
|
| Рис. 4.11 |
Дифференциальное уравнение вращательного движения для тела представляется в виде:
Поскольку масса троса не учитывается, 
. Скорость любой точки на ободе барабана равна скорости груза, следовательно, 
.
Исключая из полученной системы уравнений 
и 
, получаем дифференциальное уравнение
|
|
|
интегрируя которое при заданных начальных условиях
находим: 
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 295; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!