Плоскопараллельное движение твёрдого тела
Дифференциальные уравнения движения имеют вид:
; 
где 
— момент инерции тела относительно оси 
.
Пример 4.12
Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом 
к горизонту (Рис. 4.12). Определить диапазон углов наклона плоскости к горизонту, при которых возможно качение без скольжения, и скорость оси диска. В начальный момент диск находился в покое.
При изучении движения тела по наклонной плоскости имеет смысл одну из координатных осей направить вдоль наклонной плоскости, а вторую перпендикулярно к ней. Кинематическая и силовая схемы представлены на Рис. 4.12. Движение диска плоскопараллельное; скорость 
центра масс параллельна наклонной плоскости. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения принимают вид:
( 
)
где 
– радиус диска; 
.
Нетрудно видеть, что три уравнения движения содержат четыре неизвестные. По условию колесо катится без скольжения и, следовательно, точка касания – точка 
является мгновенным центром скоростей. В таком случае скорость точки 
и угловая скорость колеса связаны равенством
|
| Рис. 4.12 |
Разрешим систему уравнений ( ) относительно ускорения центра масс:
Отсюда:
Тогда
|
|
|
Остается определить, при каких углах возможно качение без скольжения. При отсутствии скольжения возникающая сила трения должна удовлетворять неравенству
( 
)
где 
– коэффициент трения. Определяя из уравнений движения ( ) 
и 
, находим:
Тогда неравенство ( ) представляется в виде:
Отсюда: 
Пример 4.13
Колесо массы 
радиуса катится по горизонтальному прямолинейному рельсу. К колесу приложен вращающий момент 
(Рис. 4.13). Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его плоскости, равен 
. Коэффициент трения скольжения между колесом и рельсом равен . Какому условию должен удовлетворять вращающий момент, чтобы колесо катилось без скольжения? Моментом сопротивления качению пренебречь.
|
| Рис. 4.13 |
В зависимости от приложенной активной нагрузки различают ведущие и ведомые колеса. В данной задаче рассматривается ведущее колесо, поскольку к нему приложен вращающий момент. Силовая и кинематическая схемы изображены на Рис. 4.13. Обратим внимание на направление силы трения 
. Сила трения направлена против скорости возможного проскальзывания своей точки приложения – точки . Если колесо пробуксовывает, то скорость точки 
направлена влево, а сила трения, соответственно, вправо – в сторону движения оси колеса. Ряд сил на чертеже изображен пунктиром – это составляющие реакции корпуса экипажа, представленные силами 
и 
. Эти силы присутствуют в реальной ситуации, но при решении данной задачи мы не будем их учитывать. Моментом сопротивления качению 
также пренебрегаем. Таким образом, реакция экипажа сводится в данной задаче к паре сил, создающей вращающий момент .
|
|
|
Уравнения плоскопараллельного движения тела в рассматриваемом случае принимают вид:
Предположим, что колесо катится без проскальзывания. Тогда точка касания 
колеса и опорной поверхности будет для колеса мгновенным центром скоростей и, следовательно,
Возникающая при этом сила трения будет силой трения покоя, т.е. будет удовлетворять условию:
Определяя из системы уравнений силу трения и нормальную реакцию 
и подставляя полученные результаты в неравенство, находим условия, при которых возможно качение ведущего колеса без проскальзывания:
|
|
|
Пример 4.14
Колесо массы радиуса катится по горизонтальному прямолинейному рельсу без проскальзывания. К оси колеса приложена постоянная сила 
(Рис. 4.14). Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его плоскости, равен . Определить закон движения оси колеса. Моментом сопротивления качению пренебречь.
|
| Рис. 4.14 |
В данной задаче рассматривается ведомое колесо, поскольку вращающий момент отсутствует, а колесо приводится в движение силой , приложенной к его оси. Силовая и кинематическая схемы изображены на Рис. 4.14. Обратим внимание на направление силы трения . Сила трения направлена против скорости возможного проскальзывания своей точки приложения - точки , т.е. влево – в сторону, противоположную направлению движения оси колеса.
Уравнения плоскопараллельного движения тела в рассматриваемом случае принимают вид:
Дополняя полученную систему уравнений кинематическим соотношением
разрешаем ее относительно ускорения центра масс колеса:
|
|
|
Остается дважды проинтегрировать полученное уравнение при заданных начальных условиях:
Учитывая, что 
получаем:
Обратим внимание на то обстоятельство, что сила трения на ведущем и ведомом колесах играет прямо противоположную роль. Для ведущего колеса сила трения – движущая сила, единственная причина возникновения ускорения центра масс колеса. Для ведомого колеса сила трения выступает в роли силы сопротивления движению центра масс тела. С другой стороны, ведущая сила трения подтормаживает вращение ведущего колеса, создавая возможность отсутствия скольжения точки касания колеса и опорной поверхности. Сила трения ведомого колеса создает его вращение, предотвращая скольжение точки контакта. Как видно, преимущество колеса, как устройства контакта движущегося экипажа с неподвижной опорной поверхностью, состоит в том, что колесо создает возможность получить в точке контакта силу трения покоя, преодоление которой не требует дополнительных энергетических затрат. Альтернативой колесу являются устройства, резко снижающие коэффициент трения скольжения.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 230; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!