Обобщенные координаты и обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из 
материальных точек, на которую наложено 
голономных идеальных удерживающих связей. Среди 
координат точек системы независимых будет только 
координат. Остальные определяются через независимые при помощи уравнений связей.
Любой набор параметров, определяющих положение механической системы, называются ее обобщенными координатами: 
Для голономных систем число независимых обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы механической системы. Заметим, что обобщенные координаты могут иметь различный геометрический или механический смысл. Ими могут быть линейные и угловые величины, а также параметры, имеющие размерность площади, объема и т.п.
Радиусы–векторы точек системы будут функциями обобщенных координат и времени:
Вычислим вариации радиусов–векторов через вариации обобщенных координат. Напомним, что эти вариации (другими словами, возможные перемещения точек системы) вычисляются при фиксированном времени:
Сумма работ всех приложенных к системе активных сил на ее возможном перемещении называется возможной работой. Возможная работа может быть вычислена как через возможные перемещения точек приложения сил, так и через вариации обобщенных координат
|
|
|
множитель 
при вариации обобщенной координаты 
в выражении для возможной работы активных сил системы называется обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате 
.
Уравнения Лагранжа 2–го рода
Общее уравнение динамики (7.7) даёт возможность составлять дифференциальные уравнения движения, не содержащие реакций идеальных связей. Для сравнительно простых механических систем непосредственное применение этого уравнения вполне оправдано, однако, в более сложных случаях использование общего уравнения динамики приводит, как правило, к относительно сложным преобразованиям. Поэтому значительно удобнее пользоваться не общим уравнением динамики, а вытекающими из него уравнениями Лагранжа 2–го рода, в которых для голономных систем основные трудности преобразований преодолеваются уже в общем виде.
Уравнения Лагранжа 2-го рода имеют вид:
где
– кинетическая энергия системы; – обобщенная координата; 
– обобщенная скорость; 
– обобщенная сила; 
– число степеней свободы системы.
Пример
Каток 
, представляющий собой сплошной однородный цилиндр массы 
радиуса 
, катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. К оси катка привязан трос, переброшенный через неподвижный блок 
и растягиваемый грузом 
, масса которого 
(Рис.7.11). Блок представляет собой сплошной однородный цилиндр массы 
. В начальный момент система находится в покое, пружина не растянута. Определить движение системы, предполагая, что при качении катка возникает постоянный момент сопротивления 
.
|
|
|
|
| Рис. 7.11 |
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату 
оси катка и удлинение пружины 
. Вычислим кинетическую энергию системы:
Уравнения Лагранжа 2–го рода в рассматриваемом случае имеют вид:
Кинетическая энергия в рассматриваемом случае не зависит явным образом от обобщенных координат, поэтому
Вычислим частные производные по обобщенным скоростям:
|
|
|
Для вычисления обобщенных сил используем формулы (7.23): пусть 
тогда
пусть 
тогда
где 
— коэффициент жесткости пружины.
Положим для определенности 
В этом случае уравнения Лагранжа примут вид:
Интегрируя полученную систему уравнений при нулевых начальных условиях, находим:
где
причём, 
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
- Что называется обобщённой координатой и обобщённой скоростью?
- Что называется обобщённой силой и как её вычислить?
- Как выглядят уравнения Лагранжа 2-го рода?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 421; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!