Вычисление кинетической энергии абсолютно твердого тела
Получим формулы для вычисления кинетической энергии абсолютно твердого тела при некоторых его движениях.
1. При поступательном движении в любой момент времени скорости всех точек тела одинаковые. Полагая 
получаем:
(5.9)
где 
– скорость центра масс тела.
2. При вращении скорости точек тела пропорциональны расстояниям от точек до оси вращения. Полагая 
получаем:
(5.10)
где 
– момент инерции тела относительно оси вращения.
3. При плоскопараллельном движении тело скорость любой точки тела складывается из скорости центра масс и скорости, полученной точкой в её движении относительно системы Кёнига: 
. Для кинетической энергии механической системы получаем:
где 
– масса всей системы; 
– кинетическая энергия, полученная механической системой в ее относительном движении по отношению к системе Кёнига. Напомним, что скорость центра масс 
в системе Кёнига равна нулю 
.
По отношению к системе Кёнига тело совершает вращение вокруг оси 
. Таким образом,
(5.11)
где 
– момент инерции тела относительно оси 
|
|
|
Некоторые частные случаи вычисления работы силы
Работа силы тяжести
При вычислении работы силы тяжести будем считать, что мы рассматриваем ограниченную область пространства вблизи поверхности Земли, размеры которой малы по сравнению с размерами Земли.
Направим ось 
вертикально вверх. Точка 
с массой 
перемещается по некоторой траектории из положения 
в положение 
(Рис.5.2). Проекции силы тяжести на оси координат равны: 
где 
– ускорение свободного падения.
Вычислим работу силы тяжести:
|
| Рис. 5.2 |
Как видно, сила тяжести – потенциальная сила. Ее работа не зависит от траектории точки, а определяется перепадом высот 
между начальным и конечным положениями точки, будучи равной убыли потенциальной энергии 
материального тела.
Таким образом,
Работа силы тяжести положительна, если точка теряет высоту (опускается) и отрицательна, если точка набирает высоту.
Работа упругой силы
Понятие упругой силы обычно ассоциируется с реакцией линейно–упругой пружины. Направим ось 
вдоль пружины в сторону ее растяжения. Под 
понимаем удлинение пружины ( 
– длина нерастянутой пружины).
|
|
|
|
| Рис. 5.3 |
Сила реакции пружины пропорциональна ее удлинению 
где 
– коэффициент жесткости пружины. Разложим вектор скорости точки 
на две составляющие, одна из которых 
направлена вдоль пружины и определяет скорость ее растяжения, а вторая 
перпендикулярна пружине и определяет скорость точки 
, полученную при повороте пружины без изменения ее длины (Рис. 5.3).
Вычислим мощность упругой силы:
так как 
Работа упругой силы при перемещении конца пружины из в 
оказывается равной
Как видно, упругая сила потенциальна. Потенциальная энергия тела 
равна 
. Заметим, что если поворачивать пружину вокруг шарнира 
, не изменяя ее длины, то упругая сила не совершает работу.
Работа вращающего момента
|
| Рис. 5.4 |
Пусть сила 
приложена в некоторой точке тела, имеющего ось вращения. Тело вращается с угловой скоростью 
. Вычислим мощность и работу силы. Точка приложения силы описывает окружность. Разложим силу на составляющие по осям естественного трехгранника (Рис. 5.4):
Работу будет совершать только составляющая 
, направленная по касательной к траектории точки :
|
|
|
где 
– момент силы 
относительно оси вращения тела.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 203; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!