Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Теорема об изменении кинетической энергии относится к числу общих теорем динамики наряду с доказанными ранее теоремами об изменении количества движения и изменения момента количества движения.
Умножим каждое из дифференциальных уравнений движения точек механической системы скалярно на скорость соответствующей точки и сложим все полученные уравнения:
или 
Учитывая определения кинетической энергии механической системы и мощности силы, получаем:
(5.6)
Доказана теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Умножая равенство (5.6) на 
и учитывая определение элементарной работы силы, получаем:
(5.7)
т.е.
дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Для практических целей удобна интегральная форма записи теоремы об изменении кинетической энергии, которая получается путем интегрирования равенства (5.7) на некотором перемещении системы:
|
|
|
(5.8)
т.е.
изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил, совершенных на этом перемещении.
Работа внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы
Заметим, что в отличие от теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента в теорему об изменении кинетической энергии в общем случае входят внутренние силы.
Особый случай представляет геометрически неизменяемая механическая система, в частности, абсолютно твердое тело.
Скорости двух любых точек 
и 
геометрически неизменяемой механической системы связаны известным кинематическим соотношением:
причём 
Эти две точки взаимодействуют с силами равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны:
Заметим, что для механической системы эти силы являются внутренними.
|
|
|
Вычислим суммарную мощность этих двух сил:
т.к. 
Поскольку внутренние силы действуют попарно, получаем, что суммарная мощность, а следовательно, и суммарная работа всех внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы равна нулю при любых ее перемещениях.
Для геометрически неизменяемой механической системы теорема об изменении кинетической энергии является прямым следствием теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента. Тем не менее, ее использование часто оказывается удобным, особенно в тех случаях, когда необходимо определить зависимость каких–либо скоростей от перемещения, совершенного системой. Для геометрически изменяемой механической системы теорема об изменении кинетической энергии носит независимый характер.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 506; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!