Влияние постоянной силы на свободные незатухающие колебания

 

Пусть кроме восстанавливающей силы (2.1) на точку действует постоянная по модулю и направлению сила, например, сила тяжести. Для наглядности рассмотрим колебания груза, прикрепленного к концу пружины (Рис.2.3). На груз действуют две силы: сила тяжести и реакция пружины, величина которой пропорциональна удлинению пружины: .

Рис. 2.3

Выберем начало отсчета в положении статического равновесия ; ось  направим вертикально вниз. Тогда . Дифференциальное уравнение движения точки принимает вид:  

 

                               (2.16)

 

Учитывая условие статического равновесия:  приводим уравнение (2.16) к виду:

 

                                               (2.18)

 

Таким образом, наличие постоянной силы не изменяет характера движения – оно остается простым гармоническим колебанием. Действие постоянной силы приводит только к тому, что центр колебаний смещается в сторону действия постоянной силы.

 

 

Движение точки при наличии сопротивления

 

Пусть кроме восстанавливающей силы на точку действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости.  Дифференциальное уравнение движения

Рис. 2.4

 принимает вид:                                                         

                                                                                 (2.19)

Рассмотрим возможные случаи.

Случай малого сопротивления .  Решение уравнения (2.19)представляется в виде:

                                             (2.20)

где

или в виде:

 

                                                      (2.21)

 

где  и  или  и  — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Как видно из решения (2.21), рассматриваемое движение будет затухающим колебанием, поскольку благодаря наличию множителя  размахи колебаний будут со временем убывать, стремясь к нулю (Рис.2.4).

 

Случай большого сопротивления . Обозначая , получаем общее

Рис. 2.5

решение уравнения (2.19) в виде:

 

 

Как видно, колебаний в рассматриваемом случае не будет. Поскольку , с течением времени  убывает, стремясь к нулю, т.е. точка со временем асимптотически приближается к положению равновесия. Примерный характер движения показан на Рис.2.5.

 

Граничный случай .   Общее решение уравнения (2.19) имеет вид:

 

                                                                                                       (2.23)

 

Картина движения в этом случае будет качественно такой же, как в случае большого сопротивления (Рис.2.5).

 

 

Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления

 

Пусть на точку с массой  кроме восстанавливающей силы действует возмущающая сила вида (2.4). Влияние силы сопротивления мы рассмотрим в следующем параграфе. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

 

                 или                        (2.24)

где

                                                      

 

Общее решение неоднородного уравнения (2.24), как известно, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (2.8) и любого частного решения  уравнения (2.24). Частное решение  будем искать в виде:

 

                                                                                                         (2.25)

где  – любое число.

Подставляя предполагаемый вид решения (2.25) в уравнение (2.24), получаем:

 

                                     

 

Как видно, функция (2.25) действительно будет решением уравнения (2.24), если

                                                            

что возможно только при .

Таким образом, если , общее решение уравнения (2.24) имеет вид: 

 

Рис. 2.6

(2.26)

 

Как следует из полученного решения, движение точки в рассматриваемом случае представляет собой результат наложения двух колебаний: собственных с частотой , амплитуда  и начальная фаза  которых определяются начальными условиями, и вынужденных с частотой , равной частоте возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зависит.

Если частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, т.е., если , то рассмотренное частное решение не имеет смысла. Рассмотрим другое частное решение, которое получается из общего решения (2.26) при конкретных значениях произвольных постоянных.

                                                                      (2.27)

 

При  это частное решение имеет неопределенность вида , раскрывая которую (по правилу Лопиталя), находим:

        

 результате получаем:

                                                                                            (2.28)

 

Как видно, в том случае, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой, амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно возрастает (Рис.10.6). Такое явление называется резонансом. Резонанс играет важнейшую роль в акустике, радиотехнике, динамическом расчете сооружений и т.д.

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Что называется восстанавливающей силой?
2. Что называется амплитудой, частотой и периодом свободных незатухающих колебаний?
3. При каких условиях возникают свободные затухающие колебания?
4. При каких условиях возникает апериодическое движение?
5. Что называется резонансом и когда он возникает?

ЛЕКЦИЯ 3 (11)

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

---

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 221; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!