Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ДИНАМИКА)
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ И СОДЕРЖАНИЕ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (третий семестр)
Направление подготовки 270800 – Строительство_______
Профиль подготовки ______________________________
Квалификация (степень) выпускника бакалавр_______________________
Форма обучения очная ________________________
Составитель: проф. В.И.Антонов
г. Москва
2012г.
ЛЕКЦИЯ 1 (9)
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ, ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Основные понятия. Модели материальных тел
Как известно, под механическим движением понимают изменение с течением времени положения тела в пространстве по отношению к другим телам. Изучая движение какого-либо тела, необходимо указать другое тело – тело отсчёта, по отношению к которому рассматривается движение. С телом отсчёта жестко связывают систему координат. Тело отсчета, связанная с ним система координат и счетчик времени – часы образуют систему отсчёта. В классической механике считается, что время не зависит от движения и одинаково во всех точках пространства и во всех системах отсчёта.
|
|
|
Дадим определения основных моделей, используемых в теоретической механике.
Материальное тело, размерами и различием в движении отдельных точек которого можно пренебречь в рамках рассматриваемой задачи, называется материальной точкой.
2. Любое множество взаимодействующих материальных точек называется механической системой.
3. Если расстояние между любыми двумя точками механической системы не изменяется при любых механических взаимодействиях, то такая механическая система называется геометрически неизменяемой.
Фундаментальным понятием механики является сила, которая представляет собой количественную меру механического взаимодействия материальных тел. Сила является причиной изменения движения тела, к которому она приложена.
Кроме внешних воздействий, т.е. сил, характер движения любого тела определяется его инертностью, которая является одним из основных свойств движущейся материи. Это свойство проявляется в способности тела сохранять свое движение при отсутствии сил и изменять его под действием сил не мгновенно, а постепенно, тем медленнее, чем больше вещества содержится в теле. Одной из количественных мер инертности (инерции) тела является масса. Заметим, что масса полностью характеризует инерционные свойства тела при его поступательном движении.
|
|
|
Основные законы механики
Аксиома 1
Существует система отсчета, по отношению к которой материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы.
Такая система отсчёта называется инерциальной, иногда её условно называют неподвижной.
Аксиома 2 (Второй закон Ньютона.)
В инерциальной системе отсчета произведение массы материальной точки на ее ускорение равно приложенной к точке силе:
(1.1)
Аксиома 3 (Третий закон Ньютона.)
Две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и действующими по одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома 4 (Принцип независимости действия сил.)
Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то ускорение точки равно сумме векторов ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности.
|
|
|
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Положение материальной точки в системе отсчета определяется ее радиусом-вектором 
. Сила, действующая на точку может зависеть от положения точки, т.е. от её радиуса-вектора (например, упругая сила), скорости точки (например, сила сопротивления) и от времени. Следовательно, основное уравнение динамики материальной точки (1.1) в общем случае можно записать в виде:
(1.2)
Это равенство, представляющее собой физический закон, устанавливающий связь между массой точки, её ускорением и действующей на точку силой, можно одновременно рассматривать как дифференциальное уравнение, в котором радиус-вектор 
является искомой функцией, а время 
– аргументом. Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.
В зависимости от выбора системы координат можно получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки.
Записывая уравнение (1.2) в проекциях на оси ортогональной декартовой системы координат, получаем:
|
|
|
(1.3)
где 
– координаты точки; 
– проекции на координатные оси приложенной к точке силы.
Если траектория точки заранее известна, удобно использовать оси естественного трёхгранника. Напомним, что в этом случае положение точки определяется её дуговой координатой 
, а проекция вектора скорости на касательную к траектории 
, касательное 
и нормальное 
ускорения точки определяются по формулам:
где 
– радиус кривизны траектории в данной точке. Таким образом, дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трёхгранника имеют вид:
(1.4)
где 
– проекции на оси естественного трёхгранника приложенной к точке силы.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 628; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!