Плоскопараллельное движение твердого тела

 

В кинематике было установлено, что положение твердого тела, совершающего плоское движение, определяется тремя параметрами. За эти параметры примем координаты центра масс тела и угол поворота тела вокруг оси , перпендикулярной плоскости движения.

 

Рис.4.2

Пусть система координат , имеющая начало в центре масс тела, движется поступательно относительно неподвижной системы . Положение тела будет полностью определено, если известны координаты центра масс тела  и угол  между осью  и осью  системы координат , жестко связанной с телом и имеющей начало в центре масс тела (Рис.4.2).

В соответствии с теоремой о движении центра масс механической системы, получаем уравнения, связывающие координаты центра масс тела с приложенными к нему внешними силами:

                   (4.4)

 

Остается определить движение тела по отношению к осям Кенига , что можно сделать, используя теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс механической системы. Поскольку движение тела по отношению к осям  представляет собой вращение вокруг оси , получаем:

                                                                   (4.5)

где  — момент инерции тела относительно оси .

Уравнения (4.4) и (4.5) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.

 

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Кинетическая энергия механической системы

Работа и мощность силы. Потенциальная энергия

 

 

Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки. Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех ее точек.

                                                                                                                     (5.1)

 

Пусть точка  движется по известной траектории;  – одна из сил, действующих на точку (Рис. 5.1).

 

Элементарной работой силы называется величина, равная скалярному произведению вектора силы на элементарное перемещение точки приложения силы:

                                                                                 (5.2)

 

В зависимости от используемого способа задания движения точки её скорость может быть вычислена по одной из следующих формул:

 

                                              

 

Таким образом, для вычисления элементарной работы силы получаем формулы:

 

 

Работа силы на конечном перемещении  определяется как сумма соответствующих элементарных работ, т.е. как криволинейный интеграл, взятый вдоль дуги  траектории:

                                 

                                                               (5.3)

 

 

Рис. 5.1

 

В общем случае сила может зависеть от координат точки приложения силы, ее скорости и времени. Таким образом, для вычисления работы силы в общем случае необходимо знать траекторию точки приложения силы и закон ее движения по траектории. Однако, при решении большинства задач динамики именно закон движения точки и является искомым.

Рассмотрим силы, которые зависят только от положения точки, т.е. от ее координат, и времени. Такие силы называются позиционными. Физическое пространство, в котором на материальную точку действуют позиционные силы, называется силовым полем. В случае действия на точку позиционных сил интеграл (5.3) может быть вычислен, если известна только траектория точки приложения силы.

Особый класс составляют силы, работа которых не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положениями точки. Такие силы называются потенциальными.

Очевидно, что вычисление интеграла (5.3) лишь по известным начальному и конечному положениям точки возможно только в том случае, когда подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции координат:

 

                                                                                               (5.4)

 

Как следует из (13.3) и (13.4), работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном положениях:

 

                                                                                  

 

Потенциальной энергией механической системы называется сумма потенциальных энергий всех её точек.

Мощностью силы называется работа, произведённая в единицу времени:

 

.

Учитывая формулу (4.7), для вычисления мощности силы получаем:

 

                                                               ,                                                         (5.5)

 

т.е. мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости точки приложения силы.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Как выглядят дифференциальные уравнения поступательного движения абсолютно твёрдого тела?
2. Как выглядит дифференциальное уравнение вращательного движения абсолютно твёрдого тела?
3. Как выглядят дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения абсолютно твёрдого тела?
4. Что называется кинетической энергией материальной точки и механической системы?
5. Что называется элементарной работой силы и работой силы на конечном перемещении?
6. Что называется мощностью силы?

 

ЛЕКЦИЯ 5 (13)

 

---

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 303; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!