Нестационарный режим переноса.

1. Вывод уравнения переноса для n = 1.

В условия нестационарного режима происходит аккумулирование и выделение телом заряда. Поэтому уравнения закона переноса непосредственно не могут быть использованы для расчета. С их помощью должны быть выведены более сложные расчетные дифференциальные уравнения. В настоящем параграфе рассматривается простейший случай таких уравнений, относящихся к идеальному телу и одномерному полю потенциала.

Предположим, что в проводник слева входит поток J + dJ, в справа выходит J - (рис. 9). Величина потока

J = - L( ¶ P/ ¶ x).

Рис. 9. Схема распространения заряда в условиях

нестационарного режима и одномерного поля.

На участке dх системы приращение потока равно ( ¶ J/ ¶ х)/dх.

За время dt на этом участке выделяется заряд в количестве

dE = ( ¶J/ ¶х)/dхFdt = - L( ¶²P/ ¶x²)dVdt, (337)

где

dV = Fdх м³.

Проводимость считается величиной постоянной (тело идеальное). Согласно законам сохранения заряда и состояния, выделивший заряд (он превращается из подвижного в неподвижный - § 39) изменяет потенциал системы на величину

- ( ¶ P/ ¶ x)dt,

причем

dE = - ( ¶ P/ ¶ t)dtdV r c, (338)

где r - плотность системы, кг/м³;

c - удельная массовая (отнесенная к единице массы) емкость системы,

c = dК/dm. (339)

Приравняв правые части формул (337) и (338), окончательно получим

U = LZ, (340)

где U и Z - новые (динамические) поток и сила,

U = r c ( ¶ P/ ¶ t), (341)

Z = ¶²P/ ¶x². (342)

Выражение (340) является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Оно связывает между собой изменения потенциала во времени с изменениями потенциала в пространстве (с координатой). Его можно переписать также в виде

¶ P/ ¶ t = D( ¶²P/ ¶x²), (343)

где D - так называемая диффузивность,

D = L/( r c). (344)

Две степени свободы.

Для идеальной системы и одномерного поля потенциалов в условиях двух степеней свободы (n = 2) вывод, аналогичный предыдущему, приводит к следующим дифференциальным уравнениям

U₁ = L₁₁Z₁ + L₁₂Z₂; (345)

U₂ = L₂₁Z₁ + L₂₂Z₂, (345)

где

U₁ = r c_11P( dP₁/ dt); U₂ = r c_22P( dP₂/ dt); (346)

Z₁ = d²P₁/ dx²; Z₂ = d²P₂/ dx²; (347)

c_11P и c_22P - удельные массовые емкости ансора по отношению к первому и второму зарядам,

c_11P = dK_11P/dm; c_22P = dK_22P/dm. (348)

Емкости взяты при постоянных значениях потенциалов. Из уравнений (345) видно, что нестационарные потоки зарядов подчиняются тем же законам взаимного влияния, что и стационарные, определяемые уравнениями (270).

Общий случай.

Для идеальной системы с n степенями свободы и трехмерным полем потенциалов дифференциальные уравнения нестационарного переноса имеют вид

U_i = , (349)

где i = 1, 2, ..., n.

U_i = r c _iiP ( ¶ P_i/ ¶ t); (350)

Z_r = ( d²P_r/ dx²) + (d²P_r/ dy²) + (d²P_r/ dz²). (351)

Емкости взяты при постоянных потенциалах. Частным случаем этих уравнений служат уравнения Максвелла.

Неподвижный и подвижный заряд.

1. Разница между неподвижным и подвижным зарядом.

При рассмотрении закона состояния речь шла о том, что заряд определяет все свойства (состояние) системы, в том числе энергию, потенциалы, емкости и т.д. При этом не было особых причин задумываться над вопросом, в каком состоянии (подвижном или неподвижном) находится сам заряд. При выводе закона переноса уже со всей определенностью говорится о переносе заряда, т.е. речь идет о подвижном заряде. В связи с этим возникает законный вопрос, существует ли какая-нибудь разница между неподвижным и подвижным зарядом. Этот вопрос впервые возник при выводе нестационарных уравнений переноса (§ 38), когда пришлось различать заряд в подвижном или неподвижном состояниях. Речь идет, конечно, об одном и том же заряде, например, электрическом и т.д., которые покоится или двигается.

На поставленный вопрос надо ответить утвердительно: в зависимости от покоя или движения заряд обладает принципиально различными свойствами. Покоящийся (оседлый) заряд входит в состав микроансамблей (частиц). Поэтому он в соответствии с законом состояния определяет все свойства системы (ансамблей), в том числе потенциалы. Движущийся заряд не принадлежит ни одному из ансамблей (является как бы ничейным), поэтому он не может влиять на свойства системы. Наличие неодинаковых количеств покоящегося заряда на соседних участках системы (у соседних микроансамблей) приводит к появлению разности потенциалов, а следовательно, и потока заряда ( появляется движущийся заряд). Движущийся заряд определяет эффект переноса, но не влияет на свойства (состояние) системы. В первом приближении можно считать, что превращение покоящегося заряда в подвижный и наоборот происходит обратимо (без эффекта диссипации), т.е. без возникновения или уничтожения термического заряда диссипации).

Таким образом, величина dЕ, входящая уравнения законов состояния и переноса, имеет разный смысл. В первом случае она определяет количество покоящегося заряда, во втором – количество движущегося.

Независимость свойств системы от количества пронизывающего ее заряда есть чрезвычайно интересная и важная особенность явлений переноса. Благодаря этой особенности покоящийся и движущийся заряды можно рассматривать независимо один от другого. Сейчас трудно сказать о том, существует ли верхняя граница величины потоков, за пределами которой подвижный заряд начинает сказываться на свойствах системы. По-видимому, такой границы нет, но возможные величины потоков ограничиваются уравнениями состояния, т.е. диапазоном изменения у микроансамбля количества квантов данного заряда.

Возникающие эффекты.

Отмеченное различие в свойствах покоящегося и движущегося заряда должно иметь своим следствием существование большого числа различных эффектов, которые предсказывает общая теория и которые могут быть обнаружены экспериментально.

Например, должен существовать эффект изменения свойств системы в результате превращения части заряда из подвижного в неподвижный и наоборот. Суть этого эффекта заключается в следующем. Если через проводник пропускать поток заряда, то на контрольном отрезке проводника часть заряда будет находиться в неподвижном состоянии (эта часть заряда определяет поле потенциала проводника), а другая – в подвижном (она не влияет на величину потенциала). Если затем контрольный участок проводника отсоединить от цепи и изолировать, то заключенный в нем подвижный заряд превратится в неподвижный, и общий (средний) потенциал Р_ср проводника возрастет на некоторую величину DР, зависящую от количества подвижного заряда Е_под. Величина DР определяется по формуле типа (128)

DР = Е_под/К, (352)

где К – емкость рассматриваемой системы (контрольного участка проводника).

Поскольку при превращении из подвижного в неподвижный заряд поступает в состав соответствующих микроансамблей, поскольку под емкостью К следует понимать их суммарную емкость (с учетом взаимного влияния).

Из опыта находятся величины Р_ср (рис. 10, слева) и Р_ср + DР (рис. 10, справа) и таким образом определяется разность DР. По формуле (352) вычисляется количество подвижного заряда Е_под. Его можно сравнить с неподвижным, создающим потенциал Р_ср, а также использовать для определения скорости w распространения заряда в проводнике.

Рис. 10. Схема опыта с извлекаемым участком проводника Dх.

Величина w вычисляется по формуле типа (316) при подстановке в нее значения времени

D t = Dх/ w сек.

Имеем

w = JV/Е_под = JV/( DКР) м/сек, (353)

где V - объем извлекаемого участка проводника,

V = F Dх м³.

Из формулы (353) видно, что объемная концентрация подвижного заряда в проводнике

С_Епод = Е_под/ V = J/ w. (354)

Рассмотренный эффект создает реальные предпосылки для детального изучения механизма переноса зарядов в проводнике, в частности, для определения скорости их распространения, объемной концентрации и т.д. Этот вопрос имеет принципиальное значение, так как в существующей феноменологической (макроскопической) теории термических, электрических и т.д. явлений скорость распространения возмущений считается (получается) равной бесконечности.

Соответствующий эффект DТ повышения температуры контрольного участка проводника был экспериментально обнаружен Л.А. Бровкиным. Для термических явлений применительно к процессу переноса теплоты формула (353) записывается в виде

w = J_QV/(С DТ) м/сек, (355)

где С – теплоемкость извлекаемого участка проводника, дж/град.

Опыты Л.А. Бровкина подтверждают правильность сделанных выводов.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 174; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 33 34 35 36 373839 40 41 42 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!