Примеры нестационарных уравнений.

1. Известные уравнения.

В 1822 г. Фурье вывел на основе своего закона теплопроводности следующее дифференциальное уравнение:

¶ Т/ ¶ t = D_Q( ¶²Т/ ¶x²) град/сек, (356)

где D_Q - диффузивность по отношению к теплоте,

D_Q = L_Q/( rс_р) м²/сек. (357)

Величину D_Q часто именуют коэффициентом температуропроводности. Однако этот термин менее удачен, так как создает ложные представления о температуре, как о субстрате переноса.

В 1855 г. Фик вывел аналогичное уравнение для явлений диффузии, которое получило наименование второго закона Фика. Через химический потенциал оно записывается следующим образом:

¶ m _дф / ¶ t = D_дф( ¶² m_дф/ ¶x²) дж/(кг×сек), (358)

где D_дф - диффузивность,

D_дф = L_дф/( r c_дф) м²/сек. (359)

В некоторых случаях распространения электрического заряда и фильтрации жидкости или газа пользуются аналогичными уравнениями:

¶ j / ¶ t = D _Y( ¶² j/ ¶x²) в/сек; (360)

¶ р/ ¶ t = D_фт( ¶²р/ ¶x²) н/(м²×сек), (361)

где D _Y и D_фт – электрическая и фильтрационная диффузивности,

D _Y = L_дф/( r c _Y) м²/сек. (362)

D_фт = L_дф/( r c_фт) м²/сек. (363)

Все эти уравнения были выведены для макромира. Они являются элементарными частными случаями уравнения (343) общей теории.

Термические явления.

Применительно к распространению термического заряда дифференциальное уравнение нестационарного переноса имеет вид

¶ Т/ ¶ t = D _Q( ¶²Т/ ¶x²) град/сек, (364)

где D _Q - диффузивность по отношению к термическому заряду,

D _Q = L _Q /( r c_р) м²/сек. (365)

Сопоставление уравнений (356) и (364) показывает, что они различаются только своими диффузивностями D_Q и D _Q. Более внимательный анализ, однако, приводит к заключению, что эти диффузивности между собою равны [формулы (139), (329), (357) и (365)]

D_Q = L_Q/( rс_р) = L _Q /( r c_р) = D _Q м²/сек. (366)

Следовательно, уравнения (356) и (364), характеризующие нестационарный перенос теплоты и термического заряда, тождественно. Этот неожиданный на первый взгляд результат объясняется тем, что оба уравнения выражают одно и то же свойство инерционности температурного поля по отношению к изменению температуры ( ¶ Т/ ¶ t) под влиянием кривизны температурной кривой ( ¶²Т/ ¶x²).

Распространение нанозаряда (поля).

1. Постановка задачи.

Закон переноса общей теории справедлив для любых форм движения и любого уровня мироздания. Выше говорилось о распространении макроскопических по величине зарядов в условиях макромира. Макроскопический заряд состоит из большого числа элементарных квантов. Поэтому предыдущие задачи допустимо трактовать как задачи о переносе совокупности микроскопических зарядов, пронизывающих в соответствии с принципами проницаемости и отторжения макроскопические тела.

Ниже речь будет идти о переносе субмикроскопических зарядов (наномир). Нанозаряды (поля) способны пронизывать все вышестоящие миры – микроскопический, макроскопический и т.д. Каждый из этих процессов подчиняется законам общей теории. Однако рассмотреть вопрос во всей его сложности (одновременно на всех уровнях мироздания) трудно, поэтому анализ процессов переноса нанозаряда придется начать с изучения его поведения в микроскопических телах.

Поля, состоящие из нанозарядов (квантино), оказывают на микроскопические и макроскопические заряды силовое воздействие. Именно благодаря этому воздействию кванты собираются в ансамбли и происходит перенос зарядов. Вместе с тем это воздействие сильно усложняет всю картину переноса, ибо источниками полей являются сами заряды. В результате распространения нанозарядов вызывает одновременный перенос источников (микро- и макрозарядов).

Для простоты вначале будем считать, что источники неподвижны, а режим излучения полей стационарный (этот вопрос рассматривается в настоящем параграфе). Затем неподвижность источников сочетаем с нестационарным переносом нанозарядов (§ 44). Наконец, рассмотрим более сложный случай, когда распространяются и заряды и поля. Этот случай обсуждается на примере двух степеней свободы – электрической и магнитной, - охватываемых уравнениями электродинамики Фарадея-Максвелла (§ 46).

Уравнения закона переноса.

Существует бесконечное множество полей (нанозарядов), по числу форм движения. Поля служат причиной силового взаимодействия зарядов. Одноименные (или разноименные) нанозаряды способны либо притягиваться, либо отталкиваться. Взаимодействие нанозаряда и антинанозаряда приводит к их аннигиляции. Однако этот процесс не проявляется бурно из-за крайне малой плотности нанозарядов. Плотность излучения полей зарядами столь ничтожна, что заметное изменение величины кванта (или сопряженного с ним потенциала ансамбля) происходит лишь спустя многие миллионы и миллиарды лет.

Процесс распространения нанозарядов описывается обобщенными (221), общими (234), а также частными (255), (264), (273) и (282) уравнениями переноса. В качестве примера выпишем уравнения закона переноса применительно к простейшему случаю одной степени свободы (n = 1). Для явлений излучения поля (отдачи нанозаряда) с поверхности макро- или микротела (заряда) имеем [формула (249)]:

J_нан = a_нанХ = - a_нан dР; (367)

dЕ_нан = J_нанFdt = - a_нан dРFdt, (368)

где a_нан - коэффициент отдачи нанозаряда на поверхности макро- или микрозаряда, определяемый из выражения типа (250).

Для явлений проводимости нанозаряда макро- или микротелами уравнение (267) принимает вид

J_нан = L_нан Y = - L_нан (dР /dх); (369)

dЕ_нан = J_нанFdt = - L_нан (dР /dх)Fdt, (370)

где L_нан - проводимость тела по отношению к нанозаряду, определяемая формулой типа (268).

Аналогично могут быть переписаны все остальные уравнения закона переноса. С их помощью рассчитывается процесс распространения полей в условиях стационарного режима.

В физике пока не существует способов измерения количества переданного нанозаряда (как, впрочем, и самого понятия нанозаряда). Поэтому при изучении полей можно воспользоваться приемом определения относительных величин. Суть этого приема заключается в следующем.

Примем за эталон (объект сравнения) потоки полей, распространяющихся в вакууме. Тогда потоки во всех остальных средах можно сравнивать с вакуумными и оперировать только относительными величинами. При этом будем строго различать вакуум в обычном понимании этого слова, когда из объема эвакуированы молекулы и атомы, и физический вакуум, представляющий собой заряды и антизаряды, находящиеся при абсолютном нуле потенциалов. Обычный вакуум не является физическим, так как в нем потенциалы далеко не равны нулю. Особенно это касается потенциалов, образованных нанозарядами.

Для вакуума уравнения (368) и (370) имеют вид

dЕ_нан.в = - a_нан.в dР_вFdt, (371)

dЕ_нан.в = - L_нан.в (dР /dх)_вFdt, (372)

где индекс «в» соответствует вакууму.

Относительные количества переданного нанозаряда

dЕ_нан/dЕ_нан.в = ( a_нан/ a_нан.в)( dР/ dР_в); (373)

dЕ_нан/dЕ_нан.в = ( L_нан/ L_нан.в)( dР/d x)/( dР/ dx)_в; (374)

Индукция поля.

Обозначим градиент потенциала в вакууме (со знаком минус) через Н и назовем индукцией поля. Имеем

Н = ( dР/ dx)_в. (375)

Индукция отличается от напряженности [формула (213)] тем, что в первом случае проводником служит вакуум, а во втором – произвольная среда. Ниже будет показано, что индукция равна силе, действующей на единичный заряд в вакууме.

С помощью понятий напряженности и индукции уравнение (374) можно переписать в виде

dЕ_нан/dЕ_нан.в = e( G/Н), (376)

где e - относительная проводимость (проницаемость) среды,

e = L_нан/ L_нан.в. (377)

Величина e характеризует проводимость по отношению к нанозаряду данной среды в сравнении с проводимостью по отношению к тому же нанозаряду вакуума. Для вакуума проницаемость

e = 1. (378)

Недостаток изложенного метода сравнения полей с вакуумными заключается в том, что вакуум вакууму рознь, т.е. в разных условиях (при различных содержаниях зарядов) вакуум обладает неодинаковыми свойствами. Поэтому одинаковые относительные величины потоков нанозаряда могут соответствовать неодинаковым абсолютным потокам (из-за различия в величине эталонного – вакуумного – потока). Единственно универсальной и точной следует считать оценку абсолютных величин потоков нанозаряда методами общей теории.

Относительные величины потоков можно аналогичным образом определить также с помощью уравнения (373) и всех остальных уравнений переноса. Однако для последующего достаточно ограничиться преобразованием формулы (374), так как она позволяет предельно просто и наглядно перекинуть мост между идеями общей теории и идеями, господствующими в настоящее время в физике. Для этого предположим, что нанозаряд распространяется в среде, состоящей из нескольких слоев, причем одним из слоев служит вакуум (рис. 11). Для каждого из слоев можно написать уравнение типа (370). В условиях стационарного режима, согласно закону сохранения заряда (этот закон справедлив для любого уровня мироздания), через каждый слой проходит один и тот же по величине нанозаряд, т.е.

dЕ_нан1 = dЕ_нан.в = dЕ_нан2 = ... (379)

Рис. 11. Схема распространения нанозаряда в многослойной

плоской стенке (стационарный режим).

В рассматриваемых условиях выражение (376) может быть преобразовано к виду

Н = e G. (380)

Индукция пропорциональна напряженности поля, коэффициентом пропорциональности служит проницаемость e. В общем случае величина e может быть больше и меньше единицы. Это значит, что сила, действующая в данной среде на единичный заряд, может быть меньше или больше силы, действующей на тот же заряд в вакууме.

Заметим, что формула (380) выведена из законов сохранения и переноса заряда для стационарного режима. Следовательно, только в этих условиях она и справедлива.

В настоящее время в физике известны два вида полей – электрическое и магнитное. Принято считать, что эти поля обладают континуальными свойствами и способны оказывать в основном силовое воздействие на заряды. Кроме того, предполагается, что магнитное поле есть следствие электрического. Ничего другого о природе этих полей не известно.

Напомним еще раз, что так называемое электромагнитное поле не является полем в принятом здесь смысле. Оно представляет собой совокупность фотонов (фотонный газ), которые принадлежат не наномиру, а микромиру.

В свое время для электрического и магнитных полей были формально установлены понятия напряженности, индукции и проницаемости (электрической и магнитной). Соответствующие величины входят во все уравнения теории электродинамики, разработанной Фарадеем и Максвеллом. Уравнения Максвелла отличаются крайним формализмом, что послужило Герцу основанием высказать свой знаменитый афоризм: «Теория Максвелла – это уравнения Максвелла».

Общая теория позволяет вложить новый – естественный, простой и ясный – физический смысл в известные соотношения электродинамики. В этой теории полями служат нанозаряды, распространение и свойства которых подчиняются ее главным законам – переноса, сохранения, взаимности и т.д. Электрические и магнитные напряженности, индукция и проницаемость – это частные понятия, вытекающие из более общих понятий единой теории при определенных конкретных условиях. Вне этих условий соотношения электродинамики (например, уравнение (380), записанное для электрического и магнитного полей) не оправдываются. К этому вопросу еще придется вернуться.

Влияние конфигурации заряда.

Предположим, что нанозаряд излучается неограниченной плоской стенкой толщиной 2r₀, бесконечно длинным круглым цилиндром и шаром радиуса r₀. Необходимо установить характер изменения градиента потенциала (напряженности или индукции) с расстоянием r (рис. 12). Этот вопрос имеет принципиальное значение для дальнейшего.

Рис. 12. Распределение потенциала вблизи неограниченной плоской

стенки (слева), бесконечно длинного цилиндра и шара (справа).

Согласно закону сохранения заряда, на стационарном режиме за единицу времени через любое сечение поля с координатой r (величина переменная) проходит одно и то же количество заряда. В случае плоской стенки площадь сечения F не зависит от r. Следовательно, при постоянных dЕ_нан и F градиент потенциала (dР /dх) также является величиной постоянной, не зависящей от r [формула (370)] и равной градиенту (dР /dх)₀ на поверхности (при r = r₀) заряда, т.е.

dР /dх = (dР /dх)₀ = const. (381)

В случае цилиндра площадь сечения пропорциональна радиусу:

F = 2 prl м²,

где l - длина цилиндра.

Написав уравнение (370) для двух радиусов r₀ и r и приравняв величины зарядов, получим

dР /dх = (dР /dх)₀( r₀/r). (382)

В цилиндрическом поле градиент потенциала обратно пропорционален радиусу.

В случае шара

F = 4 pr² м².

Следовательно, градиент потенциала в точке с координатой r связан с градиентом в точке r₀ соотношением

dР /dх = (dР /dх)₀( r₀²/r²). (383)

В сферическом поле градиент потенциала обратно пропорционален квадрату радиуса. Точно таким же образом изменяется удельный поток J нанозаряда.

Природа отмеченного явления (уменьшения с расстоянием r потока J для цилиндрического и сферического полей) объясняется чисто геометрическими соображениями – возрастанием площади F с радиусом r. Одновременно убывают градиенты потенциалов, напряженности, индукции и действующие на заряд силы. Сравнение характера изменения потенциала и градиента потенциала с расстоянием r для плоского, цилиндрического и сферического полей показано на рис. 13. Потенциал быстрее всего уменьшается у плоского поля, а градиент потенциала – у сферического поля.

Рис. 13. Сравнение кривых распределения потенциала (слева) и градиента потенциала вблизи пластины (прямая 1), цилиндра (кривая 2) и шара (кривая 3).

Разумеется, все эти соотношения справедливы только в условиях, когда пространство обладает континуальными свойствами, т.е. при большом числе метронов, и когда поток пространства заметно не искривляется, т.е. вблизи него нет больших зарядов различного рода.

Принцип стабильности.

1. Формулировка принципа.

При изучении конфигурации полей потенциала можно обнаружить одну особенность, которая заключается в стремлении любого поля выровняться, приобрести вдали от источника одну из рассмотренных выше простых конфигураций – плоскую, цилиндрическую или сферическую. Это свойство полей будем именовать принципом стабильности потока заряда.

Частный случай этого принципа известен в гидродинамике. В потоке вязкой жидкости вдали от входа в канал всегда устанавливается определенное распределение скоростей по сечению, не зависящее от распределения скоростей на входе. Это свойство именуется свойством стабильности потока вязкой жидкости.

В теории упругости известен также принцип Сен-Венана (1855), согласно которому замена одной системы усилий, действующих на небольшую часть поверхности упругого тела, другой, статически эквивалентной системой усилий, действующих на ту же часть поверхности тела, вызывает значительные изменения только местных напряжений, не сказываясь заметно на напряжениях в точках, достаточно удаленных от поверхности, на которой усилия были изменены.

Наконец, автором аналогичное свойство стабильности было обнаружено у температурных полей [2, 3].

В общем случае принцип стабильности справедлив для любых форм движения. Любое поле вдали от источника стремится стать одномерным – плоским, цилиндрическим или сферическим. Это стремление поля легко понять, если вспомнить, что неоднородность поля обусловлена неодинаковыми количествами заряда, содержащегося в различных участках поля. Это вызывает появление выравнивающих потоков. В результате поле становится практически одномерным. Полностью выровняться (стать однородным) ему мешает источник.

Примером может служить поле, изображенное на рис. 14. На некотором расстоянии от источников поле делается приблизительно сферическим (если источники – шары) или цилиндрическим (если источники – цилиндры).

Рис. 14. Изопотенциальные линии, расположенные вокруг двух

одноименных шаровых (или цилиндрических) зарядов.

Принцип стабильности формулируется следующим образом: если на некотором участке поверхности заряда изменить характер распределения условий излучения поля без изменения общей величины потока нанозаряда, то это практически не отразится на поле потенциала вдали от рассматриваемого участка. В частном случае условия излучения могут изменяться путем изменения конфигурации заряда или применения дискретной системы зарядов.

Три класса полей.

Принцип стабильности позволяет легко приближенно решать различные очень сложные задачи об определении полей потенциалов от зарядов неправильной конфигурации или от совокупностей зарядов.

Все разнообразные поля можно мысленно подразделить на три класса. К первому классу относятся поля, образованные зарядами, которые имеют одно измерение конечной величины и два других – неограниченно большие (стенки). Вдали от таких зарядов поле потенциала оказывается практически одномерным плоским (основное – стабильное – поле первого класса).

Второй класс полей образуют заряды, имеющие два конечных измерения и третье – неограниченно большое (цилиндры). Вдали от таких зарядов поле является практически одномерным цилиндрическим (основное поле второго класса).

Наконец, поля третьего класса образуются телами, имеющими три измерения одного порядка. Эти поля вдали от источника являются одномерными сферическими (основное поле третьего класса).

При решении задачи об определении поля потенциала с помощью принципа стабильности надо данный заряд неправильной конфигурации (или совокупность зарядов) отнести к одному из классов тел. Затем этот заряд требуется мысленно заменить основным зарядом данного класса (правильной конфигурации). При замене следует объем, емкость и т.д. воображаемого основного заряда сделать такими же, как и у данного. После этого рассчитывается поле от основного заряда по простейшим формулам для плиты, цилиндра или шара. Полученные расчетом значения потенциала и других величин тем точнее отражают действительность, чем дальше расположена рассматриваемая точка r по сравнению с размером заряда r₀.

При выборе параметров основного (расчетного) тела надо в соответствием с принципом стабильности сделать так, чтобы действительный и основной (воображаемый) заряды излучали равные количества нанозарядов. Это условие математически записывается в виде равенства величин dЕ_нан и dЕ_нан0, определяемых формулой (368) или (370) для данного и основного тел. Например, если за основу взять явление отдачи нанозаряда, то формула (368) дает

dЕ_нан = - a_нан dРFdt; (384)

dЕ_нан0 = - a_нан0 dР₀F₀dt₀, (384)

где индексом «0» отмечены величины, относящиеся к основному телу. Напор потенциала и время у данного и основного тел должны быть одинаковыми. Поэтому из выражений (384) получаем следующее условие равенства потоков нанозаряда от данного и основных тел:

a_нан0 = a_нан( F/F₀). (385)

Расчетный коэффициент отдачи от основного тела не равен фактическому. Для получения величины a_нан0 надо фактический коэффициент отдачи умножить на отношение площадей поверхностей излучения данного и основного тел. Коэффициент a_нан0 подставляется в расчетные формулы, определяющие параметры основного поля.

если рассматривать явление проводимости, тогда аналогичные рассуждения приводят к следующему равенству, полученному из формулы (370):

L_нан0 = L_нан( F/F₀). (386)

Приближенный метод расчета, основанный на использовании принципа стабильности, применим для изучения не только внешних, но и внутренних задач (речь идет о распространении полей внутри тел). Кроме того он справедлив также для нестационарного режима. Более детально все эти вопросы рассматриваются в работах [2, 3] (применительно к процессу распространения термического заряда).

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 218; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 34 35 36 37 383940 41 42 43 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!