Теорема Остроградского-Гаусса.
Теорема о суммировании зарядов позволяет понять смысл и определить границы применимости известной теоремы Остроградского-Гаусса.
В электродинамике существуют понятия потоков напряженности и индукции электрического и магнитного полей. Напряженность и индукция определяются градиентами потенциалов [формулы (213) и (375)]. В свою очередь они определяют число силовых линий и линий индукции, исходящих из заряженного тела (заряда). Существует прямая пропорциональная связь между величинами электрических и магнитных зарядов и количествами силовых линий и линий индукции.
Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что суммарное число линий, проходящих через замкнутую поверхность, охватывающую электрические и магнитные заряды, равно алгебраической сумме линий, выходящих из каждого заряда в отдельности.
Заметим, что линии напряженности и индукции – это крайне формальные понятия, в течение длительного времени затруднявшие правильное понимание электрических и магнитных явлений. Вместе с тем эти понятия легко получить из общей теории, так как напряженность и индукция непосредственно связаны (пропорциональны) с потоком нанозаряда [формулы (369) и (370)], а сам поток – с величиной излучающего его макро- или микрозаряда [уравнения (367), (368), (387) и (389)].
Таким образом, из общей теории как частный случай вытекает теорема Остроградского-Гаусса. Она есть следствие теоремы о суммировании зарядов, справедливой только для стационарного режима и только в условиях, когда отсутствует взаимное влияние между зарядами. В реальных условиях теорема Остроградского-Гаусса неточно отражает действительность.
|
|
|
Принцип суперпозиции.
На основе изложенных соображений теперь можно дать оценку так называемому принципу суперпозиции. Этот принцип часто понимается как возможность суммировать (налагать) поля от различных источников. При этом суммарное поле от нескольких источников рассматривается как простая сумма полей, образуемых каждым из источников в отдельности.
Никто никогда не доказывал справедливость этого принципа. Между тем его очень широко применяют для практических расчетов в самых различных областях знаний.
Из предыдущего должно быть ясно, что принцип суперпозиции в общем случае дает неправильные результаты, так как не учитывает взаимного влияния источников полей. Точность этого принципа возрастает с уменьшением перекрестных коэффициентов в уравнениях (387) и (389).
Нестационарные поля.
1. Уравнение нестационарного переноса нанозаряда.
|
|
|
Рассмотренные выше закономерности (§ 41-43) были получены для стационарного режима распространения нанозарядов. В действительности поля чаще всего бывают нестационарными. В условиях нестационарного режима проявляются новые свойства полей и действуют несколько иные закономерности. В частности, неточно соблюдается теорема Остроградского-Гаусса. Это объясняется тем, что при нестационарных условиях количество испускаемого телами нанозаряда не равно количеству нанозаряда, проходящего через замкнутую поверхность F (рис. 15). Часть нанозаряда аккумулируется (или выделяется) объемом, ограниченным этой поверхностью. Причем погрешность, даваемая теоремой, тем выше, чем больше величина поверхности F и меньше скорость w распространения нанозарядов (полей).
Положение частично спасает то обстоятельство, что скорость распространения полей крайне велика, возможно, на много порядков выше скорости распространения фотонов (света). В результате на практике любое поле в течение ничтожных долей секунды оказывается хорошо развитым, вследствие чего эффект нестационарности ускользает от внимания.
Нестационарный процесс распространения полей аналитически описывается общими уравнениями переноса типа (340), (345) и (349). В гипотетических условиях одной степени свободы (n = 1) из уравнений (340) и (343) имеем
|
|
|
Uнан = LнанZ (392)
или
¶ P/ ¶ t = Dнан( ¶2P/ ¶x2), (393)
где Dнан – диффузивность по отношению к нанозаряду (нанодиффузивность),
Dнан = Lнан/( r cнан). (394)
Здесь проводимость Lнан и удельная массовая емкость cнан также относятся к нанозаряду, величина r характеризует плотность среды.
При двух степенях свободы (n = 2) уравнение (345) дает
U1нан = L11нанZ1 + L12нанZ2; (395)
U2нан = L21нанZ1 + L22нанZ2, (395)
В общем случае n степеней свободы и трехмерного поля из уравнения (349) получаем
Uiнан = 
, (396)
|
|
|
где i = 1, 2, ..., n.
В уравнениях (395) и (396) основные коэффициенты характеризуют проводимость среды по отношению к данному нанозаряду, перекрестные – взаимное влияние потоков нанозарядов (полей).
Свойства уравнения.
Прежде всего следует обратить внимание на существование в наномире эффектов взаимного влияния полей. Количественная сторона этого влияния определяется величинами перекрестных коэффициентов Lirнан и Lriнан.
Если
Lirнан = Lriнан = 0, (397)
то поля распространяются независимо одно от другого.
Строго говоря, условие (397) не соблюдается никогда. Однако в отдельных случаях допустимо пренебречь взаимным влиянием потоков нанозарядов и приближенно считать, что перекрестные коэффициенты проводимости равны нулю. Это сильно упрощает расчеты, так как вместо уравнения (396) можно пользоваться простейшим уравнением (392).
Но вместе с тем имеются случаи, когда пренебречь взаимным влиянием потоков нельзя. В первую очередь это касается электрического и магнитного зарядов. Связь между ними проявляется крайне сильно, из-за этого до сих пор принято считать, что одно поле (магнитное) является производным от второго (электрического).
Другая существенная особенность нестационарного уравнения переноса (396) заключается в том, что оно справедливо только для частного случая неподвижных зарядов. Если заряды, служащие источниками нанозарядов (полей), перемещаются, то задача сильно усложняется. Приходится принимать во внимание силовое взаимодействие зарядов и составлять более сложные общие уравнения, учитывающие характер движения самих зарядов. Простейшими уравнениями такого типа являются уравнения электродинамики Максвелла (§ 46).
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 186; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!