Лекция 10. Цепи с распределенными параметрами
Понятие о цепях с распределенными параметрами
9) предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи с сосредоточенными параметрами,т.е.предполагалось,что электрическая цепьпредставляет собой совокупность некоторых самостоятельно существующих элементов R , L и C ,сосредоточенных в различных ее точках.При этом геометрические размерысамой цепи, а также размеры входящих в нее элементов никакой роли не играли, и как следствие, считалось, что электрические и магнитные поля локализованы в пределах конденсаторов и катушек индуктивности, а потери мощности — в резисторах.
Более детальный анализ показывает, что цепей с сосредоточенными параметрами не существует. Индуктивность и ёмкость обусловлены не только индуктивностью и ёмкостью катушки и конденсатора, но и аналогичными свойствами самих проводов, находящихся под действием магнитных и электрических полей, образуемых токами и зарядами в линии. Активное сопротивление в цепи также обусловлено не только сопротивлением нагрузки, но и внутренним сопротивлением источника энергии и сопротивлением соединительных проводов. Таким образом, электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x и времени t . Такие электрические цепи называются цепями с распределенными параметрами или длинными линиями.
|
|
|
Дифференциальные уравнения однородной линии с распределенными параметрами
Примером цепи с распределенными параметрами является однородная двухпроводная линия,т.е.такая линия,индуктивность,ёмкость,сопротивление ипроводимость которой равномерно распределены вдоль всей ее длины. Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины линии, называются первичными (погонными) параметрами линии и обозначаются соответственно L0 , C0 , R0 , G0 .
Единицы измерения первичных параметров: [ L0 ] = 1Гн/м (генри на метр),
[ C0 ] = 1Ф/м (фарад на метр), [ R0 ] = 1Ом/м (ом на метр), [ G0 ] = 1См/м (сименс на метр).
Погонные параметры R0 , G0 , L0 , C0 в применении к двухпроводной линии означают следующее: L0 и R0 — индуктивность и сопротивление пары проводов в расчете на единицу длины, C0 и G0 — ёмкость и проводимость утечки между проводами на единицу длины. Параметр R0 при этом выражает потери энергии в проводе и на излучение, G0 — потери в диэлектрике. Значения L0 и C0 зависят от конструкции линии и электромагнитных параметров окружающей линию среды.
|
|
|
226
Составим дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять токи и напряжения в линии. Эти токи и напряжения являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты x , определяющей место наблюдения, и времени t , определяющего момент наблюдения.
Основной задачей теории цепей с распределенными параметрами являетсяопределение пространственно-временного распределения тока в линии i(x;t) и напряжения между ее проводами u(x;t). При этом в общем случае может
рассматриваться передача электромагнитной энергии по линии, когда источник и приемник имеются на обоих концах линии.
Разобьем линию на элементарные участки длиной x (рисунок 10.1) и
рассмотрим две крайние точки любого из выделенных участков с координатами x и
x + x ,где x —расстояние,отсчитываемое от начала линии.
Рисунок 10.1 – Представление линии с распределенными параметрами совокупностью элементарных участков
Обозначим ток и напряжение в начале участка, соответствующие некоторому
моменту времени t , через i( x;t), u(x;t); ток и напряжение в конце участка —
i( x + x;t), u( x + x;t).Используя первичные параметры R0, G0, L0, C0,представим
приближенно рассматриваемый элементарный участок в виде последовательно
|
|
|
| включенных (сосредоточенных) | сопротивления R0 x и индуктивности L0 x и | |||||||||||
| параллельно включенных активной проводимости G0 | x и ёмкости C0 | x . | ||||||||||
| Для выделенного элементарного участка линии (рисунок 10.1) составим | ||||||||||||
| уравнения согласно законам Кирхгофа: | ||||||||||||
| i( x;t)− C | 0 | x | ∂u( x + | x;t) | − G | xu( x + | x;t)− i( x + x;t) | = 0 , | (10.1) | |||
| ∂t | 0 | |||||||||||
| ∂i(x;t) | ||||||||||||
| − u( x;t)+ R xi( x;t)+ L | x |
| + u( x + x;t)=0. | (10.2) | ||||||||
| 0 | 0 | ∂t | ||||||||||
Уравнения (10.1), (10.2) преобразуем следующим образом:
227
| − | i(x + x;t )− i(x;t) | = C | 0 | ∂u(x + | x;t) |
| + G u( x + x;t ), | ||||
| x | ∂t | 0 | |||||||||
| − | u( x + x;t )− u(x;t ) | = L | ∂i(x;t ) | + R i( x;t ). | |||||||
|
|
| ||||||||||
| x | 0 | ∂t | 0 | ||||||||
|
|
|
(10.3)
(10.4)
Точность уравнений (10.3), (10.4) тем выше, чем меньше длина выделенного
| участка x , поэтому, переходя к пределу при x → 0 , окончательно получим: | ||||||||||||
| − | ∂i(x;t ) | = C | 0 | ∂u(x;t) | + G u( x;t ) | , | (10.5) | |||||
| ∂x | ∂t | 0 | ||||||||||
| − | ∂u(x;t) | = L | ∂i(x;t) | + R i( x;t). | (10.6) | |||||||
|
|
| |||||||||||
| ∂x | 0 | ∂t | 0 | |||||||||
Уравнения (10.5), (10.6) являются дифференциальными уравнениями в частных производных и позволяют определить ток и напряжение в любой точке x линии впроизвольный момент времени t . Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями однородной линии с распределенными параметрами или телеграфными уравнениями.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 275; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!