Дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме



 

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившемся режиме рассматривают для случая синусоидального тока. Тогда все соотношения при частоте f =0можно распространить на цепи постоянного тока,а воспользовавшись

 

разложением токов и напряжений в ряд Фурье — на цепи периодического несинусоидального тока.

Пусть ток и напряжение в линии изменяются по синусоидальному закону с

угловой частотой ω . Пользуясь комплексным методом, заменим функции i(x;t
u( x;t )в уравнениях(10.5), (10.6)комплексами действующих значений I&, U&:  
i I&e j ω t , u U&e j ω t . (10.7)

Комплексы I& и U& являются функциями пространственной координаты x и не зависят от времени. Экспоненциальный множитель e j ω t , напротив, является функцией времени t и не зависит от координаты. Представление силы тока и напряжения в виде

произведения двух функций, одна из которых ( I& или U& ) зависит только от x , а вторая


( e j ω t ) только от t , позволяет в уравнениях производных к обыкновенным, причем

&

 

&

     
i

e j ω t

dI

,

u

e j ω t

dU

,

i

 

x

dx

x

dx

t

 
           

 

(10.5),

(10.6)

перейти

от частных  
j ω e

j ω t

I&, t j ω e   U&. (10.8)  
    u  

j ω t

   
                 

 


Преобразуя телеграфные уравнения (10.5), (10.6) согласно (10.7), (10.8), получим

&

                                &          

e j ω t

dI

= e j ω t (G + j ω C

0

)U&,

 

e j ω t

dU

= e j ω t ( R

+ j ω L )I&

 
 

 

   
 

dx

0

                     

dx

0 0  
                                       

или после сокращения на общий множитель e j ω t

≠ 0 :

           
        dI& =         &

dU&

=

&

     

где

     

dx

 

Y

0U ,

     

dx

Z

0 I ,

 

(10.9)

 
     

 

           
                                 
 

Z

0= R0+ j ω L0,

 

Y

   

= G0+ j ω C0

 

(10.10)

 
     

 

0

   
             

 


 

228


комплексное сопротивление и комплексная проводимость единицы длины линии,

 

причем Z 0 и Y 0 не являются величинами, обратными друг другу: Y 0 ≠ 1 Z 0 .

Уравнения (10.9) есть дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме.

 

Общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся режиме синусоидального тока

Получим решение системы дифференциальных уравнений (10.9) относительно

комплексов силы тока и напряжения I&

и

U&.Для этого продифференцируем

оба  

уравнения системы:

                                                   

d 2 I&

=

Y

0

 

dU&

 

,

d 2U&

 

=

 

Z

0

dI&        

dx2

   

dx

dx2

 

dx

     
                 
                                           

и заменим в первом уравнении dU&

   

dx на

dI& dx ,а во втором— dI& dx

на dU& dx  

согласно исходным уравнениям (10.9). В результате получим:

     
 

d 2 I&

=

         

&

   

d 2U&

=

&

       
 

dx2

 

Z

0

Y

0 I ,

 

dx2

Z

0

Y

0U .

(10.11)

 
     

 

 

 
   

 

 

 

 

 

 
                                               
                                                           

Дифференциальные уравнения (10.11), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, являются линейными однородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Структуру их общего решения определяет характеристическое уравнение, которое для обоих дифференциальных уравнений (10.11) имеет одинаковый вид:


 

λ2 Z 0 Y 0=0,

 

откуда

 

λ1,2= ±  Z 0 Y 0= ±γ = ±(α +

 

Таким образом,

 

U& = A&1eγx + A&2e γ x ,

 

где γпостоянная распространения, A&1 и A&2 определяемые из начальных условий.


 

 

(10.12)

 

 

j β ).                                              (10.13)

 

 

(10.14)

 

—                                                        комплексные постоянные,

 


Ток I& как решение первого из уравнений (10.11) находится аналогично, однако еще проще его можно определить, подставив решение (10.14) во второе уравнение системы (10.9):

 

& =

1

& γx & γ x      
  I     Z

в

(A1e A2e   ), (10.15)  

где величина

                   
                     
Z в =  

Z 0 =

R0+ j ω L0

  = Z в e j θ (10.16)  
   

Y 0

G0+ j ω C0

     

называется волновым сопротивлением линии, Z вмодуль, θ

аргумент волнового  
сопротивления.                      

Соотношения (10.14), (10.15) дают общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в комплексной форме.


 

229


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 44;