Дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме
Теорию цепей с распределенными параметрами в установившемся режиме рассматривают для случая синусоидального тока. Тогда все соотношения при частоте f =0можно распространить на цепи постоянного тока,а воспользовавшись
разложением токов и напряжений в ряд Фурье — на цепи периодического несинусоидального тока.
| Пусть ток и напряжение в линии изменяются по синусоидальному закону с | |
| угловой частотой ω . Пользуясь комплексным методом, заменим функции | i(x;t)и |
| u( x;t )в уравнениях(10.5), (10.6)комплексами действующих значений I&, U&: | |
| i ⇒ I&e j ω t , u ⇒ U&e j ω t . | (10.7) |
Комплексы I& и U& являются функциями пространственной координаты x и не зависят от времени. Экспоненциальный множитель e j ω t , напротив, является функцией времени t и не зависит от координаты. Представление силы тока и напряжения в виде
произведения двух функций, одна из которых ( I& или U& ) зависит только от x , а вторая
( e j ω t ) только от t , позволяет в уравнениях производных к обыкновенным, причем
| ∂ | & | ∂ | & | ∂ | ||||||
| i | ⇒ e j ω t | dI | , | u | ⇒ e j ω t | dU | , | i | ⇒ | |
| ∂x | dx | ∂x | dx | ∂t | ||||||
| (10.5), | (10.6) | перейти | от | частных | ||||
| j ω e | j ω t | I&, | ∂t | ⇒ j ω e | U&. | (10.8) | ||
| ∂u | j ω t | |||||||
|
|
|
Преобразуя телеграфные уравнения (10.5), (10.6) согласно (10.7), (10.8), получим
| & | & | |||||||||||||||||||||||
| − e j ω t | dI | = e j ω t (G + j ω C | 0 | )U&, |
| − e j ω t | dU | = e j ω t ( R | + j ω L )I& | |||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||
| dx | 0 | dx | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||
| или после сокращения на общий множитель e j ω t | ≠ 0 : | |||||||||||||||||||||||
| − | dI& | = | & | − | dU& | = | & | |||||||||||||||||
| где | dx |
| Y | 0U , | dx | Z | 0 I , | (10.9) | ||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||
| Z | 0= R0+ j ω L0, | Y | = G0+ j ω C0 | (10.10) | ||||||||||||||||||||
|
| 0 | |||||||||||||||||||||||
|
|
|
228
— комплексное сопротивление и комплексная проводимость единицы длины линии,
причем Z 0 и Y 0 не являются величинами, обратными друг другу: Y 0 ≠ 1 Z 0 .
Уравнения (10.9) есть дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами в комплексной форме.
Общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся режиме синусоидального тока
Получим решение системы дифференциальных уравнений (10.9) относительно
| комплексов силы тока и напряжения I& | и | U&.Для этого продифференцируем | оба | ||||||||||||||||||||||||||||
| уравнения системы: | |||||||||||||||||||||||||||||||
| − | d 2 I& | = | Y | 0 | dU& | , | − | d 2U& | = |
| Z | 0 | dI& | ||||||||||||||||||
| dx2 | dx | dx2 |
| dx | |||||||||||||||||||||||||||
| и заменим в первом уравнении dU& | dx на | dI& dx ,а во втором— dI& dx
| на dU& | dx | |||||||||||||||||||||||||||
| согласно исходным уравнениям (10.9). В результате получим: | |||||||||||||||||||||||||||||||
| d 2 I& | = | & | d 2U& | = | & | ||||||||||||||||||||||||||
| dx2 | Z | 0 | Y | 0 I , | dx2 | Z | 0 | Y | 0U . | (10.11) | |||||||||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
Дифференциальные уравнения (10.11), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, являются линейными однородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Структуру их общего решения определяет характеристическое уравнение, которое для обоих дифференциальных уравнений (10.11) имеет одинаковый вид:
λ2− Z 0 Y 0=0,
откуда
λ1,2= ± 
Z 0 Y 0= ±γ = ±(α +
Таким образом,
U& = A&1e−γx + A&2e γ x ,
где γ — постоянная распространения, A&1 и A&2 определяемые из начальных условий.
|
|
|
(10.12)
j β ). (10.13)
(10.14)
— комплексные постоянные,
Ток I& как решение первого из уравнений (10.11) находится аналогично, однако еще проще его можно определить, подставив решение (10.14) во второе уравнение системы (10.9):
| & = | 1 | & | −γx −& | γ x | |||||||
| I | Z | в | (A1e | A2e | ), | (10.15) | |||||
| где величина | |||||||||||
| Z в = | Z 0 = | R0+ j ω L0 | = Z в e j θ | (10.16) | |||||||
| Y 0 | G0+ j ω C0 | ||||||||||
| называется волновым сопротивлением линии, Z в — модуль, θ | — аргумент волнового | ||||||||||
| сопротивления. | |||||||||||
Соотношения (10.14), (10.15) дают общее решение уравнений линии с распределенными параметрами в комплексной форме.
229
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 278; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!