Скорость и длина волны тока или напряжения в линии

 

Скорость перемещения прямой волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью,определяется как скорость перемещения точки,фаза колебания которойостается постоянной. Это условие записывается для падающей волны тока и напряжения в виде

 

ω t − β x +ψ пр −θ = const ,					ω t − β x +ψ пр = const ,					(10.24)
откуда
	d	(ω t − β x +ψ пр −θ )	= 0 ,				d		(ω t − β x +ψ пр )=0.
	dt					dt
Следовательно, выражение				dx			ω
		v	=		=					(10.25)
		ф		dt			β

определяет фазовую скорость прямой волны. Фазовая скорость обратной волны может быть рассчитана на основании соотношений аналогичных (10.24) . В таком случае из условия неизменности фазы для обратной волны тока и напряжения

 

ω t + β x +ψ обр −θ = const , ω t + β x +ψ обр = const

(10.26)

следует выражение для фазовой скорости обратной волны:

v =	dx	= −	ω	,	(10.27)
ф	dt		β

где знак «–» указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном прямой волне.

Длиной волны λ называется расстояние между двумя ее ближайшими точками,различающимися по фазе на 2π рад. В соответствии с этим определением для фаз падающих волн тока и напряжения получаем:

(ω t − β x +ψ _пр −θ )−(ω t − β (x + λ )+ψ _пр −θ )=2π ,

(ω t − β x +ψ _пр )−(ω t − β (x + λ )+ψ _пр )=2π ,

 

откуда

λ =	2π	.	(10.28)
	β

Равенство аналогичное (10.28) можно также получить, исходя из выражений для фаз отраженных волн тока и напряжения:

(ω t + β ( x + λ )+ψ _обр −θ )−(ω t + β x +ψ _обр −θ )=2π ,

(ω t + β ( x + λ )+ψ _обр )−(ω t + β x +ψ _обр )=2π .

 

На основании формул (10.25), (10.28) также запишем
λ = v T =	v ф	,	(10.29)
ф	f

где T — период, f — частота колебаний. Из (10.29) следует, что за время, равное

 

одному периоду, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.

 

Используя понятие длины волны λ , можно установить правило, определяющее , в каком случае конкретную электрическую цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Считается, что линия, длина l которой соизмерима с

 

 

232

длиной волны λ , является линией с распределенными параметрами.Математическиуказанное условие записывают в виде следующего неравенства:

 

l >(0,05÷0,1)λ .                                                                (10.30)

 

Если неравенство (10.30) выполняется, цепь считают распределенной, если не

 

выполняется — сосредоточенной. Так, например, для         f =50Гц и   v _ф =3⋅10⁸м/с

 

(скорость распространения волны в линии близка к скорости света) согласно (10.29) и (10.30) получим, что линия с распределенными параметрами должна иметь

протяженность l > (300 ÷ 600)км. При частоте f = 10⁸ Гц уже при l > (0,15 ÷ 0,3)м электрическую цепь следует рассматривать как линию с распределенными параметрами.

 

Решение уравнений линии с распределенными параметрами для граничных условий, заданных в начале и конце линии. Входное сопротивление линии

 

Постоянные интегрирования A^&₁ и A^&₂ , входящие в решение (10.14), (10.15), можно определить, если известны граничные условия.

 

Рисунок 10.3 – Схема, иллюстрирующая составление граничных условий для линии с распределенными параметрами

 

При анализе процессов в линии с распределенными параметрами граничные условия обычно задают в начале или в конце линии, т.е. при x = 0 или x = l , где l — длина всей линии (рисунок 10.3).

 

10.7.1 Граничные условия в начале линии
Пусть заданы напряжение U&1 и ток I&1			в начале линии ( x = 0 ):
U&		x=0 = U&1 ,	I&		x=0 = I&1 .	(10.31)

Из (10.14) и (10.15) тогда при x = 0 получаем уравнения

 

233

A^&₁− A^&₂= I^&₁ Z _в ,   A^&₁+ A^&₂= U^&₁,

решая которые, находим постоянные интегрирования:

&

=

1

&

+ &

Z

&

=

1

&

− &

A1

2

(U1

I1

в ),

A2

2

(U1

I1

Z

в ).

(10.32)

Подставляя (10.32) в (10.14), (10.15), получим

1

&

1

&

I&=

U1

+ I&

e−γ x

−

U1

− I&

e γ x

,

(10.33)

1

Z

1

2

Z

в

2

в

&

=

1

&

+ &

−γ x

+

1

&

− &

γ x

U

2

(U1

I1

Z

в )e

2

(U1

I1

Z

в )e

.

(10.34)

Группируя члены

в

правой части

выражений (10.33), (10.34)

и вводя

гиперболические функции sh γ x и ch γ x , указанные соотношения преобразуем к виду

I&=−	U&1			sh γ x + I& ch γ x ,	U&=−I&	Z	в	sh γ x + U& ch γ x .	(10.35)
		Z	1		1			1
			в

Формулы (10.33), (10.34) и (10.35) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии.

 

Граничные условия в конце линии

Пусть теперь заданы значения напряжения U^& ₂ и тока I^&₂ в конце линии ( x = l ),

т.е. задан режим нагрузки, а значит, и сопротивление Z 2 = U& 2								I&2:
U&		x=l	= U&2	, I&		x=l	= I&2.	(10.36)

5) этом случае целесообразнее отсчитывать расстояние текущей точки от конца линии. Обозначая его через x′ , получим x = l − x′ и x′ = l − x (рисунок 10.3).

 

6) новой системе координат относительно x′ граничные условия (10.36) запишутся в виде:

U&

= U&

2 ,

I&

= I&2.

(10.37)

x =0

x =0

Заменяя в уравнениях (10.14), (10.15)

x на(l − x′)и используя граничные условия

(10.37), при x′ = 0 получим уравнения

A& e−γl − A&

e γ l

= I&

Z

в

,

A&

e−γl + A&

e γ l = U&

,

1

2

2

1

2

2

решая которые, найдем постоянные интегрирования:

& =

1

&

+ &

γ l

&

=

1

&

− &

−γ l

A1

2

(U2

I

2

Z

в )e

,

A2

2

(U2

I2

Z

в )e

.

(10.38)

Подставляя (10.38) в (10.14), (10.15), получим

1

&

1

&

I&=

U2

+ I&

e γ x′−

U2

− I&

e−γ x′,

(10.39)

Z

2

2

2

в

2

Z

в

&

=

1

&

+ &

γ x′+

1

&

− &

−γ x′

U

2

(U2

I2

Z

в )e

2

(U2

I

2

Z

в )e

.

(10.40)

Группируя члены в правой части выражений (10.39), (10.40) и вводя

гиперболические функции sh γ x′

и ch γ x′ , указанные соотношения преобразуем к виду

I&=

U&2

sh γ x′+ I&

ch γ x′,

U&= I& Z

в

sh γ x′+U&

ch γ x′.

(10.41)

Z

в

2

2

2

 

 

234

Формулы (10.39), (10.40) и (10.41) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в конце линии.

 

Входное сопротивление линии

 

Входным сопротивлением линии Z _вх называется сосредоточенное сопротивление,

которым при гармоническом режиме можно заменить линию вместе с нагрузкой на ее конце, равное отношению напряжения к току в начале линии:

Z

вх =

U&1

.

(10.42)

I&

1

Так как для линии с длиной l

и нагрузкой

Z

2

выполняется условие U& 2

= I&2

Z

2

(см. рисунок 10.3), то из (10.41), (10.42) при x′ = l получаем

Z

вх

=

Z

в

Z

2 +

Z

в th γ l

,

(10.43)

Z

в +

Z

2th γ l

где th γ l = sh γ l ch γ l —гиперболический тангенс.

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 234; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!