Скорость и длина волны тока или напряжения в линии



 

Скорость перемещения прямой волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью,определяется как скорость перемещения точки,фаза колебания которойостается постоянной. Это условие записывается для падающей волны тока и напряжения в виде

 

ω t β x +ψ пр θ = const ,

ω t β x +ψ пр = const ,

(10.24)  

откуда

                   
  d

(ω t β x +ψ пр θ )

= 0 ,

    d

 

(ω t β x +ψ пр )=0.

   
 

dt

 

dt

   
                 

Следовательно, выражение

 

dx

   

ω

       
   

v

=

=

   

(10.25)

 
             
    ф  

dt

   

β

       
                   

определяет фазовую скорость прямой волны. Фазовая скорость обратной волны может быть рассчитана на основании соотношений аналогичных (10.24) . В таком случае из условия неизменности фазы для обратной волны тока и напряжения

 

ω t + β x +ψ обр θ = const , ω t + β x +ψ обр = const (10.26)

следует выражение для фазовой скорости обратной волны:

v =

dx

= −

ω

,

(10.27)

 
     
ф

dt

 

β

   
       

где знак «–» указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном прямой волне.

Длиной волны λ называется расстояние между двумя ее ближайшими точками,различающимися по фазе на 2π рад. В соответствии с этим определением для фаз падающих волн тока и напряжения получаем:

(ω t β x +ψ пр θ )−(ω t β (x + λ )+ψ пр θ )=2π ,

(ω t β x +ψ пр )−(ω t β (x + λ )+ψ пр )=2π ,

 

откуда

λ =

2π

.

(10.28)

 
   
 

β

   

Равенство аналогичное (10.28) можно также получить, исходя из выражений для фаз отраженных волн тока и напряжения:

(ω t + β ( x + λ )+ψ обр θ )−(ω t + β x +ψ обр θ )=2π ,

(ω t + β ( x + λ )+ψ обр )−(ω t + β x +ψ обр )=2π .

 

На основании формул (10.25), (10.28) также запишем

   

λ = v T =

v ф

,

(10.29)

 
   
ф

f

   
     

где T — период, f — частота колебаний. Из (10.29) следует, что за время, равное

 

одному периоду, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.

 

Используя понятие длины волны λ , можно установить правило, определяющее , в каком случае конкретную электрическую цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Считается, что линия, длина l которой соизмерима с


 

 

232


длиной волны λ , является линией с распределенными параметрами.Математическиуказанное условие записывают в виде следующего неравенства:

 

l >(0,05÷0,1)λ .                                                                (10.30)

 

Если неравенство (10.30) выполняется, цепь считают распределенной, если не

 

выполняется — сосредоточенной. Так, например, для         f =50Гц и   v ф =3⋅108м/с

 

(скорость распространения волны в линии близка к скорости света) согласно (10.29) и (10.30) получим, что линия с распределенными параметрами должна иметь

протяженность l > (300 ÷ 600)км. При частоте f = 108 Гц уже при l > (0,15 ÷ 0,3)м электрическую цепь следует рассматривать как линию с распределенными параметрами.

 

Решение уравнений линии с распределенными параметрами для граничных условий, заданных в начале и конце линии. Входное сопротивление линии

 

Постоянные интегрирования A&1 и A&2 , входящие в решение (10.14), (10.15), можно определить, если известны граничные условия.

 

Рисунок 10.3 – Схема, иллюстрирующая составление граничных условий для линии с распределенными параметрами

 

При анализе процессов в линии с распределенными параметрами граничные условия обычно задают в начале или в конце линии, т.е. при x = 0 или x = l , где l — длина всей линии (рисунок 10.3).

 

10.7.1 Граничные условия в начале линии

   

Пусть заданы напряжение U&1 и ток I&1

в начале линии ( x = 0 ):

   

U&

 

x=0 = U&1 ,

I&

 

x=0 = I&1 .

(10.31)

 
     
         

Из (10.14) и (10.15) тогда при x = 0 получаем уравнения


 

233


A&1 A&2= I&1 Z в ,   A&1+ A&2= U&1,

решая которые, находим постоянные интегрирования:

&

=

1

     

&

 

 

+ &

Z

 

 

   

&

   

=

1

   

&

&

         
                                         

A1

 

2

   

(U1

 

 

I1

в ),

 

A2

   

2

 

(U1

   

I1

Z

в ).

(10.32)

 
                     

 

 
                                                                       

Подставляя (10.32) в (10.14), (10.15), получим

                         
       

1

 

&

               

1

   

&

           

 

         
 

I&=

 

U1

+ I&

eγ x

 

 

U1

 

I&

e γ x

,

 

(10.33)

 
 

 

 

 

         

 

 

     
               

 

1

               

Z

         

1

 

         
   

2

 

Z

в

 

   

2

 

 

 

в

       

 

         
   

 

       

 

                 
& =  

1

   

&

 

+ &

          γ x +  

1

 

&

     

&

         

γ x

     

U

 

2

(U1

   

I1

Z

 

в )e

   

2

(U1

   

I1

Z

в )e

   

.

(10.34)

 
     

 

       

 

     
                                                                     
Группируя члены в        

правой части

 

выражений (10.33), (10.34)

и вводя  

гиперболические функции sh γ x и ch γ x , указанные соотношения преобразуем к виду

I&=−

U&1

sh γ x + I& ch γ x ,

U&=−I&

Z

в

sh γ x + U& ch γ x .

(10.35)

 
 

 

 
   

Z

1

1

 

1

   
         
   

в

           
                 
                     

Формулы (10.33), (10.34) и (10.35) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии.

 

Граничные условия в конце линии

Пусть теперь заданы значения напряжения U& 2 и тока I&2 в конце линии ( x = l ),

т.е. задан режим нагрузки, а значит, и сопротивление Z 2 = U& 2

I&2:  

U&

 

x=l

= U&2

, I&

 

x=l

= I&2.

(10.36)

 
     
               

5) этом случае целесообразнее отсчитывать расстояние текущей точки от конца линии. Обозначая его через x′ , получим x = lx′ и x′ = lx (рисунок 10.3).

 

6) новой системе координат относительно x′ граничные условия (10.36) запишутся в виде:

 

U&

 

= U&

2 ,

 

I&

 

 

= I&2.

   

(10.37)

 
             
     

x =0

             

x =0

       

Заменяя в уравнениях (10.14), (10.15)

x на(l x′)и используя граничные условия

 

(10.37), при x′ = 0 получим уравнения

                         

A& eγl A&

e γ l

= I& Z  

в

,

A&

eγl + A& e γ l = U&   ,  

1

2

   

2

       

1

2

 

2

   
                 

решая которые, найдем постоянные интегрирования:

& =

1

 

&

 

+ &

        γ l  

&

   

=

 

1

          &

&

      γ l      

A1

2

(U2

   

I

2

Z

в )e

 

,

A2

2

 

(U2

   

I2

Z

в )e

 

.

(10.38)

 
               

 

   
                                                                               

Подставляя (10.38) в (10.14), (10.15), получим

                                 
               

1

 

&                

1

 

&

             

 

             
       

I&=

 

U2

 

+ I&

e γ x

 

 

U2

 

 

I&

eγ x,

     

(10.39)

 
       

 

 

         

 

 

 

         
                   

 

Z

 

2

           

 

         

2

 

             
             

2

 

в

       

 

 

2

 

 

Z

в

           

 

             
                         

 

                           

&

=

1

 

&

 

+ &

     

γ x+

1

&

       

&

     

γ x

         

 

 

U

     

2

(U2

   

I2

Z

в )e

2

(U2

       

I

2

Z

в )e

   

.

   

(10.40)

 
                   

 

         
                                                                                   

Группируя члены в правой части выражений (10.39), (10.40) и вводя

 

гиперболические функции sh γ x

и ch γ x′ , указанные соотношения преобразуем к виду

 

I&=

U&2

 

sh γ x′+ I&

ch γ x′,

U&= I& Z

   

в

sh γ x′+U&

ch γ x′.

(10.41)

 
             
   

Z

в

                 

2

                   

2

                       

2

         
                                                                           
                                                                                           
                                                                                             

 


 

234


Формулы (10.39), (10.40) и (10.41) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в конце линии.

 

Входное сопротивление линии

 

Входным сопротивлением линии Z вх называется сосредоточенное сопротивление,

которым при гармоническом режиме можно заменить линию вместе с нагрузкой на ее конце, равное отношению напряжения к току в начале линии:

     

 

 

Z

вх =

U&1

.

 

 

 

 

 

 

(10.42)

 
               
                     

I&

         
     

1

                         

Так как для линии с длиной l

и нагрузкой

Z

2

выполняется условие U& 2 = I&2 Z 2  

(см. рисунок 10.3), то из (10.41), (10.42) при x′ = l получаем

       
 

Z

вх

=

Z

в

 

Z

2 +

 

Z

в th γ l

 

,

(10.43)

 
   

 

   

 

 

Z

в +

Z

2th γ l

 
 

 

 
                           
                   

 

         
                                                 

где th γ l = sh γ l ch γ l —гиперболический тангенс.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 161; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!