Обратная задача операторного метода. Теорема разложения и вспомогательные приемы вычисления оригинала
Пользуясь законами Кирхгофа в операторной форме или каким-либо из методов расчета цепей, являющихся следствиями законов Кирхгофа, всегда можно найти изображение искомой переменной. Возникает обратная задача операторного метода
— найти по известному изображению соответствующий ему оригинал.
Существует три основных метода определения оригинала:
посредством обратного преобразования Лапласа;
по таблице соответствия между оригиналами и изображениями;
по теореме разложения.
Определение оригинала на основании обратного преобразования Лапласа
Оригинал определяется как результат интегрального уравнения Лапласа:
162
| +∫∞ f (t )e − pt dt = F ( p), | (6.136) | ||
| где F ( p) | 0 | ||
| — известная функция-изображение, f (t) — неизвестная функция-оригинал, | |||
подлежащая определению.
Решение интегрального уравнения (6.136) может быть найдено с помощью методов теории функций комплексного переменного.Переход от изображения коригиналу тогда осуществляет интеграл вида (6.108):
f (t )= lim α +∫β j F ( p)e pt dp .
β →∞
α −β j
Вычисление по формуле (6.108) требует применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это вычисление оказывается весьма сложным. Поэтому на практике данный способ определения оригинала применяется редко.
Определение оригинала по таблице соответствия между функциями-оригиналами и функциями-изображениями
|
|
|
В специальной литературе имеется достаточно большое число таблиц с формулами соответствия между оригиналами и изображениями, охватывающих практически все задачи электротехники (в данном пособии, к примеру, такой таблицей является таблица 6.4). На основании этих таблиц необходимо получить изображение искомой величины в виде соответствующем табличному, после чего определить из таблицы выражение оригинала.
Получим, например, с помощью операторного метода закон изменения тока в R , L –цепи(индуктивной катушке)при подключении ее к источнику постоянной ЭДС
E = const (рисунок6.18,а).
а) б)
Рисунок 6.18 – Исходная (а) и операторная ( б) схемы замещения цепи с индуктивной катушкой при подключении к источнику постоянного напряжения
Следуя общему алгоритму операторного метода, изложенному в разделе 6.16, для данной схемы (в соответствии с таблицей 6.5) получим операторную схему замещения (рисунок 6.18, б), изображение тока I (p) в которой можно рассчитать на основании
закона Ома:
I ( p)= E *(( p)),
Z p
|
|
|
163
где приведенная ЭДС E * ( p) = E(p)+ Li L (0) = E(p), так как в цепи реализованы нулевые начальные условия и, следовательно, i L (0) = 0 . Выражение для внешней ЭДС E( p)следует из таблицы6.3: E(p)= E 
p .Операторное сопротивление Z ( p)= R + pL .
В результате, для изображения тока I (p) получается соотношение
| I ( p)= | E | E | 1 | 1 | ||||||
| = |
| − | . | |||||||
| p( R + pL) | ||||||||||
| R p p + R L | ||||||||||
Тогда в соответствии с таблицей 6.3 сила тока в цепи, т.е. искомая функция-оригинал
|
| − | t |
| L | |||||
| i = | E | τ | τ = | , | |||||
| 1 − e |
|
| , | ||||||
| R | |||||||||
| R | |||||||||
что соответствует известному результату (6.18), полученному в рамках классического метода анализа переходных процессов (см. раздел 6.7.1).
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 175; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!