Первый закон Кирхгофа в операторной форме



 

По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле

электрической цепи, в любой момент времени равна нулю:

m

i k (t )=0,                                                                       (6.129)

k =1

где m — число ветвей, сходящихся в узле.

Пусть изображения каждого из токов i k (t ) по Лапласу имеет вид i k (t )G I k (p),

 

тогда в силу линейности преобразования Лапласа из (6.129) получим

 

m

I k ( p)=0.                                                                       (6.130)

 

k =1

 

Соотношение (6.130) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:         алгебраическая        сумма

изображений токов, сходящихся в электрической цепи, равна нулю.

Примечание –Математическое выражение1-го закона Кирхгофа в операторнойформе (6.130) аналогично 1-му комплексному закону Кирхгофа (3.30) при синусоидальном токе.

 

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

 

По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

n m  

u k =e k ,

(6.131)
k =1 k =1  

где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Для ветви, содержащей резистивные индуктивные и ёмкостные элементы,

 

напряжение                          

t

             
   

u k (t )= R k i k (t )+ L k

di (t )

   

1

             

(6.132)

 
     

dt

+ u Ck (0)+ C k

ik (t )dt .

       
         

k

                             
                         

0

             

Полагая i k (t )G I k ( p), e(t )G E(p) и повторяя те же рассуждения, что и при выводе

 

операторных законов Ома (6.127), на основании (6.131) и (6.132) получим

     
n

R I ( p)− L i (0)+ pL I ( p)+

u Ck (0)

+

1

 

I ( p)=

m

E ( p),

 

 

 

 

 
k k k L k

k k

     

p

 

pC k

    k     k    

k =1

                      k =1        

откуда следует уравнение


 

 

160


 

Z R (p)= R ,

n      

1

     

( p)=

m  

( p)+ L i

   

(0 )−

u

Ck

(0 )

 

R

+ pL

+

     

I

k

E

k

Lk

   

 

 
             
  k

k

 

pC k

          k    

p

   
k=1               k=1                    
или                                            
          n         m                        
       

Z k ( p)I k ( p)=∑E k * ( p),

            (6.133)  

где

        k =1         k =1                        
                     

1

                 
         

Z

k

( p)= R + pL +

             

(6.134)

 
                             
                k k  

pC k

                 
                                         

операторное сопротивление ветви контура с номеромk ,

           
       

* ( )

    ( )

( ) u Ck (0)

       

(6.135)

 
     

E k p = E k p + L k i Lk 0−

                 
       

p

             
                                           

приведенная ЭДС в этой ветви.

Соотношение (6.133) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в

операторной форме.

Второй закон Кирхгофа в операторной форме: в замкнутом контуреэлектрической цепи алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС, действующих в контуре.

Примечание –Математическое выражение2-го закона Кирхгофа в операторнойформе (6.133) аналогично комплексному 2-му закону Кирхгофа (3.32) при синусоидальном токе.

Последовательность расчета переходных процессов в цепи операторным методом

При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

4) для исходной (послекоммутационной) схемы цепи составить эквивалентную ей операторную схему, что означает замену ЭДС и токов источников, т.е. функций e(t ) и j( t ) ,их Лапласовыми образами E(p J (p),а параметров R , L и C пассивных

элементов — их операторными сопротивлениями                                     Z L (p)= pL и

Z C ( p)=1 ( pC ). Указанные преобразования следует производить согласно таблице 6.5.

Таблица 6.5 – Основные элементы цепи и операторные схемы замещения


Тип

элемента

элементы Активные

 

Элемент цепи

Исходная схема

Операторная схема замещения

 

замещения

 
     
Источник ЭДС      
       
Источник тока      
       

161


Продолжение таблицы 6.5

 

Тип

Элемент цепи

Исходная схема

Операторная схема замещения

 

элемента

замещения

 
     
  Резистивный      

Пассивныеэлементы

       

Индуктивный

     
       
         
  Ёмкостный      
         

 

составить полную систему уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа в операторной форме;

найти решение системы уравнений относительно изображений искомых величин, например, токов I ( p);

 

для полученных изображений искомых величин выполнить обратное преобразование Лапласа и определить выражения для оригиналов, например, токов i(t )

 

как функций времени.

 

Примечание –Поскольку законы Кирхгофа в операторной форме аналогичныкомплексным законам Кирхгофа, то при расчете переходных режимов цепи операторным методом можно использовать методы анализа электрических цепей синусоидального тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к операторной форме записи.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 274; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!