Первый закон Кирхгофа в операторной форме
По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле
электрической цепи, в любой момент времени равна нулю:
m
∑i k (t )=0, (6.129)
k =1
где m — число ветвей, сходящихся в узле.
Пусть изображения каждого из токов i k (t ) по Лапласу имеет вид i k (t )G I k (p),
тогда в силу линейности преобразования Лапласа из (6.129) получим
m
∑I k ( p)=0. (6.130)
k =1
Соотношение (6.130) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма
изображений токов, сходящихся в электрической цепи, равна нулю.
Примечание –Математическое выражение1-го закона Кирхгофа в операторнойформе (6.130) аналогично 1-му комплексному закону Кирхгофа (3.30) при синусоидальном токе.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме
По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:
| n | m | |
| ∑u k =∑e k , | (6.131) | |
| k =1 | k =1 | |
где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Для ветви, содержащей резистивные индуктивные и ёмкостные элементы,
| напряжение | t | ||||||||||||||||||||
| u k (t )= R k i k (t )+ L k | di (t ) | 1 | (6.132) | ||||||||||||||||||
| dt | + u Ck (0)+ C k | ∫ik (t )dt . | |||||||||||||||||||
| k | |||||||||||||||||||||
| 0 | |||||||||||||||||||||
| Полагая i k (t )G I k ( p), e(t )G E(p) и повторяя те же рассуждения, что и при выводе | |||||||||||||||||||||
| операторных законов Ома (6.127), на основании (6.131) и (6.132) получим | |||||||||||||||||||||
| n | R I ( p)− L i (0)+ pL I ( p)+ | u Ck (0) | + | 1 | I ( p)= | m | E ( p), | ||||||||||||||
| ∑ |
| ∑ | |||||||||||||||||||
| k k | k L k | k k | p | pC k | k | k | |||||||||||||||
| k =1 | k =1 | ||||||||||||||||||||
откуда следует уравнение
160
|
|
| Z R (p)= R , |
| n | 1 | ( p)= | m | ( p)+ L i | (0 )− | u | Ck | (0 ) | ||||||||||||||
| R | + pL | + | I | k | E | k | Lk |
| ||||||||||||||
| k | k | pC k | k | p | ||||||||||||||||||
| ∑k=1 | ∑k=1 | |||||||||||||||||||||
| или | ||||||||||||||||||||||
| n | m | |||||||||||||||||||||
| ∑Z k ( p)I k ( p)=∑E k * ( p), | (6.133) | |||||||||||||||||||||
| где | k =1 | k =1 | ||||||||||||||||||||
| 1 | ||||||||||||||||||||||
| Z | k | ( p)= R + pL + | (6.134) | |||||||||||||||||||
| k | k | pC k | ||||||||||||||||||||
| — операторное сопротивление ветви контура с номеромk , | ||||||||||||||||||||||
| * ( ) | ( ) | ( ) u Ck (0) | (6.135) | |||||||||||||||||||
| E k p = E k p + L k i Lk 0− | ||||||||||||||||||||||
| p | ||||||||||||||||||||||
— приведенная ЭДС в этой ветви.
Соотношение (6.133) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в
операторной форме.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме: в замкнутом контуреэлектрической цепи алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС, действующих в контуре.
Примечание –Математическое выражение2-го закона Кирхгофа в операторнойформе (6.133) аналогично комплексному 2-му закону Кирхгофа (3.32) при синусоидальном токе.
Последовательность расчета переходных процессов в цепи операторным методом
При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
4) для исходной (послекоммутационной) схемы цепи составить эквивалентную ей операторную схему, что означает замену ЭДС и токов источников, т.е. функций e(t ) и j( t ) ,их Лапласовыми образами E(p)и J (p),а параметров R , L и C пассивных
элементов — их операторными сопротивлениями Z L (p)= pL и
Z C ( p)=1 
( pC ). Указанные преобразования следует производить согласно таблице 6.5.
Таблица 6.5 – Основные элементы цепи и операторные схемы замещения
Тип
элемента
| элементы Активные |
| Элемент цепи | Исходная схема | Операторная схема замещения | |
| замещения | |||
| Источник ЭДС | |||
| Источник тока | |||
161
Продолжение таблицы 6.5
| Тип | Элемент цепи | Исходная схема | Операторная схема замещения | |
| элемента | замещения | |||
| Резистивный | ||||
| Пассивныеэлементы | ||||
| Индуктивный | ||||
| Ёмкостный | ||||
составить полную систему уравнений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа в операторной форме;
найти решение системы уравнений относительно изображений искомых величин, например, токов I ( p);
для полученных изображений искомых величин выполнить обратное преобразование Лапласа и определить выражения для оригиналов, например, токов i(t )
как функций времени.
Примечание –Поскольку законы Кирхгофа в операторной форме аналогичныкомплексным законам Кирхгофа, то при расчете переходных режимов цепи операторным методом можно использовать методы анализа электрических цепей синусоидального тока (метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.), преобразовав предварительно соответствующие формулы к операторной форме записи.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 274; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!