Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе

 

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

 

3) записывается входное сопротивление цепи Z _вх ( j ω) на переменном

синусоидальном токе;
2)	произведение j ω в выражении для Z вх ( j ω) заменяется на p ;
3)	полученное выражение Z вх (p) приравнивается к нулю.
Уравнение
	Z вх (p)=0			(6.85)

совпадает с характеристическим.

 

 

146

Примечание –Входное  сопротивление   Z _вх ( j ω) может быть записано

 

относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Следует отметить, что данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить предварительное развязывание.

 

Для схемы цепи на рисунке 6.12 относительно зажимов источника

 

																				1
													+ j ω L3 + j ω C
											R2 R3
				Z		вх	( j ω)= R +													3					.
																				1
								1			R2+ R3+ j ω L3					+
Заменив j ω на																			j ω C3
			p и приравняв согласно(6.85)полученное выражение к нулю,
запишем
																1
										R2 R3 + pL3 + pC									3
				Z			( p)= R +															= 0
						вх										1
							1			R		+ R	+ pL +
										2		3		3			pC3
или
		(R + R )p2+ C						(R R + R R + R R )p +(R + R )=0.
L C																											(6.86)
3	3	1	2				3	1		2		2	3	1		3							1			2

Алгебраическое уравнение (6.86) совпадает с уравнением (6.84) и при p = λ также идентично характеристическому уравнению (6.77).

 

Метод переменных состояния

 

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему уравнений1-го порядка, определяющую энергетический режим цепи. В более узком смысле уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений1-го порядка,разрешенную относительно производных, т.е. систему уравнений, представленную в нормальной форме,или форме Коши.

 

Метод анализа переходных процессов, основанный на составлении и решении системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, называется методом переменных состояния.Искомыми величинами в уравнениях этого метода являются функции,характеризующие энергетический режим цепи. Известно, что в линейных электрических цепях указанный режим полностью определяется токами в индуктивностях и напряжениями на ёмкостях, поэтому функции i _L (t ) и u _C (t ) в рассматриваемом методе

 

являются искомыми величинами и называются переменными состояния электрической цепи.

Примечание –Переменные состояния образуют систему из наименьшего числавеличин , полностью определяющих реакцию всех ветвей цепи при заданных начальных условия и приложенных при t ≥ 0 внешних воздействиях (источниках электрической энергии). Общее число уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме, т.е. число переменных состояния, очевидно, совпадает с порядком n дифференциального уравнения цепи.

 

 

147

Уравнения переменных состояния

 

Обозначим  переменные   состояния   буквами      x₁, x₂,K, x _n ,     тогда

 

дифференциальные уравнения относительно этих переменных в нормальной форме запишутся так:

dx1

= x1′= a11 x1+ a12 x2+K+ a1n x n + f1(t );

dt

dx2

′

+ a22 x2+K+ a2n x n + f2(t );

= x2= a21x1

(6.87)

dt

……………………………………………..

dx n

′

+ a n2 x2+K+ a nn x n + f n (t ),

= x n = a n1x1

dt

где a ij ( i, j =

) —

элементы

квадратной

n × n –матрицы,

определяемые

1,n

геометрической структурой цепи и

параметрами

ее элементов, f i (t ) ( i =

) —

1,n

элементы вектора, также зависящие от структуры цепи и параметров действующих в ней источников электрической энергии.

 

4) рамках классического метода анализа переходных процессов закон изменения тока i(t ) в любой ветви или напряжения u(t ) между ее выводами определяют как

решение дифференциального уравнения n - го порядка (6.5), т.е. уравнения

 

a n	d n x(t )		+ a n−1	d n −1x(t )		+K + a1	dx(t )		+ a0 x(t )= f (t ),
	dt n			dt n −1			dt
где x(t ) = i(t ) или x(t ) = u(t ). Покажем,						что описание переходных процессов в виде

одного дифференциального уравнения (6.5) и в виде системы дифференциальных

уравнений в нормальной форме (6.87) эквивалентны.

Положим

dx(t )

d 2 x(t )

d n−1 x(t )

x (t )= x(t ),

x

2

(t )=

,

x (t )=

,

x

n

(t )=

.

1

dt

3

dt 2

dt n−1

Дифференциальное уравнение (6.5) тогда сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений 1-го порядка:

 

dx1(t )

= x2(t );

dx2(t )

= x3

(t );K;

dx n−1(t )

= x n (t );

dt

dt

dt

dx n (t )

a0

x1

(t )−

a1

x2

(t )−K−

a n−1

x n (t )+

f (t )

(6.88)

= −

,

a n

a n

a n

dt

a n

математическое выражение которой аналогично (6.87).

Уравнения (6.88) можно записать в матричной форме:

	x′(t )			0
	1

^x2 ^t

 

M = ^M _{′ ( )} 0 ^x n−1 ^t _a x′(t )⁻⁰

 

n a _n^′()0

или

 

 

1		0		K	0
0		1		K	0
M		M		M		M
0		0		K	0
−	a1	−	a2	K	−	a n−2
	a n		a n			a n

 

0

 

0

 

M

 

1

₋ ^a n−1 a _n

 

 

x (t )

0

1

(t )

0

x

2

M

f (t )

M

+

x

(t )

0

n−1

1

a

xn (t )

n

 

 

148

Здесь X и X ′		X ′= AX + BV .							(6.89)
	— n ×1 – матрицы соответственно переменных состояния и их
первых производных по времени ( n — число переменных состояния):
X =[x1(t)	x2(t )	T	X	′	′	′	′	T	(6.90)
		K x n (t )] ,			=[x1(t )	x2(t )K	x n (t )],

Q — квадратная n × n – матрица, определяемая геометрической структурой цепи и

параметрами ее элементов,    B — прямоугольная n × m –матрица связи между

источниками и переменными состояния ( m — число источников энергии),               V —

 

m ×1–матрица внешних воздействий(ЭДС и токов источников),называемая также вектором входных величин.

Начальные условия для уравнения (6.89) задаются вектором начальных значений

X (0)=[x₁(0)        x₂(0)                                                               K    x _n (0)]^T ,               (6.91)

 

где символ «T » обозначает операцию транспонирования матрицы.

Искомые токи и напряжения в цепи, называемые также выходными величинами,

могут быть выражены через переменные состояния. Представим произвольную

совокупность выходных величин y₁ , y₂ , K , y _k в виде столбцевой k ×1 – матрицы

Y =[y₁(t) y₂(t ) K   y _k (t )]^T .                                               (6.92)

 

Связь выходных величин (6.92), переменных состояния (6.90) и входных величин может быть записана в матричной форме уравнением

Y = CX + DV ,                                                                        (6.93)

где  C   —  прямоугольная  k × n –матрица   связи переменных состояния с

выходными (искомыми) величинами ( k — число этих величин), D — прямоугольная

 

k × m –матрица непосредственной связи входных и выходных величин.

 

Матричные уравнения (6.89) и (6.93), образующие совокупность системы дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно переменных состояния и системы уравнений для выходных величин, составляют полную систему уравнений для анализа переходных процессов в цепи методом переменных состояния. Эти уравнения называются уравнениями состояния.

 

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим схему цепи на рисунке 6.13, в которой требуется определить токи i₂ и i₃ .

 

Рисунок 6.13 – Схема, иллюстрирующая применение метода переменных состояния

 

На основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для данной цепи запишем:

 

i1− i2− i3+ J =0;					(6.94)
i R + L	di1	+ u	C 3	= E ;	(6.95)
	dt
1 11

 

 

149

i2 R2− u C 3=0.

(6.96)

Поскольку i3 = C3 du C 3 dt ,

то

уравнения (6.94) и (6.95)

с учетом

соотношения (6.96) перепишем в виде

du C 3

= −

1

u

C 3

+

1

i

+ 0 ⋅ E +

1

J ;

dt

C R

C

C

1

di1

3

2

R1

3

3

= −

1

u

C 3

−

i +

1

E +0⋅ J

dt

L

L

L

1

1

1

1

или в матричной форме:

1

1

0

u C′3

−

u C 3

C R

C

′

=

1

2

R

+  1

i

3

3

i

−

−

1

1

1

L1

L1

L1

Если положить, что

 

 

1
			E
C3				(6.97)
			.
0	J

 

			1				1									0		1
−												u C 3								E
		C R				C								,				C			,
A =			1	2				R1			,	X = i			B =1			3	,	V = J
			3						3
	−				−							1						0
			L1					L1
															L1

то матричное уравнение (6.97) представляет уравнение состояния (6.89) для определения переменных u _{C 3} и i₁ . Матричное уравнение вида (6.93), т.е. уравнение для

 

определения выходных величин i2				и i3 следует из соотношений (6.94) и (6.96):
				1
i								0 u								0 0 E
				R									C	3
	2	=													+		.
				2
i3			−		1			1i1    0 1 J
					R2
Здесь следует положить
								1
i2															0		0 0
			,						R
Y =				C =				2							,	D =		.
i3							−			1					1		0 1
										R
Вектор начальных значений								2
X [0]=[u C3(0)i1(0)]T=[JR2																	0]T .

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 363; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!