Включение конденсатора на синусоидальное напряжение



 

Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику синусоидальной ЭДС (рисунок 6.8, а):

e = E m sin(ω t +ψ e ),

где E m , ω и ψ e — амплитуда, угловая частота и начальная фаза этой ЭДС. Как и в случае катушки индуктивности, величина ψ e зависит от момента включения синусоидального источника в R , C – цепь и также называется фазой включения.


 

135


 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 6.8 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений

3) конденсаторе (б) при подключении к источнику синусоидального напряжения

 

Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид

 

RC

du C

+ u C = e .

                 

(6.44)

 
 

 

                   
    dt                            

Установившееся напряжение на ёмкости

 

π

                 
           

 

           

u Cпр

= U Cm sin

ω t +ψ e

ϕ

   

,

       

(6.45)

 

2

         

где

         

 

           

E m

           

X C

     

1

     

U Cm = I m X C , I m =

 

, ϕ = −arctg

 

,

X C =

 

.

(6.46)

 
       
         
 

R2+ X C2

           

R

 

ω C

   

Уравнение для свободного напряжения u Cсв

и его общее решение сохраняют тот

 

же вид (6.33), (6.35), что и для цепи с источником постоянного напряжения:

t

u Cсв = Ae τ ,

 

где постоянная времени τ = RC . На основании (6.45) и (6.46) получаем тогда следующее выражение для переходного напряжения на ёмкости:

t

 

 

π

   
       

u C = Ae τ

+ U Cm sin

ω t +ψ e ϕ

   

.

(6.47)

 
     
         

2

   

Постоянная A в (6.47) определяется из начального условия, согласно которому должна быть задана величина напряжения на зажимах конденсатора u C (0 ) до включения цепи. Так как в докоммутационном режиме конденсатор не был заряжен, то u C (0)=0и,следовательно,

   

(0

 

)= u

 

(0

 

)= A +U

         

π

                     

π

   

u

C

C

+

Cm

sin ψ

e

ϕ

     

 

= 0

и A = −U

Cm

sin ψ

e

ϕ

   

.

 

2

2

 
                                       

Таким образом,

                                   

t

                 
                           

 

         

π

                 
                                                         
               

u

Cсв

=−U

Cm

sin ψ

e

ϕ

   

e τ

,

               
                                   
                               

2

                 

 

 

136


 

 

ω t

 
u C = U Cm sin  
     

 

 

     

π

 

   

 

   

π

t

 

   
                   

+ψ

e

ϕ

   

 

U

Cm

sin ψ

e

ϕ

 

 

e τ .

(6.48)

 

2

   
             

2

         
                                     

 


Для тока в переходном процессе получаем

                 

t

     
 

du

     

sin(ω t

   

ϕ )+

U

   

 

     

π

 

   
 

C

       

Cm

             

i = C

 

= I

m

+ψ

e

   

sin ψ

e

ϕ

 

 

e τ .

(6.49)

 
             
 

dt

         

R

       

2

   

Графики изменения

величин

u Cпр ,

u Cсв ,

u C

и   e в  

переходном

процессе,  
                                                 

построенные согласно формулам (6.45), (6.46) и (6.48), приведены на рисунке 6.8, б. Из анализа этих зависимостей следует , что, как и в случае индуктивной катушки, на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи существенное влияние оказывает фаза включения ψ e . Так, если ψ e = ϕ ± π 2 , то согласно (6.48) u Cсв = 0 , т.е.

 

свободное напряжение при коммутации вообще не возникает и электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходное напряжение на ёмкости равно установившемуся значению:

 

u C = U Cm sin ω t .

 

Если включение происходит при ψ e = ϕ , то свободное напряжение u Cсв будет наибольшее и в начальный момент времени равное амплитуде U Cm установившегося напряжения. Начальное значение свободного тока при этом будет (−U Cm R).Если R << X C ,то в начальный момент времени произойдет скачкообразное увеличение токав цепи, намного превосходящее амплитуду I m . Однако такой большой ток будет протекать незначительную часть периода, так как

6) = 2π τ << 1,

X C T

и, следовательно, τ << T . Максимальное значение напряжения u C в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды U Cm напряжения на ёмкости в установившемся режиме.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 28;