Включение конденсатора на синусоидальное напряжение

 

Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , C – цепи (конденсатора) к источнику синусоидальной ЭДС (рисунок 6.8, а):

e = E _m sin(ω t +ψ _e ),

где E _m , ω и ψ _e — амплитуда, угловая частота и начальная фаза этой ЭДС. Как и в случае катушки индуктивности, величина ψ _e зависит от момента включения синусоидального источника в R , C – цепь и также называется фазой включения.

 

135

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 6.8 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений

3) конденсаторе (б) при подключении к источнику синусоидального напряжения

 

Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид

RC

du C

+ u C = e .

(6.44)

dt

Установившееся напряжение на ёмкости

π

u Cпр

= U Cm sin

ω t +ψ e

− ϕ −

,

(6.45)

2

где

E m

X C

1

U Cm = I m X C , I m =

, ϕ = −arctg

,

X C =

.

(6.46)

R2+ X C2

R

ω C

Уравнение для свободного напряжения u Cсв

и его общее решение сохраняют тот

же вид (6.33), (6.35), что и для цепи с источником постоянного напряжения:

− ^t

u _Cсв = Ae ^τ ,

 

где постоянная времени τ = RC . На основании (6.45) и (6.46) получаем тогда следующее выражение для переходного напряжения на ёмкости:

−	t			π
u C = Ae τ		+ U Cm sin	ω t +ψ e − ϕ −			.	(6.47)
					2

Постоянная A в (6.47) определяется из начального условия, согласно которому должна быть задана величина напряжения на зажимах конденсатора u _C (0₋ ) до включения цепи. Так как в докоммутационном режиме конденсатор не был заряжен, то u _C (0₋)=0и,следовательно,

(0

)= u

(0

)= A +U

π

π

u

C

−

C

+

Cm

sin ψ

e

−ϕ −

= 0

и A = −U

Cm

sin ψ

e

−ϕ −

.

2

2

Таким образом,

t

π −

u

Cсв

=−U

Cm

sin ψ

e

−ϕ −

e τ

,

2

 

 

136

 

	ω t
u C = U Cm sin

 

 

π

π

−

t

+ψ

e

− ϕ −

−U

Cm

sin ψ

e

− ϕ −

e τ .

(6.48)

2

2

 

Для тока в переходном процессе получаем

t

du

sin(ω t

−ϕ )+

U

π −

C

Cm

i = C

= I

m

+ψ

e

sin ψ

e

−ϕ

−

e τ .

(6.49)

dt

R

2

Графики изменения

величин

u Cпр ,

u Cсв ,

u C

и

e в

переходном

процессе,

построенные согласно формулам (6.45), (6.46) и (6.48), приведены на рисунке 6.8, б. Из анализа этих зависимостей следует , что, как и в случае индуктивной катушки, на характер переходного процесса в рассматриваемой цепи существенное влияние оказывает фаза включения ψ _e . Так, если ψ _e = ϕ ± π 2 , то согласно (6.48) u _Cсв = 0 , т.е.

 

свободное напряжение при коммутации вообще не возникает и электрическая цепь сразу же переходит в стационарное состояние, при котором переходное напряжение на ёмкости равно установившемуся значению:

 

u _C = U _Cm sin ω t .

 

Если включение происходит при ψ _e = ϕ , то свободное напряжение u _Cсв будет наибольшее и в начальный момент времени равное амплитуде U _Cm установившегося напряжения. Начальное значение свободного тока при этом будет (−U _Cm R).Если R << X _C ,то в начальный момент времени произойдет скачкообразное увеличение токав цепи, намного превосходящее амплитуду I _m . Однако такой большой ток будет протекать незначительную часть периода, так как

⁶⁾ = ^2π τ << 1,

X _C T

и, следовательно, τ << T . Максимальное значение напряжения u _C в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды U _Cm напряжения на ёмкости в установившемся режиме.

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!