Критический разряд конденсатора
Пусть корни характеристического уравнения (6.54) вещественные и равные:
| λ1 = λ2 = −δ . | (6.61) | ||||||||
| В этом случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид | |||||||||
| u | C | =(A + A t )e−δt | , | (6.62) | |||||
| 1 | 2 | ||||||||
| а сила тока в цепи определяется выражением | |||||||||
| i = C | du C |
| = C(− δ A + A − δ A t )e−δt . | (6.63) | |||||
| dt | 1 | 2 | 2 | ||||||
| Для определения произвольных постоянных A1 и A2 используем | начальные | ||||||||
| условия, согласно которым i(0 − ) = i L (0− ) = 0 | и u C (0− ) = U0 . Из (6.62) и (6.63) тогда | ||||||||
| получим два следующих уравнения: | и C(− δ A1 + A2 ) = 0 . | ||||||||
| A1= U0 | |||||||||
| Совместное решение этих уравнений даст | |||||||||
| A1= U0, | A2= δ U0. | (6.64) | |||||||
Подставляя (6.64) в (6.62) и (6.63), найдем формулы, определяющие напряжение на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации:
140
| u C = U0 | (δ t +1)e−δt , i =− | U0 | te−δt . | (6.65) | |||
| L | |||||||
| Напряжение на индуктивности равно: | |||||||
| u L | = L | di | = U0(δ t −1)e−δt . | (6.66) | |||
| dt | |||||||
| Если построить графики изменения величин u C , | i и u L | в переходном режиме | |||||
согласно выражениям (6.65), (6.66), то они окажутся аналогичными кривым u C , i и u L ,
изображенным на рисунке 6.10. Все переменные будут только быстрее нарастать и быстрее убывать, чем в первом случае; конденсатор будет непрерывно разряжаться, а напряжение на нем будет монотонно убывать, не меняя своего знака. Следовательно, и в данном случае имеет место апериодический разряд. Этот предельный случай апериодического разряда называют еще критическим разрядом конденсатора.
Значение R кр =2ρ , при котором наблюдается критический случай
апериодического разряда, называется критическим сопротивлением последовательного контура.
Колебательный разряд конденсатора
Пусть корни характеристического уравнения (6.54) комплексно-сопряженные:
| λ =−δ + j | ω2 − δ 2 = −δ + j ω | св | , | λ | 2 | =−δ − j | ω 2 − δ 2 = −δ − j ω | св | , (6.67) | |||
| 1 | 0 | 0 | ||||||||||
| где ω св = ω02 − δ 2 | — угловая частота собственных затухающих колебаний. В этом | |||||||||||
| случае общее решение однородного уравнения (6.53) имеет вид | ||||||||||||
| u C = Ae−δt sin(ω св t + χ ), | (6.68) | |||||||||||
| а сила тока в цепи определяется выражением | ||||||||||||
| i = C | du C | = CAe−δt {− δ sin(ω св t + χ )+ ω св cos(ω св t + χ )}, | (6.69) | |||||||||
| dt | ||||||||||||
где A и χ — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Так как эти условия в рассматриваемом случае такие же, как и в двух предыдущих, т.е. i(0−)= i L (0−)=0и u C (0−)= U0,то на основании формул(6.68)и(6.69)получим два
| уравнения для определения постоянных A и χ : | ||||||||||||
| A sin χ = U0 | и CA(ω свcos χ − δ sin χ ) = 0 . | |||||||||||
| Совместное решение этих уравнений даст | ||||||||||||
| A = | ω0 | U0, | χ = arctg | ω св | . | (6.70) | ||||||
| ω св | δ | |||||||||||
| Подставляя (6.70) в (6.68) и (6.69), найдем формулы, определяющие напряжение | ||||||||||||
| на конденсаторе и ток в цепи в любой момент времени после коммутации: | ||||||||||||
| u C = U Cm e−δt sin(ω св t + χ ), | i = I m e−δt sin(ω св t + π ), | (6.71) | ||||||||||
| где U Cm и I m — амплитуды напряжения и тока, определяемые равенствами | ||||||||||||
| U Cm = | ω0 | U0, | I m = | U0 | . | (6.72) | ||||||
|
|
| |||||||||||
| ω св | ω св L | |||||||||||
Напряжение на индуктивности равно:
141
| u L = L | di | = U Lm e−δt sin(ω св t − χ ), | U Lm = |
| ω0 | U0. | (6.73) | |
| dt | ||||||||
| ω св | ||||||||
| Графики изменения величин u C , i и u L в переходном режиме, | построенные | |||||||
согласно выражениям (6.71) – (6.73), приведены на рисунке 6.11.
Рисунок 6.11 – Временная диаграмма токов и напряжений в цепи при колебательном разряде конденсатора
Из полученных аналитических выражений (6.71) – (6.73), а также из рисунка 6.11 видно, что процесс в данном случае является колебательным. Ток и напряжение на всех участках периодически меняют знак . Амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону, следовательно, в цепи совершаются затухающие колебания тока и напряжения. Данный режим поэтому называется колебательным разрядом конденсатора.
Сущность переходного процесса при колебательном разряде сводится к следующему.
При разряде конденсатора энергия его электрического поля расходуется, во-первых, на покрытие тепловых потерь, а, во-вторых, большей своей частью переходит в энергию магнитного поля индуктивной катушки.
Поэтому, когда напряжение u C пройдет через нуль, и конденсатор полностью
разрядится, в магнитном поле катушки индуктивности накопится энергия, достаточная для поддержания тока прежнего направления, покрытия тепловых потерь и перезарядки конденсатора.
Конденсатор не может перезарядиться до прежнего по абсолютной величине напряжения, так как вследствие тепловых потерь общая энергия электромагнитного поля, связанная с контуром, непрерывно убывает.
Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оценивать декрементом колебаний ,равным отношению двух последующих мгновенных
значений тока или напряжения одного знака, а также логарифмическим декрементом колебаний ϑ :
= u C (t ) = e δ T св , ϑ = ln = δ T , (6.74)
| u C (t + T св ) | св | |
где T св = 2π 
ω св — период свободных колебаний.
Из (6.74) следует, что декремент зависит только от параметров цепи. Наибольшее влияние на декремент колебательного процесса оказывает величина сопротивления R . С увеличением R затухание увеличивается, а при R = R кр колебания прекращаются.
142
Наоборот, при уменьшении R затухание уменьшается и при R = 0 (контур без потерь) становится равным нулю.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 651; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!