Переходные процессы в цепях с индуктивной катушкой
Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно включенных участков с сопротивлением R и индуктивностью L (переходные процессы в реальной катушке индуктивности).
Включение индуктивной катушки на постоянное напряжение
Исследуем переходной процесс, возникающий при подключении R , L – цепи (индуктивной катушки) к источнику постоянной ЭДС E = const (рисунок 6.2, а).
а) б)
Рисунок 6.2 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений
индуктивной катушке (б) при подключении к источнику постоянного напряжения
V послекоммутационном режиме, когда ключ K замкнут, переходной процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением
| L | di |
| + Ri = E . | (6.12) | |||||||||||||
| dt | |||||||||||||||||
| Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободный ток i св , будет | |||||||||||||||||
| L | di св | + Ri =0. | (6.13) | ||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||
| dt | св | ||||||||||||||||
| Его характеристическое уравнение | |||||||||||||||||
| L λ + R =0
| (6.14) | ||||||||||||||||
| имеет единственный корень λ = − R L , поэтому | |||||||||||||||||
| R | = Ae− | t | |||||||||||||||
| i = Ae λ t | = Ae− | t | , | (6.15) | |||||||||||||
| L | τ | ||||||||||||||||
| св | |||||||||||||||||
| где величина τ = L R называется постоянной времени: [τ ] = 1с (секунда). | |||||||||||||||||
| Ток установившегося режима | E | ||||||||||||||||
| i | = | . | (6.16) | ||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||
| пр | R | ||||||||||||||||
Переходной процесс в цепи определяется суммой свободной и принужденной составляющих, поэтому из (6.15) и (6.16) следует:
| i = i | + i | = Ae− | t | + | E | |||
| τ | . | (6.17) | ||||||
| св | пр | R | ||||||
| Для определения постоянной интегрирования A | воспользуемся 1-м законом | |||||||
128
коммутации. До коммутации ток в индуктивной катушке был равен нулю ( i L (0− ) = 0 ), следовательно, в первый момент времени после коммутации ток i L (0 + ) = i(0+ ) будет также равен нулю:
|
|
|
i L (0−)= i L (0+)= i(0+)= A + E R =0.
Отсюда A = − E 
R ,поэтому выражение(6.17)можно представить в виде
|
| − | t |
| L | ||||||
| i = | E | τ | τ = | , | (6.18) | |||||
| 1 − e |
|
| , | |||||||
| R | ||||||||||
| R | ||||||||||
т.е. ток в цепи нарастает до установившегося значения (6.16) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ , которая определяет скорость этого процесса.
Напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R пропорционально току (6.18):
|
| − | t |
|
| ||||||
| − e | τ | |||||||||
| u R = Ri = E 1 | . | |||||||||
| Напряжение на индуктивном элементе с индуктивностью L : | ||||||||||
| u L = L | di | = Ee− | t | |||||||
| τ | . | |||||||||
| dt | ||||||||||
|
|
|
(6.19)
(6.20)
Графики изменения величин i , u R и u L в переходном процессе, построенные
согласно формулам (6.18) – (6.20), приведены на рисунке 6.2, б. В первый момент времени после коммутации напряжение на индуктивном элементе скачком возрастает до значения u L (0 + ) = E , после чего по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.
Примечание –Постоянная времениτчисленно равна промежутку времени,закоторый экспоненциально изменяющаяся величина убывает в e ≈2,72 раза.Чембольше τ , тем медленнее затухает экспоненциальная функция и тем дольше длится переходной процесс в цепи. Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, однако практически его можно считать завершенным по истечении времени
а = (3 ÷ 5)τ .
Отключение индуктивной катушки от источника постоянного напряжения
Исследуем переходной процесс, возникающий при отключении R , L – цепи (индуктивной катушки) от источника постоянного напряжения и подключении ее к ветви с активным сопротивлением R0 (рисунок 6.3, а).
После коммутации электрическое состояние цепи определяется уравнением
| L | di | +( R + R )i =0. | (6.21)
| |||
| dt | 0 | |||||
Отсутствие правой части в этом уравнении означает, что переходной ток равен свободному, а установившийся — нулю: i = i св , i пр = 0 . Характеристическое уравнение
для (6.21) аналогично (6.14), поэтому решением уравнения (6.21) является выражение (6.15)
− t
i = i св = Ae τ ,
129
в котором постоянная времени τ = L 
(R + R0 ). Поскольку до коммутации ток в цепи определялся напряжением источника и сопротивлением катушки, т.е.
i(0−)= E R ,
то A = E 
R и выражение для переходного тока имеет вид
| i = | E | e− | t | τ = | L | ||||
| τ | , | . | (6.22) | ||||||
| R + R | |||||||||
| R | |||||||||
| 0 | |||||||||
а) б)
Рисунок 6.3 – Схема замещения цепи (а) и временная диаграмма токов и напряжений
а индуктивной катушке (б) при отключении от источника постоянного напряжения
Напряжения на резистивном и индуктивном элементах равны:
| u | = Ri = Ee− | t | u | = R i = | R0 | Ee− | t | |||||
| R | τ | , | R | τ | , | |||||||
| 0 | R | |||||||||||
| 0 | ||||||||||||
Графики изменения величин i , u R , u R0 и u L
| u L = L | di | = − | R + R0 | Ee− | t | |||
| τ | . | (6.23) | ||||||
| dt | R | |||||||
в переходном процессе, построенные
согласно формулам (6.22), (6.23), приведены на рисунке 6.3, б.
Примечание –Если резисторR0имеет большее сопротивление,чем индуктивнаякатушка, то напряжение на нем в начальный момент времени после коммутации будет больше приложенного напряжения (больше ЭДС источника E ). Так, если R0 = nR ( n > 1), то напряжение на резисторе
u R0(0+)= R R0 E = nR R E = nE .
Это обстоятельство следует иметь в виду при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, так как при этом могут возникать перенапряжения, в частности, при отсутствии в цепи резистора R0 , включенного параллельно индуктивной катушке,
отключение ее от источника может сопровождаться возникновением между размыкающими контактами дугового разряда.
6.7.3 Короткое замыкание индуктивной катушки в цепи постоянного тока Исследуем переходной процесс, возникающий при коротком замыкании
R , L –цепи(индуктивной катушки),подключенной к источнику постоянногонапряжения (рисунок 6.4, а).
130
а) б)
Рисунок 6.4 – Схема замещения цепи ( а) и временная диаграмма токов и напряжений в индуктивной катушке (б) при коротком замыкании
Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:
| L | di | + Ri =0. | (6.24) | |
| dt | ||||
Так как дифференциальное уравнение (6.24) однородное, т.е. совпадает с уравнением (6.13), то его общее решение содержит только свободную составляющую:
− t
i = i св = Ae τ ,
где постоянная времени τ = L 
R .Поскольку в докоммутационном режиме черезиндуктивную катушку протекал постоянный ток
| i(0−)= | E | , | |
| R + R | |||
| ист |
где R ист — внутренне сопротивление источника ЭДС, то постоянная интегрирования A = E 
( R + R ист ) и выражение для переходного тока
| i = | E | e− | t | τ = | L | ||||
| τ | , | . | (6.25) | ||||||
| R + R | R | ||||||||
| ист | |||||||||
Напряжения на резистивном и индуктивном элементах равны:
| u R = Ri = | R | Ee− | t | u L = L | di | = − | R | Ee− | t | ||||
| τ | , | τ | . | (6.26) | |||||||||
| R + R ист | dt | R + R ист | |||||||||||
| Графики изменения величин i , | u R | и u L в переходном процессе, | построенные | ||||||||||
согласно формулам (6.25), (6.26), приведены на рисунке 6.4, б.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 532; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!